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1、 2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和
2、涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 = x | x 1 ，B =x | 3 1，则1已知集合 Ax= x | x 1=B A B RA A BC A B= D A B14pACBD812p43设有下面四个命题1R ，则 z R ； p ：若复数 z 满足 z2 R ，则 z R ；p ：若复数 z 满足1z2p ：若复数 z , z 满足 z z R ，则 z = z ；p ：若复数 z4Rz R.，则3121 212其中的
3、真命题为A p , p1B p , p1C p , p2D p , p23434+ a = 24 S = 48 ，则a 的公差为4记 S 为等差数列a 的前 项和若an，nn456n A1B2C4D85函数 f (x) 在(-,+)单调递减，且为奇函数若f (1) = -1，则满足-1 f (x - 2) 1的 的取值范围是xA-2,2B-1,1C0,4D1,31+ )(1+ x)6(1展开式中 x2的系数为6x2A15B20C30D357某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这
4、些梯形的面积之和为A10B12C14D168右面程序框图是为了求出满足3nn2p，则下32面结论正确的是A把C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个61单位长度，得到曲线C2B把C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移121个单位长度，得到曲线C21C把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个261单位长度，得到曲线C21D把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2121 个单位长度，得到曲线C210已知F 为抛物线C : y2= 4x 的焦点，过F 作两条
5、互相垂直的直线l ,l，直线l 与 交C121于A、B两点，直线l 与C 交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为2A1611设xyzB14C12D10= 3 = 5为正数，且2x，则yzA2x 3y 5zC3y 5z 2xB5z 2x 3yD3y 2x 100件的最小整数N : N且该数列的前N 项和为2 的整数幂。那么该款软件的激活码是A440B330C220D110二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量a，b的夹角为 60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .x + 2y 1+ y -1= -，则z 3x 2y 的最小值为 .14设
6、x, y 满足约束条件2xx - y 0x2y2- =1(a 0,b 0)15已知双曲线C :的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，a b22圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若MAN = 60_。，则C 的离心率为16如图，圆形纸片的圆心为O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。D、E、F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F重合，得到三棱锥。当ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_。 三、解答
7、题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。a217（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为3sin A（1）求sin BsinC ;=1,a = 3（2）若6cos BcosC，求ABC的周长.18.（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD中，AB/CD，且BAP = CDP = 90.（1）证明：平面 PAB平面 PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD = 90，求二面角 A-PB-C 的余弦值.19（
8、12 分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生m s产的零件的尺寸服从正态分布N( , 2) m s m s( - 3 , + 3 )（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在之外的零件数，求 P(X 1)及 的数学期望；Xm s m s( - 3 , + 3 )（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检
9、验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.9511116=x = 9.97 ，si=( - ) =2(2-16x ) 0.212，2 2经计算得 xx xx161616iii=1i=1i=1=1,2,16其中 x 为抽取的第 个零件的尺寸，iiimsm用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差s 作为 的估计值s ，利用估计值x判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(m - 3s, m + 3s)之外的数据，用剩下的数据s估
10、计 和 （精确到 0.01）m(m,s )(m - 3sm 3s) 0.997 4 b0），四点 P （1,1），P （0,1），P （1，），P （1，2a2b212343）中恰有三点在椭圆 C 上.2（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P 点且与 C 相交于 A，B 两点。若直线 P A 与直线 P B 的斜率的和为2221，证明：l 过定点.21.（12 分）(x) = ae + (a - 2)e - x已知函数 f2xxf (x)（1）讨论的单调性；f (x)（2）若有两个零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，
11、则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）x =3cosq,（ 为参数），直线l 的参数方在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为y = sinq,x = a +4t,程为（t为参数）.y =1- t,（1）若 a= 1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a.23选修 45：不等式选讲（10 分）(x) = -x + ax + 4, g(x) =| x +1| + | x -1|已知函数 f2 a 1时，求不等式 f（x） （ ）的解集；g x（1）当（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取
12、值范围. 2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. A7B2B8D3B9D4C5D6C10A 11D 12A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。2 3132 314-515164 15cm33三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。a217（12 分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
13、已知ABC的面积为3sin A（1）求 sinBsinC;（2）若 6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长.解：（1）1由题设得 acsin Ba21，即 csin Ba=23sin A23sin A1sin A由正弦定理得 sinC sin B =23sin A2=故sin BsinC。3（2）由题设及（1）得cos BcosC -sin BsinC = - 112，即cos(B + C) = -22pp所以B + C =，故A =331由题设得 bcsin Aa2=，即bc 823sin A+ c -bc = 9(b + c) - 3bc = 9+ =，得b c 33由余弦定理得b
14、2，即22故DABC 的周长为3+3318.（12 分）解： （1）由已知BAP = CDP = 90，得AB AP CD PD， PD， 从而AB 平面 PAD由于 AB / /CD ，故 AB又 AB 平面PAB，所以平面 PAB 平面 PAD AD，垂足为 F由（1）可知， AB 平面PADABCDx- xyz位长，建立如图所示的空间直角坐标系F2由（1）及已知可得 A( ,0,0), P(0,0,22), B( ,1,0),C(2-,1,0)22222222= (-,1,- ),CB = ( 2,0,0), PA = ( ,0, - ), AB = (0,1,0)所以 PC2222=
15、(x, y, z)PCB设 n是平面的法向量，则22 PC = 0,CB = 0n-x + y -z = 0,即 22ny = 0= (0,-1,- 2)可取n设 m= (x, y, z)是平面 PAB的法向量，则22 PA = 0, AB = 0mx -z = 0,即 22my = 0= (1,0,1)=可取 mnm3= -则cos| n | m |33所以二面角 A- PB -C 的余弦值为-319（12 分）解：m s m s( -3 , +3 )（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为 0.9974，从而零件的尺寸在 m s m s( -3 , +3 )X B(16,0.0026)，因
16、此之外的概率为 0.0026，故P(X 1) =1- P(X = 0) =1- 0.9974 0.040816=160.0026 = 0.0416的数学期望为 EXXm s m s( -3 , +3 )（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸在之外的概率只有 0.0026，m s m s( -3 , +3 )之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小。因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。m，得 的估计值为m = 9.97,sx= 9.97
17、,s 0.212的估计值为s =0.212 ，（ii）由m - s m + s( 3 , 3 )由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在的生产过程进行检查。之外，因此需对当天m - s m + s( 3 , 3 )剔除之外的数据 9.22，剩下数据的平均数为1(169.97 -9.22) =10.0215m因此 的估计值为 10.0216= x 16 0.212 16 9.97 1591.134+ 222ii=1m - s m + s( 3 , 3 )剔除之外的数据 9.22，剩下数据的样本方差为1(1591.134-9.22 -1510.02 ) 0.0082215s因此 的估计值为 0.008
18、 0.0920.（12 分）解：（1）由于 P , P 两点关于 轴对称，故由题设知C 经过 P , P 两点y34341 113+ +又由知，C 不经过点 P ，所以点 P 在C 上2a b2a 4b2122 1=1, =a 4b22因此 解得13 =b 12+a 4b=122x2+ y =1故C 的方程为24（2）设直线 P A 与直线 P B 的斜率分别为k ,k2212如果 与 轴垂直，设l : xx，可得l= t ，由题设知t 0，且| t | 0由题设可知228km4m - 42+ x = -, x x =1 2设 A(x , y ), B(x , y ) ，则 x24k +14k
19、 +11121222y -1 y -1k+ k =+而12xx1212kx + m -1 kx + m -1=+12xx122kx x + (m -1)(x + x )1 212x x1 2+ k = -1 ，故(2k +1)x x + (m -1)(x + x ) = 0由题设 k1212124m - 4-8km2(2k +1)+ (m -1)= 0即4k +14k +122m +1= -解得 k2m +1 -1时，D 0，于是l : y = -x + m ，当且仅当m2-1)所以 过定点(2,l21.（12 分）解：（1） f (x) 的定义域为(-,+) f (x) = 2ae + (a
20、 - 2)e -1 = (ae -1)(2e +1)，2xxxx 0f (x) 0，则由 f (x) = 0 x = -ln a(-,-ln a)(-ln a,+)f (x) 0当 x当 x时，时，； 所以 f (x) 在(-,-ln a) 单调递减，在(-ln a,+) 0f (x)单调递增。（2）（i）若a（ii ）若 a，由（1）知，至多有一个零点 0x = -ln a，由（1 ）知，当时， f (x) 取得最小值，最小值为1f (-ln a) =1- + ln aa 当 a=1时，由于 f (-ln a) = 0，故f (x)只有一个零点；1(1,+)1- + ln a 0f (-ln
21、 a) 0 当 a时，由于，即，故 f (x) 没有零a点；1(0,1)时，1- + ln a 0f (-ln a) -2e + 2 0f (x) (-,-ln a)在 有一又 f (，故-4-2-2个零点。3设正整数 满足n，n ln( -1)0a0= e (ae + a - 2) - n e - n 2 - n 0则 f (n )0n0n0n0n00003-1) -ln af (x) (-ln a,+)在 有一个零点由于ln(，因此a综上， 的取值范围为(0,1)a22解：x2+ y =1（1）曲线C 的普通方程为，29= -1lx + 4y -3 = 0时，直线 的普通方程为当 a212
22、5x + 4y -3 = 0,x = -x = 3, 由 解得 或 x2y = 0+ y =1242y =92521 24从而 与 的交点坐标为(3,0),(lC- , )25 25q q(3cos ,sin ) 到l 的距离为+ 4y - a - 4 = 0（2）直线l 的普通方程为 x，故C 上的点 qq| 3cos + 4sin - a - 4 |d =17a + 9a + 9 -4 -4= 17 ，所以a = 8；当 a当 a时，d 的最大值为，由题设得1717-a +1-a +1= 17= -，所以 a 16时，d 的最大值为，由题设得1717= 8 a = -16或综上， a23解
23、：= 1（1）当a时，不等式 f (x) g(x) 等价于x2 - x+ | x +1| + | x -1| -4 0当 x1时，式化为 x + x - 4 0 0x = -ln a，由（1 ）知，当时， f (x) 取得最小值，最小值为1f (-ln a) =1- + ln aa 当 a=1时，由于 f (-ln a) = 0，故f (x)只有一个零点；1(1,+)1- + ln a 0f (-ln a) 0 当 a时，由于，即，故 f (x) 没有零a点；1(0,1)时，1- + ln a 0f (-ln a) -2e + 2 0f (x) (-,-ln a)在 有一又 f (，故-4-2
24、-2个零点。3设正整数 满足n，n ln( -1)0a0= e (ae + a - 2) - n e - n 2 - n 0则 f (n )0n0n0n0n00003-1) -ln af (x) (-ln a,+)在 有一个零点由于ln(，因此a综上， 的取值范围为(0,1)a22解：x2+ y =1（1）曲线C 的普通方程为，29= -1lx + 4y -3 = 0时，直线 的普通方程为当 a2125x + 4y -3 = 0,x = -x = 3, 由 解得 或 x2y = 0+ y =1242y =92521 24从而 与 的交点坐标为(3,0),(lC- , )25 25q q(3co
25、s ,sin ) 到l 的距离为+ 4y - a - 4 = 0（2）直线l 的普通方程为 x，故C 上的点 qq| 3cos + 4sin - a - 4 |d =17a + 9a + 9 -4 -4= 17 ，所以a = 8；当 a当 a时，d 的最大值为，由题设得1717-a +1-a +1= 17= -，所以 a 16时，d 的最大值为，由题设得1717= 8 a = -16或综上， a23解：= 1（1）当a时，不等式 f (x) g(x) 等价于x2 - x+ | x +1| + | x -1| -4 0当 x1时，式化为 x + x - 4 0 ，从而1 x当 x22-1+ 17 g(x)- 的解集为x | 1 x所以 f (x)2（2）当 x-1,1时， g(x) = 2 g(x)的解集包含-1,1，等价于当x-1,1 f (x) 2时所以 f (x)又 f (x) 在-1,1-1 a 1的最小值必为f (-1) f (1)与f (-1) 2 f (1) 2之一，所以 且 ，得所以 的取值范围为a-1,1