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1、晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论晶格热容的量子理论固体中讨论的热容一般指定容热容Cv，在热力学中是固体的平均内能，包括平衡时的内能，即结合能，但它只是体积的函数，因此对Cv没有贡献；另外还包括晶格振动的能量和电子运动的能量。电子热容只有在温度很低的情况下才有必要考虑，本章只考虑晶格热容。根据经典统计理论的能量均分定理，每一个自由度的平均能量为。为平均动能，为平均势能，若固体有N个原子，则总的平均能量为，是一个与温度和材料性质无关的常数（杜隆珀替定律）。在高温时定理与实验符合得很好，但在低温时，热容不再是常数，而是随着温度的下降Cv很快趋向于零，绝缘体按T3趋向于零，金属按
2、T趋向于零。表明低温时能量均分定理不再适用，需要建立新的理论来解释实验结果。为此，爱因斯坦在普朗克量子假说的基础上提出了量子的热容理论。根据量子理论，简谐振子的能量是量子化的平均能量为令而则所以(1)高温时随着温度的降低，Cv迅速减小，T 0 Cv 0()低温时晶体中有3N个简谐振子如果认为振子的频率为连续分布，则求和就变为积分而振动的频率分布函数满足可见用量子理论求热容，关键是要求出分布函数，对于具体的晶体计算是非常复杂的，一般讨论中，常采用爱因斯坦模型和德拜模型。一、爱因斯坦模型爱因斯坦模型对晶格振动采用了很简单的假设，假设晶格中原子的振动可以看作是相互独立的，所有原子都具有同一频率0 0
3、，考，考虑虑到每到每个个原子可以原子可以沿三沿三个个方向振方向振动动，共有，共有3N3N个个频频率率为为0 0的振的振动动。通过选择适当的0 0，可以使理，可以使理论值论值与与实验值实验值尽尽可能符合可能符合与与经经典理典理论论相比，相比，爱爱因斯因斯坦理坦理论论的改的改进进是十分是十分显显著的，反映出著的，反映出CvCv在低在低温温时时下降的基本下降的基本趋势趋势，但在低，但在低温温时爱时爱因因斯坦理斯坦理论值论值下降很陡，下降很陡，与与实验值实验值不符。不符。通常定义爱因斯坦温度E，通过选择爱因斯坦温度使理论值与实验值符合，一般在100300k二、德拜模型在晶格热容量理论的发展中，德拜提出
4、的理论获得了很大的成功。爱因斯坦把晶格中各原子的振动看成是相互独立的，因而3N个振动频率是相同的，显然是一个过于简单的假设。固体中各原子间存在相互作用，前面讨论的一维单原子链、一维双原子链以及三维晶格的振动，都显示晶格振动的频率不是一个而是有很多个，三维晶格中有N个振动频率。德拜理论考虑了频率的分布，但他不是从原子理论分析的，而是从宏观力学来考虑，把晶体当作弹性介质来处理，考虑的是各向同性的弹性介质，在这种情况下，对于一定的波数矢量q有一个纵波和两个独立的横波。纵波和横波具有不同的波速在q空间中，q的取值不是任意的，只能是满足周期性边界条件的一系列数值q的不同取值代表q空间均匀分布的点子，每个
5、点子占据q空间的体积为允许的q值在q空间均匀分布的密度为qq+dq先考虑纵波，频率在到到+d+d内内的的纵纵波波,波波数数为为在q空间占据着半径为q厚度为dq的球壳，体积为纵波的数目为为横波的数目为为相加得总的频率分布为积积分必然是分必然是发发散的，散的，显显然不符合然不符合实际实际情情况况(可以取可以取0 0到到的任意的任意值值，对应对应于于无限无限长长的波和无限短的波的波和无限短的波)。原因是。原因是连续连续介介质质可以可以认为认为包含无限的自由度。包含无限的自由度。而而实际实际晶体是由原子晶体是由原子组组成的，如果包含成的，如果包含N个个原子，自由度只有原子，自由度只有3N个个，振，振动动模模也只有也只有3N个个。要用。要用弹弹性力性力学学的的结结果果处处理晶格振理晶格振动问题动问题，必，必须对须对有一定的限有一定的限制。德拜假定大于制。德拜假定大于m m的短波的短波实际实际上是不存在的，而上是不存在的，而对对于于m以下的振的振动动都可都可以以应应用用弹弹性波近似。性波近似。m则根据自由度确定所以(令 )