《高等数学作业.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学作业.doc（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高等数学作业高等数学作业A吉林大学公共数学教学与研究中心吉林大学公共数学教学与研究中心20132013 年年 9 9 月月1第一次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设 L 是圆周，则( ) 222xya22() dnLxys A（A）；（B）；（C）；（D）2na12na22na212na2设 L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则( )dLy s A（A）；（B）；（C）；（D）2222 222 23设是锥面在的部分，则( )222xyz01z22()dxyS（A）；（B）；1300ddrr21300ddrr（C）；（D）13002ddrr
2、213002ddrr4设为，是在第一卦限中的部分，则有( )2222(0)xyzaz1（A）；（B）；1d4dx Sx S1d4dy Sx S（C）；（D）1d4dz Sx S1d4dxyz Sxyz S二、填空题1设曲线 L 为下半圆，则 21yx 22()dLxys2设 L 为曲线上从到的一段，则 |yx 1x 1x dLy s 3设表示曲线弧，则 33cos ,sin , (02 )222txt yt zt 222()dxyzs4设是柱面在之间的部分，则 222(0)xyaa0zh2dxS5设是上半椭球面，已知的面积为 A，则22 21(0)94xyzz222(4936)dxyzxyzS
3、2三、计算题1计算，其中L为圆周，直线及x轴在第一象限内所围22edxyLs A222xyayx成的扇形的整个边界2，其中2dzs A2222, :0.xyza xyz33计算曲面积分, ,其中曲面被柱面()dxyyzzxS22: zxy所截得部分。222xyx4求，其中是介于与之间的柱面222dS xyz0z 4z 224xy4四、应用题1求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积222xyR222xzR2求面密度的均匀半球壳关于 z 轴的转动惯量12222(0)xyzaz5第二次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设 L 是圆周负向一周，则曲线积分222(0)xyaa( )
4、3223()d()dLxx yxxyyy A（A）0；（B）；（C）；（D）42a4a4a2设 L 是椭圆沿逆时针方向，则曲线积分2248xyx( )2e ddyLxx y A（A）；（B）；（C）1；（D）023. 设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，2d( )dLxyxyxy( )x(0)0则等于（ ）(1,1)2(0,0)d( )dxyxyxy（A） （B） （C） （D）13 81 23 44已知为某函数的全微分，则 ( )正确2()dd ()xayyy x xy a （A）；（B）0；（C）2（D）11二、填空题1设 L 为正向一周，则 22(1)4xy22dd (1)Lx
5、 yy x xy A2设 L 为封闭折线正向一周，则 | 1xxy22dcos()dLx yxxyy A3设 L 为从 x=0 到一段弧，将化为第一型0tan dxyt t4x( ,)d( ,)dLP x yxQ x yy曲线积分为 4设 L 为封闭折线沿顺时针方向，则 | 1xy22ddLxy xxy xy A6三、计算题1计算，其中 L 是抛物线上从点到，再沿直线到2ddLyxx y2yx(1,1)A( 1,1)B 的曲线(0, 2)C2计算，其中 L 是圆周上从到2()d(sin )dLxyxxyy22yxx(2, 0)A的一段弧(0, 0)O73设在内具有一阶连续导数，L 是半平面内的
6、有向分段光滑( )f x(,) (0)y 曲线，其起点为，终点为证明( , )a b( ,)c d22 211()d()1dLxIy f xyxy f xyyyy（1）证明曲线积分 I 与路径 L 无关（2）当时，求 I 的值abcd4设力，证明力 F 在上半平面内所作的功与路径无关，并求从点2yx yijF到点力 F 所作的功(1, 2)A(2,1)B85计算，其中在连结点与A( )cosd( )sindAMBIyxy xyxyAAMB( ,2)A的线段之下方的任意路线，且该路线与 AB 所围成的面积为 2，具有连续的(3 ,4)B( )y导数。四证明题证明，并由此估计的上界。222dddd
7、P xQ yR zPQRsdddz xx yy z A其中为球面与平面的交线并已取定方向2222xyza0xyz9第三次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设是球面外侧，则曲面积分2222(0)xyzaa( ) 222()d dxyzx y A（A）0；（B）；（C）；（D）24 a2a34 3a2设空间闭区域由曲面与平面围成，记的表面外侧222zaxy0z (0)a 为，的体积为 V，则（ ）2222d dd d(1)d dIx yzy zxy zz xzxyzx y A（A）0； （B）V； （C）2V； （D）3V.3设是球面的外侧，则曲面积分2222xyza( )3 2222d
8、 dd dd d()x y zy z xz x yxyz A（A）0；（B）1；（C）；（D）244 设，其中为锥面介于平面及222d dd dd dIxy zyz xzx y222xyz0z 之间部分的下侧，则（ ）zhI （A）； （B）; (C) ； （D）41 2h4h41 2h4h二、填空题1设为球面，法向量向外，则 2229xyzd dz x y A2向量场在点处的散度 divA= 22eln(1)zAxy iyjxzk(1,1,0)M3设向量场，则 (sin )(cos )Azy izxy jrotA 4设是平面在第一卦限部分的下侧，则 322 36xyzI 化为对面积的曲面积分
9、为 d dd dd dP y zQ z xR x yI 5设为球面，法向量向外，则 2222xyza3d dxy z A6设，则 22uxyyzdiv(grad )u 10三、计算题1计算，其中是球面的下半球面，法线朝上，是2cos dx ys2222xyza法线正向与 z 轴正向的夹角。2计算，其中( , , )d d2 ( , , )d d( , , )d df x y zxy zf x y xyz xf x y zzx y为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧。( , , )f x y z1xyz113计算曲面积分 333ddd dd dxyzIyzzxxyrrr A其中, 方向外侧22
10、 2222,:149xyrxyzz4计算，其中是曲面的3322d d2d d3(1)d dIxy zyz xzx y221(0)zxyz 上侧125计算，其中是平面与柱面的交线，22dddIyxx yzz A2yz221xy从 z 轴正向看去，取逆时针方向 6. 计算曲面积分其中是球面22()2d ,IxyzyzS A22222 .xyzxz13第四次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设，则下列级数中肯定收敛的是 ( )10(1, 2,3,)nann（A）；（B）；（C）；（D）1n na 1( 1)nn na 1n na 1nna n2若级数都发散，则 ( )11,nn nnuv（
11、A）发散；（B）发散；1()nn nuv 1nn nu v（C）发散；（D）发散1(|)nn nuv221()nn nuv3设级数收敛，则必收敛的级数为 ( )1n nu（A）；（B）；1( 1)nnnu n21n nu（C）； （D）212 1()nn nuu 1 1()nn nuu 4设 a 为常数，则级数（ ） 121sinnnn（A）绝对收敛； （B）条件收敛；（C）发散；（D）收敛性取决于 a 的值5设，下列结论中正确的是（ ）1( 1) ln(1)n nan （A）级数和都收敛 （B）级数和都发散1n na21n na 1n na21n na（c）级数收敛，而都发散 （D）级数发散
12、，而收敛1n na21n na 1n na21n na6则级数0 (1,2,3,),nun设lim1, nn un且11111( 1)(). nnn uu n(A) 发散 ; (B) 绝对收敛; （C）条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.14二、填空题1若级数，则级数= 1 21 11( 1)2,5n nn nnuu 1n nu2设级数收敛，则满足什么条件 11 lnp nnnp3当 时，级数的收敛a1nna三、计算题1判别级数的敛散性11(0)n nana2求级数的和 1ln 31 2(1)nn nn n153设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？na1( 1)nn na
13、11 1nnna 并说明理由4判别级数的敛散性 211nnnn 165判别级数的敛散性（）2!nn na n n0a 6讨论级数的敛散性21( 1)(0)n n nnaa17四证明题1若正项数列单调增加且有上界，证明收敛 na11ln 2nnna a2若级数绝对收敛，证明绝对收敛1n na 11nnna a18第五次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设，则幂级数的收敛半径（ ） 1lim2nn na a211n n na x（A）；（B）；（C）； （D）2R 1 2R 2R R 2已知函数在处收敛，则在处，该级数为（ ） 0) 1(nn nxa2x0x（A）发散； （B）条件收敛；
14、 （C）绝对收敛； （D）收敛性不定3幂级数的收敛域是 ( )11 3n n nxn（A）；（B）；（C）-3, 3；（D）11-,3311-,)33 3,3)4展开为 x 的幂级数是 ( )2x（A）；（B）；（C）； （D）0!nnx n 0( 1) !n nnxn 0( ln2) !nnx n 0( ln2)nnx n5. 设，而，其中2( )(01)f xxx1( )sin,(,)n ns xbn x x 则（ ）102( )sind ,1,2,.nbf xn x x n1 2s（A） （B） （C） （D）1 41 41 21 2二、填空题1若幂级数在处条件收敛，则幂级数收敛半径为
15、1n n na x2x 2设幂级数的收敛半径为 2，则幂级数的收敛区间为 1n n na x11(1)nn nnax3幂级数的收敛半径为 212( 3)n nn nnx 4设函数，而 ，其中2( ),0,1f xxx01( )cos,2n nas xan x(,)x ，则的值为 102( )cosd ,0,1, 2,naf xn x x n( 1)s 19三、计算题1设幂级数，求11!nnnxn（1）收敛域及其和函数； （2）的和。112 !nnn n2将函数展开成 x 的幂级数0sin( )dxtf xtt203求幂级数的收敛域 2111 3n n nx4利用幂级数求的和121nnn215将
16、函数在点展成幂级数21( )56f xxx4x 6求幂级数的和函数1nnnx227设是周期为 2 的周期函数，且 写出的傅里叶级数( )f x, 01,( )0, 12,xxf xx( )f x与其和函数，并求级数的和2 11 (21)nn23第六次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设函数满足微分方程。且在时，则在时，( )y x2ln0xyyyx1x 1y xe（ ）y （A）；（B）；（C）；（D） 1 e1 22e2若是方程的两个解，要使也是該方程的12,yy( )( )( ( )0)yp x yq x q x12yy解，应满足关系式 ( ), （A）；（B）；（C）； （D）
17、10103方程是（ )(lnln )dd0xxyyy x（A） 可分离变量方程； （B） 齐次方程；（C） 全微分方程； （D） 一阶线性非齐次方程4设函数满足微分方程，且当时。则当时( )y x2costanxyyx4x0y 0x （ ）y （A）；（B）；（C）； （D） 4 411二、填空题1常微分方程的通解是 lnxyyy 2常微分方程的通解是 2222(36)d(64)d0xxyxx yyy3设连续可微，且满足，则 ( )f x( )0( )edxf xf xx( )f x 4若曲线积分与路径无关，其中可导，则 2( )d( )dCyf xxf xxy( )f x( )f x 24三
18、、计算题1求解微分方程 (lnln )xyyyx 2求解微分方程 2(6 )20yx yy3求解微分方程 sinsin22xyxyy254求微分方程的通解3d(ln )d0yxyxyx5求解微分方程ln sincos (1cos )0xyxyyxy26第七次作业学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设线性无关的函数均是方程的解，123( ),( ),( )y xyxy x( )( )( )yp x yq x yf x是任意常数，则该方程的通解是 ( )12,C C（A）；11223C yC yy（B）；1122123()C yC yCCy（C）；1122123(1)C yC yCCy（D）1
19、122123(1)C yC yCCy2若 2 是微分方程的特征方程的一个单根，则该微分方程必有一xqyypy2e 个特解( )*y（A）； （B）；（C）； （D）xA2exAx2exAx22exx2e3方程的特解形式为( )32e cos2xyyyx（A）；（B）；12e (cos2sin2 )xCxCx1e cos2xCx（C）； （D）12e (cos2sin2 )xxCxCx2e sin2xCx4以为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 ( )122cos ,sinyx yx（A）；（B）；0yy0yy（C）； （D）0yy0yy二、填空题1若是二阶非齐次线性微分方程的线性无关的解，12
20、3,yyy( )( )( )yp x yq x yf x则用表达此方程的通解为 123,yyy2微分方程的通解为 (4)(3)2250yyy3微分方程的通解 1yyy 4以为一个特解的二阶常系数线性微分方程为 2e cos3xyx275的一个特解形式为 56e sin6xyyyx三、计算题1求解微分方程 2 001,|0,|1xxyyyy2求微分方程的通解，其中 a 为常数0 ayy283求微分方程在原点处与直线相切的特解224xyy xy 4求微分方程的通解2sinyyx 29四、综合题设具有二阶连续导数，且( )f x(0)0(0)1ff 不2()( ) d( )d0xy xyf x yx
21、fxx yy是全微分方程，求及此全微分方程的通解( )f x30综合练习题学院 班级 姓名 学号 一、单项选择题1设 L 为椭圆的顺时针方向，则（ ） 22221xy ab()d()d Lxyxyxy A（A）（B）（C）0（D）2 ab2 ab22设，由（222222222:1.:1. :1xyzxyzr xyz0(0)xy0，0，-1）到（0，0，1）则以下计算（ ）错误（A）（B）（C）（D）d0z Vd0z sd0 rz s d0 rz y 3设为正项级数，下列结论中正确的是（ ） na（A）若，则级数收敛；lim0nnna 1n na（B）若存在非零常数，使得，则级数发散；limnn
22、na 1n na（C）若级数收敛，则；1n na2lim0 nn a （D）若级数发散，则存在非零常数，使得1n nalimnnna 4若，则幂级数 ( )11lim4nn na a20n n na x（A）当2 时绝对收敛；（B）当时绝对发散；|x1|4x （C）当4 时绝对收敛；（D）当时绝对发散|x1|2x 5设是方程的解，并且，则 ( )( )yf xsinexyy0()0fx( )f x（A）在点的某邻域内单调增加； （B）在点的某邻域内单调减少；0x0x（C）在点处取极小值 （D）在点处取极大值0x0x二、填空题1L 为上半圆周，则 21yx222() edxyLxys312设是柱
23、面在之间的部分，则 221xy02z2dyS3设为 L 椭圆，其周长为 a，则 22 143xy22(234)dLxyxys A4周期为 2 的函数，它在一个周期内的表达式为，设它的傅( )f x( ),11f xxx 里叶级数的和函数为，则 ( )s x3 2s5以为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 12( )sin ,( )cosy xx yxx6曲面，则 :| 1xyz(|)dxyS A三、计算题1计算，其中为锥面被柱面截得的有限部分1dISz22zxy222xyx322计算曲线积分，其中为连接点 O(0, 0)和2(2 sin)d(cos1)d ONAxyyxxyyONA的任何路径，
24、但与直线 OA 围成的图形 ONAO 有定面积(2,)2A3设函数在内具有二阶导数，且满足等式( )f u(0,) 22()zfxy22220zz xy（）验证：；( )( )0f ufuu（）若，求函数的表达式(1)0,(1)1ff ( )f u334计算其中为曲的上侧d d2d d3d dIxz y zzy z xxy x y2 21(01)4yzxz 5将函数展开成 x 的幂级数111( )lnarctan412xf xxxx346已知齐次方程的通解为求非齐次方程0) 1( yyxyxx 21e)(cxcxY的通解2) 1() 1( xyyxyx7. 设具有二阶导数。满足方程( )uu
25、r22()uuxy22 22 221uuuuxyxyxx求的表达式。22()uxy四、证明题设证明：对任意常数，级数收敛 , 3 , 2 , 1,d)(tan4/0nxxan n01nn na35综合模拟题（一）学院 班级 姓名 学号 一、单选题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）1.设L是光滑的，包含原点的正向闭曲线，则曲线积分( ).22ddLx yy x xy A(A)0 ; (B)2 ; (C) ; (D)- .2.设曲面 为在第一卦限部分的下侧，则( ).1xyzd dz x y(A) (B) (C) (D) 1;61;61;31.33.级数的收敛域是（ ）. 111n
26、nnx n(A)-1,1;(B) (-1,1; (C) -1,1);(D)(-1,1).4.级数（ ）.2 1sin1nx nn(A)发散； (B)条件收敛；(C)绝对收敛； (D)收敛性与取值有关，不能确定.5.已知幂级数在处收敛，则（ ）.1n n na x2x 11n n na(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.6.已知 是二队常系数非齐次线性微分方程的两个解，则2 12ee ,eexxxxyxyx此方程为（ ）.(A);(B) ;22exyyy22exyyyx(C) ;(D) .2exyy2e2 exxyyyx36二、填空题填空题（共 6 道小题，每
27、小题 3 分，满分 18 分） 1.设半圆形曲线的线密度则其对轴的转动惯量为 2220xyRy1.y2.设 是平面上的圆域，则 yoz221yz222dxyzs3.设 是平面在第一卦限部分的上侧，则 1xyz, ,d dIP x y zy z化成对面积积分为 I= , ,d d, ,d dQ x y zz xR x y zx y4.设向量场，则其旋度为 ,3 , 2zxyA5.微分方程的通解是 6dd0xyxx y6.微分方程满足的解为 2=0y yy 01,01yy三、计算题（共 5 道小题，每小题 8 分，满分 40 分）1.求曲面积分其中 为抛物面上侧.2d dd d ,xzy zz x
28、 y22+(01)zxyz2.判断级数的敛散性.1201sind1nnxxx373.将函数展开成的幂级数. 2xf xx1x 4.求微分方程的通解.2lnxyyxyx5.将函数展开成余弦级数. 0f xxx38四、计算题（共 2 道小题，每小题 12 分，满分 24 分）1.求级数 的和 12 11241nnn2.设具有连续的二阶导数，且对于 xoy 平面内任意一条正 f x 00 ,1,ffx向光滑封闭曲线 sindd0. Lxf xy xfxyf x A不39综合模拟题（二）学院 班级 姓名 学号 一、选择题（共 5 道小题，每小题 3 分，满分 15 分）1.已知 为空间曲面的上侧，则下
29、列选项正确的是（ ）.2201xyzz(A)(B) d d0;xz y zd d0;xy y z(C) (D) d d0;yz x zd d0;z x y2.设其中 0100,cossin,20nn naxaf xabg xanxbnxbx（ ） 0111d ,cosd ,sind ,nnaf xx af xnx x bf xnx x不(A)(B) 0(0);fg 0(0);fg(C)(D) 0(0);fg 0(0);fg不不不不不不不不3.级数收敛，则下列级数必收敛的是（ ）1n na(A) (B) 11;nna n21n na(C) (D) 212 1)nn naa (1 1)nn naa
30、 (4.设为非齐次线性微分方程的两个不同的特 1122,yyxyyx yp x yf x解，则其通解可表示为（ ）.(A) (B) 211yc yyy112yc yy(C) (D) 211yc yyy21yc yy5.微分方程的特解形式可设为（ ）sinyyxx(A)(B)*cossinyaxbxcxdx*cossinyx axbx(C)(D) *22cossinyaxbxxcxdxx*sin.yaxbx二、填空题（共 5 道小题，每小题 3 分，满分 15 分）1.已知平面曲线 22222:0 ,d LL xyaaxys A不402.已知L为平面区域的正向边界，则 2222:10,0xyDa
31、babd Lx y A3.已知三元函数 .222, ,graduu x y zxyzu则di v4.幂级数的收敛域为 111nnnxn5.已知 为全微分方程，m 为常数，则 m = .32323dd =0mxx yxx yyy三、计算题(共 4 个小题，每小题 9 分，满分 36 分)1.计算曲线积分其中L为空间螺旋线 ddd , Lzx xzy yy zcos ,sin ,xatyatL的方向为曲线上由对应的点指向对应点., 0,zatt 0t t2.判别级数的敛散性. 212!2!nnnn413.将展为的幂的级数. 232xf xxx3x 4.求微分方程的通解.2exyyy42四、计算题（共 4 小题，第 1、2 题各 9 分，第 3、4 题各 8 分，满分 34 分）1.求常微分方程的通解.256exyyyx2.计算球面被柱面所割下部分的曲面22220xyzaa220xyaxa的面积.433计算曲面积分，其中为曲面d d2d d3d dIxz y zyz z xxy x y的上侧2 21(01)4yzxz 4利用与的 Fourier 展开式求级数(0)yxx2(0)yxx的和函数2 1cos(0)nnxxn( )S x