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1、绝密启用前绝密启用前2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答
2、案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合A=x|x1000的最小偶数n，那么在AA1 000 和n=n+1BA1 000 和n=n+2CA1 000 和n=n+1DA1 000 和n=n+29已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2)，则下面结论正确的是3A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移到曲线C2个单位长度，得6个单位长度，12B把C1上各点的横
3、坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得261倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，2122得到曲线C210已知F为抛物线C：y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D10211设xyz为正数，且2x3y5z，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x100且该数列的前N项和为2 的整数幂。那么
4、该款软件的激活码是A440B330C220D110012001二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量a a，b b的夹角为 60，|a a|=2，|b b|=1，则|a a+2 b b|=.x2y114设x，y满足约束条件2xy1，则z3x2y的最小值为.xy0 x2y215已知双曲线C：221（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线abC的一条渐近线交于M、N两点。若MAN=60，则C的离心率为_。16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分
5、别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为_。3三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。a217（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3sinA（1）求 sinBsinC;3（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.18.（12 分）
6、如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且BAP CDP 90.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD 90，求二面角A-PB-C的余弦值.19（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,)（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X 1)及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产
7、过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04210.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9511611611622xi 9.97，s 经计算得x(xi x)(xi16x2)2 0.212，其中xi为抽取16i116i116i1的第i个零件的尺寸，i 1,2,16，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对用样本平均数x作为的估计值 3,3)之外的数据，当天的生产过程进行检查？剔除(用剩下的数据
8、估计和（精确到 0.01）2附：若随机变量Z服从正态分布N(,)，则P(3 Z 3)0.997 4，0.997 416 0.959 2，0.008 0.0920.（12 分）33x2y2已知椭圆C：22=1（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有22ab三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l4过定点.21.（12 分）2xx已知函数（ae+(a2)e x.f x)（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.（二）选考题：共 10 分。
9、请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x 3cos,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为y sin,x a 4t,（t为参数）.y 1t,（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数f（x）=x+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1 时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.252017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参
10、考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A7B2B8D3B9D4C5D6C10A11D12A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。132 314-5152 331615cm3三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。a217（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3sin A（1）求 sinBsinC;（2）若
11、 6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.解：（1）由题意可得SABC1a2，bcsin A 23sin A化简可得2a2 3bcsin2A，根据正弦定理化简可得：2sin2A 3sin BsinCsin2A sin BsinC（2）2。32sin BsinC 123由，cos A cosA B sin BsinCcosBcosC A 23cosBcosC 16因此可得B 3C，将之代入sinBsinC 231中可得：sinCsinC sinCcosC sin2C 0，3223化简可得tanC 3 C,B，3666利用正弦定理可得b a31sin B 3，sin A322同理可得c 3
12、，故而三角形的周长为3 2 3。18.（12 分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且BAP CDP 90.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD 90，求二面角A-PB-C的余弦值.（1）证明：AB/CD,CD PDAB PD,又AB PA,PA PD P,PA、PD都在平面PAD内，故而可得AB PAD。又AB在平面PAB内，故而平面PAB平面PAD。（2）解：不妨设PA PD AB CD 2a，以AD中点O为原点，OA为x轴，OP为z轴建立平面直角坐标系。故而可得各点坐标：P 0,0,2a,A因此可得PA 2a,0,0,B 2a,2a,0,C 2
13、a,2a,0，2a,0,2a,PB 2a,2a,2a,PC 2a,2a,2a，假设平面PAB的法向量n1x,y,1，平面PBC的法向量n2m,n,1，故而可得n1PA 2ax 2a 0 x 1n1PB 2ax 2ay 2a 0 y 0，即n11,0,1，n2 PC 2am 2an 2a 0 m 02同理可得。2，即n20,2,1n2 PB 2am 2an 2a 0 n 27因此法向量的夹角余弦值：cos n1,n212 323。3很明显，这是一个钝角，故而可得余弦为19（12 分）3。3为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：c
14、m）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,)（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求P(X 1)及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04210.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95116116
15、11622xi 9.97，s 经计算得x(xi x)(xi16x2)2 0.212，其中xi为抽取16i116i116i1的第i个零件的尺寸，i 1,2,16，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对用样本平均数x作为的估计值 3,3)之外的数据，当天的生产过程进行检查？剔除(用剩下的数据估计和（精确到 0.01）2附：若随机变量Z服从正态分布N(,)，则P(3 Z 3)0.997 4，0.997 416 0.959 2，0.008 0.09解：（1）PX 11 PX 010.99741610.9592 0.0408由题意可得，X满足二项分布X B16,0.0016，因此可得EX16
16、,0.0016160.0016 0.0256（2）1由（1）可得PX 1 0.0408 5%，属于小概率事件，故而如果出现(3,3)的零件，需要进行检查。2由题意可得 9.97,0.212 3 9.334,310.606，8故而在9.334,10.606范围外存在 9.22 这一个数据，因此需要进行检查。此时：x 9.97169.2210.02，15115x x 0.09。15i120.（12 分）33x2y2已知椭圆C：22=1（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P4（1，）中恰有22ab三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B
17、两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.解：（1）根据椭圆对称性可得，P1（1,1）P4（1，3）不可能同时在椭圆上，2P3（1，33），P4（1，）一定同时在椭圆上，2233），P4（1，），22因此可得椭圆经过P2（0,1），P3（1，代入椭圆方程可得：b 1,131 a 2，2a4x2故而可得椭圆的标准方程为：y21。4（2）由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在，不妨设直线P2A为：y kx 1,P2B为：y 1 kx 1.y kx 122联立x2 4k 1 x 8kx 0，2 y 1 4假设Ax1,y1，Bx2,y2此时可得：28k1 4k281 k1
18、41 kA2,2,，,B224k 1 4k 141 k1 41 k191 41 k此时可求得直线的斜率为：kABy2 y1x2 x11 4k22241 k14k 181 k41 k1228k4k21，化简可得kAB 11 2k2，此时满足k 1。21当k 1时，AB两点重合，不合题意。2118k1 4k22当k 时，直线方程为：y ，x 22221 2k4k 14k 14k即y 21.（12 分）2xx已知函数（ae+(a2)e x.f x)2 4k 1 x21 2k，当x 2时，y 1，因此直线恒过定点2,1。（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解：（1）
19、对函数进行求导可得f x 2ae2xa 2ex1 aex1 ex1。xx1当a 0时，f x ae 1 e 1 0恒成立，故而函数恒递减xx2当a 0时，f x ae 1 e 1 0 x ln1 1，故而可得函数在,ln上单调递aa减，在ln1,上单调递增。a1 1 lna 1，aa（2）函数有两个零点，故而可得a 0，此时函数有极小值fln要使得函数有两个零点，亦即极小值小于0，111 0a 0，令ga lna 1，aaa 1对函数进行求导即可得到ga2 0，故而函数恒递增，a1又g1 0，ga lna 1 0 a 1，a故而可得lna 因此可得函数有两个零点的范围为a0,1。10（二）选考
20、题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x 3cos,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为y sin,x a 4t,（t为参数）.y 1t,（1）若a=1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.解：11x2将曲线 C 的参数方程化为直角方程为 y21，直线化为直角方程为y x 1a94413y x 13（1）当a 1时，代入可得直线为y x，联立曲线方程可得：44，44x29y2 921x 25或x 3，故而交点为21,24或解得3,0
21、25 25y 0y 24253cos 4sin a 411x 3cos,（2）点到直线y x 1a的距离为d 17，y sin,4417即：3cos 4sin a 4 17，化简可得17a 4 3cos 4sin17 a 4，根据辅助角公式可得13 a 5sin 21 a，又5 5sin 5，解得a 8或者a 16。23选修 45：不等式选讲（10 分）已知函数f（x）=x+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当a=1 时，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含1，1，求a的取值范围.解：2x 12x将函数gx x 1 x 1化简可得gx21 x 12xx 111（1）当a 1时，作出函数图像可得fx gx的范围在F和G点中间，联立y 2x2y x x 4可得点G17 117 1，因此可得解集为,17 11,。22（2）即fx gx在1,1内恒成立，故而可得x2 ax 4 2 x2 2 ax恒成立，根据图像可得：函数y ax必须在l1,l2之间，故而可得1 a 1。12