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1、2.5.2 圆与圆的位置关系1.1.理解圆与圆的位置的种类；理解圆与圆的位置的种类；2.2.会用代数法、几何法判断两圆的位置关系；（会用代数法、几何法判断两圆的位置关系；（重点、难点重点、难点）；3.3.会求两相交圆的公共弦方程、公共弦长会求两相交圆的公共弦方程、公共弦长.前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系.现现在我们类比前面的研究方法，利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的在我们类比前面的研究方法，利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系位置关系.我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系：我们知道，两个圆
2、之间存在以下三种位置关系：(1)(1)两圆两圆相交，有两个公共点；相交，有两个公共点；(2)(2)两圆两圆相切，包括外切和内切，只有一个公共点；相切，包括外切和内切，只有一个公共点；(3)(3)两圆相离，包括外离与内含，两圆相离，包括外离与内含，没有公共点没有公共点.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系思考：思考：类比利用直线与圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何类比利用直线与圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？下面，我们通过具体的例子进行研究下面，我们通过具体的例子进行研究.例例1 1 已知圆已知圆 和圆
3、和圆 ，判断圆判断圆C1 与圆与圆C2 的位置关系的位置关系.分析：分析：思路思路1 1：圆：圆C1 与圆与圆C2 的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程组成的方程组有几个实数解确定；有几个公共点又由它们的方程组成的方程组有几个实数解确定；思路思路2 2：借助图形，可以依据圆心距与两半径的大小关系，判断两圆的位借助图形，可以依据圆心距与两半径的大小关系，判断两圆的位置关系置关系解法一：解法一：联立圆联立圆C1 与圆与圆C2 的方程，得的方程，得所以，所以，圆圆C1 与圆与圆C2有两个公共点，即两圆相交有两个公共点，即两圆相交作
4、差作差，得，得整理，整理，得得 将上式代入将上式代入式，得式，得因为因为解法二：解法二：圆圆C1 的方程可化为的方程可化为 ，其圆心其圆心C1 的坐标为的坐标为(-1(-1，-4)-4)，半径长为，半径长为 ，则圆心距则圆心距圆圆C2 的方程可化为的方程可化为 ，其圆心其圆心C1 的坐标为的坐标为(2(2，2)2)，半径长为，半径长为 ，因为，因为，所以有所以有所以两圆相交所以两圆相交.圆与圆的位置关系判断圆与圆的位置关系判断已知已知两圆的方程，则两圆的位置关系的判断有两种方法：两圆的方程，则两圆的位置关系的判断有两种方法：(1)(1)代数法：代数法：将两个圆方程联立，消去其中的一个未知数将两
5、个圆方程联立，消去其中的一个未知数y 或或 x，得关于，得关于x或或y 的一元二次方程，利用一元二次方程的判别式判断两圆的位置关系的一元二次方程，利用一元二次方程的判别式判断两圆的位置关系.相交相交相切相切(内切或外切内切或外切)相离相离(外离或内含外离或内含)(2)(2)几何法：将两圆的方程化为标准形式，得到两圆的圆心坐标和半径几何法：将两圆的方程化为标准形式，得到两圆的圆心坐标和半径r1，r2，计算两圆的圆心距，计算两圆的圆心距d，根据，根据d 与与r1，r2之间的关系，判断两圆的位置关系之间的关系，判断两圆的位置关系.外离外离外切外切相交相交内切内切内含内含思考：思考：两种方法的优缺点两
6、种方法的优缺点几何方法直观，但不能求出交点坐标；几何方法直观，但不能求出交点坐标；代数方法能求出交点坐标，但当代数方法能求出交点坐标，但当 ，时，不能判断两圆确切的时，不能判断两圆确切的位置关系位置关系.1.1.判断下列各组圆判断下列各组圆C1 与圆与圆C2 的位置关系的位置关系：(1)(1)，；(2)(2)，；(3)(3)，.前面我们求证了圆前面我们求证了圆 与圆与圆 相交，若记两交点为相交，若记两交点为A，B，则线段，则线段AB即为公共弦，那如何求即为公共弦，那如何求公共弦所在直线方程和公共弦长呢？公共弦所在直线方程和公共弦长呢？两圆的公共弦两圆的公共弦下面，我们先求两圆公共弦所在直线方程
7、下面，我们先求两圆公共弦所在直线方程.探究更一般的情形探究更一般的情形 若圆若圆 与圆与圆相交于相交于A，B两点，两点，设设 ，因为点，因为点A 在圆在圆C1上，也在圆上，也在圆C2上，上，那么那么-得得 同理点同理点B 在圆在圆C1上，也在圆上，也在圆C2上，可得上，可得由由可知点可知点A，B 都在直线都在直线 上上.显然通过两点的直线只有一条，即直线方程唯一，显然通过两点的直线只有一条，即直线方程唯一，故公共弦的方程为故公共弦的方程为 利用结论可得圆利用结论可得圆 与圆与圆 的相交弦所在直线方程为的相交弦所在直线方程为下面我们求公共弦长下面我们求公共弦长思路思路1 1：解出交点坐标，利用两
8、点间的距离公式求出弦长：解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长思路思路2 2：利用圆的半径、弦心距代入弦长公式求解：利用圆的半径、弦心距代入弦长公式求解.解法一：解法一：联立联立相交弦相交弦与圆与圆C1 的方程，得的方程，得所以，所以，相交弦的两端点相交弦的两端点是是A(-1(-1，1)1)，B(3(3，-1).-1).消去消去y，得，得解解得得 ，将将 ，分别代入方程分别代入方程，得，得 ，因此，因此，.则圆心则圆心C(-1(-1，-4)-4)到到相交弦相交弦距离距离解法二：解法二：圆圆C1 的方程可化为的方程可化为 ，其圆心其圆心C 的坐标为的坐标为(-1(-1，-4)-4)，半径长为，半径长为5 5，所以，所以，例例2 2已知圆已知圆 和圆和圆 相交于相交于A、B 两点，两点，求求AB所在的直线方程和公共弦所在的直线方程和公共弦AB的长的长2.2.已知圆已知圆 ，相交相交于于A，B两两点，求点，求AB所在的直线方程和公共弦所在的直线方程和公共弦AB的长的长两圆心坐标及半径两圆心坐标及半径（配方法）（配方法）圆心距圆心距d（两点间距离公式）（两点间距离公式）比较比较d和和r1，r2的和与差的和与差的大小，下结论的大小，下结论 消去消去y（或（或x）几何方法几何方法代数方法代数方法