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1、第八章第八章 第四节第四节 直线与直线与圆、圆与圆的位置关圆、圆与圆的位置关系系1.1.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（1 1）三种位置关系：）三种位置关系：_、_、_._.(2)(2)两种研究方法：两种研究方法：相交相交相切相切相离相离相交相交相切相切相离相离l=2.2.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系设圆设圆C C1 1:(x-a:(x-a1 1)2 2+(y-b+(y-b1 1)2 2=r=r1 12 2(r(r1 10),0),圆圆C C2 2:(x-a:(x-a2 2)2 2+(y-b+(y-b2 2)2 2=r=r2 22 2(r(r2 20).0).相交相交相切相切相离相离
2、 方法方法位置关系位置关系几何法几何法:圆心距圆心距d=|Cd=|C1 1C C2 2|与与r r1 1,r,r2 2的关系的关系相离相离_外切外切_相交相交_内切内切d=|rd=|r1 1-r-r2 2|(r|(r1 1rr2 2)内含内含0d0d|r|r1 1-r-r2 2|(r|(r1 1rr2 2)d dr r1 1+r+r2 2d=rd=r1 1+r+r2 2|r|r1 1-r-r2 2|d dr r1 1+r+r2 2判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”“”或或“”“”）.(1)“k=1”(1)“k=1”是是“直线直线x-y+k=0 x-y+k=
3、0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交”的必要不充分条的必要不充分条件件.().()(2)(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.().()(3)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程公共弦所在的直线方程.().()(4)(4)过圆过圆O O：x x2 2+y+y2 2=r=r2 2外一点外一点P P（x x0 0,y,y0 0)作圆的两条切线，切点为作圆的两条切线，切点为A A，B B，则，则O,P,A,BO,P,A,B四点共圆
4、且直线四点共圆且直线ABAB的方程是的方程是x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2.().()【解析】【解析】(1)(1)错误错误.当当k=1k=1时，圆心到直线的距离时，圆心到直线的距离 此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则 解得解得 所以，所以，“k=1”“k=1”是是“直线直线x-y+x-y+k=0k=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=1=1相交相交”的充分不必要条件，而非必要不充分条件的充分不必要条件，而非必要不充分条件.（2 2）错误）错误.因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值，否因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值，否
5、则可能内切或内含则可能内切或内含.（3 3）错误）错误.只有当两圆相交时，方程才是公共弦所在的直线方程只有当两圆相交时，方程才是公共弦所在的直线方程.（4 4）正确）正确.由已知可得由已知可得O O，P P，A A，B B四点共圆，其方程为四点共圆，其方程为 即即x x2 2+y+y2 2-x-x0 0 x-yx-y0 0y=0,y=0,又圆又圆O O方程：方程：x x2 2+y+y2 2=r=r2 2,-得得:x:x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2,而两圆相交于而两圆相交于A,BA,B两点，故直线两点，故直线ABAB的方程的方程是是x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2
6、2.答案：答案：(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)1.1.圆（圆（x-1)x-1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=6=6与直线与直线2x+y-5=02x+y-5=0的位置关系是的位置关系是()()(A)(A)相切相切 (B)(B)相交但直线不过圆心相交但直线不过圆心(C)(C)相交过圆心相交过圆心 (D)(D)相离相离【解析】【解析】选选B.B.由题意知圆心（由题意知圆心（1 1，-2-2）到直线）到直线2x+y-5=02x+y-5=0的距离的距离 且且21+(-2)-50,21+(-2)-50,因此该直线与圆因此该直线与圆相交但不过圆心相交但不过圆心.2.2.已知圆已知圆
7、O O1 1:(x-a):(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=4,O=4,O2 2:(x-a-1):(x-a-1)2 2+(y-b-2)+(y-b-2)2 2=1=1(a,bR)(a,bR)，那么两圆的位置关系是，那么两圆的位置关系是()()(A)(A)内含内含 (B)(B)内切内切 (C)(C)相交相交 (D)(D)外切外切【解析】【解析】选选C.C.由已知由已知O O1 1(a,b),r(a,b),r1 1=2;=2;O O2 2(a+1,b+2),r(a+1,b+2),r2 2=1.|O=1.|O1 1O O2 2|=|=1=r1=r1 1-r-r2 2 3=r3=r1 1+
8、r+r2 2,两圆相交两圆相交.3.3.圆圆x x2 2+y+y2 2-4x=0-4x=0在点在点P P（）处的切线方程为）处的切线方程为()()【解析解析】选选D.D.圆的方程可化为（圆的方程可化为（x-2)x-2)2 2+y+y2 2=4=4，圆心坐标为，圆心坐标为（2 2，0 0），半径为），半径为2 2，点，点P P在圆上，设切线方程为在圆上，设切线方程为切线方程为切线方程为4.4.已知点已知点M M（x x0 0,y,y0 0)是圆是圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2（r0)r0)内异于圆心的一点，则内异于圆心的一点，则直线直线x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2
9、2与此圆的位置关系是与此圆的位置关系是_._.【解析】【解析】因为点因为点M(xM(x0 0,y,y0 0)是圆是圆x x2 2+y+y2 2=r=r2 2(r0)(r0)内的一点，所以内的一点，所以x x0 02 2+y+y0 02 2rr2 2，圆心到直线，圆心到直线x x0 0 x+yx+y0 0y=ry=r2 2的距离的距离 所以直线与圆相离所以直线与圆相离.答案：答案：相离相离5.5.若直线若直线3x+4y+m=03x+4y+m=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2-2x+4y+4=0-2x+4y+4=0没有公共点，则实数没有公共点，则实数m m的取值范围是的取值范围是_._.【解析
10、】【解析】将圆将圆x x2 2+y+y2 2-2x+4y+4=0-2x+4y+4=0化为（化为（x-1)x-1)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=1,=1,圆心坐标为（圆心坐标为（1 1，-2-2），半径为），半径为1.1.若直线与圆无公共点，则有若直线与圆无公共点，则有m0m10.m10.答案：答案：(-,0)(10,+)(-,0)(10,+)考向考向 1 1 利用利用“几何法几何法”研究直线与圆的位置关系研究直线与圆的位置关系【典例【典例1 1】(1)(2012(1)(2012安徽高考）若直线安徽高考）若直线x-y+1=0 x-y+1=0与圆与圆C C：（x-ax-a）2 2+y+y2
11、 2=2=2有公共点，则实数有公共点，则实数a a的取值范围是的取值范围是()()(A)(A)-3-3，-1-1(B)(B)-1,3-1,3(C)(C)-3,1-3,1(D)(-,-3(D)(-,-31,+)1,+)（2 2）（）（20122012福建高考）直线福建高考）直线 与圆与圆O O：x x2 2+y+y2 2=4=4相交于相交于A A，B B两点，则弦两点，则弦ABAB的长度等于的长度等于()()(3)(3)（20122012天津高考）设天津高考）设m,nR,m,nR,若直线若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆与圆(x-1)(x-1)2 2+
12、(y-1)+(y-1)2 2=1=1相切，则相切，则m+nm+n的取值范围是的取值范围是()()【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)利用几何法利用几何法.根据圆心到直线的距离不大于根据圆心到直线的距离不大于半径构建不等式求解半径构建不等式求解.(2)(2)利用几何法，根据弦长利用几何法，根据弦长 求解求解.(3)(3)先根据圆心到直线的距离等于半径，得到先根据圆心到直线的距离等于半径，得到m,nm,n的等量关的等量关系，再利用基本不等式求解系，再利用基本不等式求解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选C.C.圆圆(x-a)(x-a)2 2+y+y2 2=2=2的圆心的圆心C(a,0)C(a
13、,0)到直线到直线x-y+1=0 x-y+1=0的距离为的距离为d,d,则则-3a1.-3a1.（2 2）选）选B.B.圆圆x x2 2+y+y2 2=4=4的圆心的圆心O O（0 0，0 0）到直线）到直线的距离的距离又圆的半径为又圆的半径为r=2.r=2.(3)(3)选选D.D.因为直线与圆相切，所以因为直线与圆相切，所以d=rd=r，令令m+n=tm+n=t，则，则t t2 2-4t-40-4t-40 tt【互动探究】【互动探究】过点过点P P（2 2，4 4）引本例题（）引本例题（3 3）中圆的切线，则切）中圆的切线，则切线方程如何？线方程如何？【解析】【解析】当直线的斜率不存在时，直
14、线方程为当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2x=2，此时，圆，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-2),y-4=k(x-2),即即kx-y+4-kx-y+4-2k=02k=0，因为直线与圆相切，所以，圆心到直线的距离等于半，因为直线与圆相切，所以，圆心到直线的距离等于半径，即径，即 解得解得 所以所求切线所以所求切线方程为方程为 即即4x-3y+4=0.4x-3y+4=0.所以切线方程为所以切线方程为x=2x=2或或4x-3y+4=0.4x-3y
15、+4=0.【拓展提升】【拓展提升】1.1.几何法判断直线与圆的位置关系的流程几何法判断直线与圆的位置关系的流程2.2.求过一点且与圆相切的切线方程的方法及步骤求过一点且与圆相切的切线方程的方法及步骤（1 1）方法：待定系数法）方法：待定系数法.（2 2）步骤：）步骤：判断点是否在圆上，若在圆上，则有且只有一判断点是否在圆上，若在圆上，则有且只有一条切线；若在圆外，则有且只有两条切线；条切线；若在圆外，则有且只有两条切线；设切线方程（一般设点斜式方程）；设切线方程（一般设点斜式方程）；利用圆心到直线的距离等于半径，求待定系数值；利用圆心到直线的距离等于半径，求待定系数值；得切线方程得切线方程.【
16、提醒】【提醒】若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上.【变式备选】【变式备选】已知直线已知直线l:y=kx+1,:y=kx+1,圆圆C C：（：（x-1)x-1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=12.=12.(1)(1)试证明：不论试证明：不论k k为何实数，直线为何实数，直线l和圆和圆C C总有两个交点总有两个交点.(2)(2)求直线求直线l被圆被圆C C截得的最短弦长截得的最短弦长.【解析】【解析】（1 1）因为不论）因为不论k k为何实数，直线为何实数，
17、直线l总过点总过点A A（0 0，1 1），），而而 所以点所以点A A（0 0，1 1）在圆）在圆C C的内部，即不论的内部，即不论k k为何实数，直线为何实数，直线l总经过圆总经过圆C C内部的定点内部的定点A.A.所以不论所以不论k k为何实数，为何实数，直线直线l和圆和圆C C总有两个交点总有两个交点.（2 2）由平面几何知识知过圆内定点）由平面几何知识知过圆内定点A A（0 0，1 1）的弦，只有和）的弦，只有和ACAC垂直时才最短，而此时点垂直时才最短，而此时点A A（0 0，1 1）为弦的中点，由勾股定）为弦的中点，由勾股定理，知弦长为理，知弦长为 即直线即直线l被圆被圆C C截
18、得的最短弦长为截得的最短弦长为考向考向 2 2 利用利用“代数法代数法”研究直线与圆的位置关系研究直线与圆的位置关系【典例【典例2 2】（1 1）（）（20132013上饶模拟）已知圆上饶模拟）已知圆M M：（：（x+cos)x+cos)2 2+(y-sin)+(y-sin)2 2=1=1，直线，直线l:y=kx,:y=kx,下面四个命题中的真命题为下面四个命题中的真命题为()()（A A）对任意实数）对任意实数k k与与，直线，直线l和圆和圆M M相切相切（B B）对任意实数）对任意实数k k与与，直线，直线l和圆和圆M M都没有公共点都没有公共点（C C）对任意实数）对任意实数，必存在实数
19、，必存在实数k,k,使得直线使得直线l和圆和圆M M相切相切（D D）对任意实数）对任意实数k,k,必存在实数必存在实数，使得直线，使得直线l和圆和圆M M相切相切（2 2）（）（20132013盐城模拟）在平面直角坐标系盐城模拟）在平面直角坐标系xOyxOy中，已知圆中，已知圆x x2 2+y+y2 2-12x+32=0-12x+32=0的圆心为的圆心为Q Q，过点，过点P P（0 0，2 2）且斜率为）且斜率为k k的直线与的直线与圆圆Q Q相交于不同的两点相交于不同的两点A A，B.B.求求k k的取值范围；的取值范围；以以OAOA，OBOB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形OADBO
20、ADB，是否存在常数，是否存在常数k k，使得，使得直线直线ODOD与与PQPQ平行？如果存在，求平行？如果存在，求k k值；如果不存在，请说明理值；如果不存在，请说明理由由.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)将圆的方程与直线方程联立，求得方程组的将圆的方程与直线方程联立，求得方程组的解，再逐个验证其真假解，再逐个验证其真假.(2)(2)将过点将过点P P（0 0，2 2）的直线方程与圆）的直线方程与圆Q Q的方程联立消去的方程联立消去y y，得，得关于关于x x的一元二次方程，利用其判别式大于的一元二次方程，利用其判别式大于0 0构建关于构建关于k k的不等的不等式求解式求解.假设存在，利
21、用假设存在，利用 共线，构建关于共线，构建关于k k的方的方程求解程求解.但需验证但需验证k k的值是否在的值是否在中范围内中范围内.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选D.D.圆的方程是圆的方程是x x2 2+y+y2 2+2xcos-2ysin=0,+2xcos-2ysin=0,将将y=kxy=kx代入，得代入，得(1+k(1+k2 2)x)x2 2+2(cos-ksin)x=0,+2(cos-ksin)x=0,解得解得 因此对任意实数因此对任意实数k,k,，直线，直线与圆至少有一个公共点（与圆至少有一个公共点（0 0，0 0），选项），选项B B不正确不正确;只要只要x x2 200
22、，直线与圆就存在两个公共点，直线与圆就存在两个公共点，即只要即只要ksin-cos 0ksin-cos 0即可，即可，根据根据k,k,的任意性，知选项的任意性，知选项A A不正确；不正确；又当又当x x2 2=0,=0,即即ksin=cos ksin=cos 时，若时，若=k=k1 1(k(k1 1Z),Z),此时此时sin=0,cos=1,sin=0,cos=1,就不存在实数就不存在实数k k使得等式使得等式cos=ksin cos=ksin 成立，故选项成立，故选项C C不正确不正确,反之，对任意实数反之，对任意实数k,k,当当k=0k=0时，只要时，只要当当k0k0时，只要时，只要满足满
23、足 即可即可,故选项故选项D D正确正确.故选故选D.D.（2 2）圆的方程可写成（圆的方程可写成（x-6)x-6)2 2+y+y2 2=4,=4,所以圆心为所以圆心为Q Q（6 6，0 0），过），过P P（0 0，2 2）且斜率为）且斜率为k k的直线方程为的直线方程为y=kx+2,y=kx+2,代入圆方程得代入圆方程得x x2 2+(kx+2)+(kx+2)2 2-12x+32=0,-12x+32=0,整理得整理得(1+k(1+k2 2)x)x2 2+4(k-3)x+36=0.(i)+4(k-3)x+36=0.(i)直线与圆交于两个不同的点直线与圆交于两个不同的点A A，B B等价于等价
24、于=4(k-3)4(k-3)2 2-436(1+k-436(1+k2 2)=4)=42 2(-8k(-8k2 2-6k)0,-6k)0,解得解得 即即k k的取值范围为的取值范围为假设存在常数假设存在常数k k，设，设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则由方程由方程(i),(i),得得又又y y1 1+y+y2 2=k(x=k(x1 1+x+x2 2)+4.(iii)+4.(iii)而而P P（0 0，2 2），），Q Q（6 6，0 0），），=（6 6，-2-2），），因为因为所以所以 与与 共线等价于共线等价于-2-2（x x1 1+x+x
25、2 2)=6(y)=6(y1 1+y+y2 2),),即即-(x-(x1 1+x+x2 2)=3(y)=3(y1 1+y+y2 2),),将将(ii)(iii)(ii)(iii)代入上式，解得代入上式，解得 由由知知 故不存在符合题意的常数故不存在符合题意的常数k.k.【拓展提升】【拓展提升】1.1.代数法判断直线与圆的位置关系的三个步骤代数法判断直线与圆的位置关系的三个步骤(1)(1)将直线方程与圆的方程联立，消去将直线方程与圆的方程联立，消去x x（或（或y y）得到关于）得到关于y y（或（或x x）的一元二次方程）的一元二次方程.(2)(2)求上述方程的判别式，并判断其符号求上述方程的
26、判别式，并判断其符号.(3)(3)得出结论得出结论.2.2.代数法求直线被圆截得的弦长代数法求直线被圆截得的弦长直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于直线方程与圆的方程联立，消元转化为关于x x的一元二次方程，的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长由根与系数的关系即可求得弦长【变式训练】【变式训练】已知圆已知圆O O：x x2 2+y+y2 2=4=4内一点内一点P P（0 0，1 1），过点），过点P P的直的直线线l交圆交圆O O于于A A，B B两点，且满足两点，且满足 (为参数）为参数）.（1 1）若）若|AB|=|AB|=求直线求直线l的方程的方程.（2 2）若）若2 2，求直
27、线，求直线l的方程的方程.(3)(3)求实数求实数的取值范围的取值范围.【解析】【解析】(1)(1)当直线当直线l的斜率不存在时，的斜率不存在时，|AB|=4|AB|=4，不满足，不满足，故可设所求直线故可设所求直线l的方程为的方程为y=ky=k1 1x+1,x+1,代入圆的方程，整理得（代入圆的方程，整理得（1+k1+k1 12 2)x)x2 2+2k+2k1 1x-3=0,x-3=0,设设A A（x x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则利用弦长公式利用弦长公式可求得可求得k k1 1=1=1，故直线方程为，故直线方程为y=x+1y=x+1或或y=-x+
28、1.y=-x+1.（2 2）当直线）当直线l的斜率不存在时，的斜率不存在时，不满足，不满足，故可设所求直线故可设所求直线l的方程为的方程为y=ky=k2 2x+1.x+1.代入圆的方程，整理得代入圆的方程，整理得(1+k(1+k2 22 2)x)x2 2+2k+2k2 2x-3=0,(*)x-3=0,(*)设设A A（x x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1,x,x2 2为方程（为方程（*）的两根，）的两根，由由 可得可得x x1 1=-2x=-2x2 2,2 2得得 解得解得所以直线所以直线l的方程为的方程为 (3)(3)当直线当直线l的斜率
29、不存在时，的斜率不存在时，当直线当直线l的斜率存在时，可设所求直线的斜率存在时，可设所求直线l的方程的方程为为y=ky=k3 3x+1,x+1,代入圆的方程，整理得（代入圆的方程，整理得（1+k1+k3 32 2)x)x2 2+2k+2k3 3x-3=0,(*)x-3=0,(*)设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1,x,x2 2为方程（为方程（*）的两根）的两根,由由 可得可得x x1 1=-x=-x2 2,2 2得得而而由由 可解得可解得所以实数所以实数的取值范围为的取值范围为考向考向 3 3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系【
30、典例【典例3 3】（1 1）(2012(2012山东高考）圆山东高考）圆(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=4=4与圆与圆(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=9=9的位置关系为的位置关系为()()（A A）内切）内切 （B B）相交）相交 （C C）外切）外切 （D D）相离）相离(2)(2)若圆若圆x x2 2+y+y2 2=4=4与圆与圆x x2 2+y+y2 2+2ay-6=0(a0)+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为的公共弦的长为则则a=_.a=_.(3)(3)（20132013咸阳模拟）已知圆咸阳模拟）已知圆C C1 1:x:x2 2+y+y2 2-2
31、mx+4y+m-2mx+4y+m2 2-5=0-5=0与圆与圆C C2 2:x:x2 2+y+y2 2+2x-2my+m+2x-2my+m2 2-3=0,-3=0,若圆若圆C C1 1与圆与圆C C2 2相外切，则实数相外切，则实数m=_.m=_.【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)利用几何法来判断，即判断两圆的圆心距与利用几何法来判断，即判断两圆的圆心距与两半径和、差的绝对值的关系两半径和、差的绝对值的关系.(2)(2)两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成的直角三角形求解长的一半及弦心距构成的直角三角形求解.
32、(3)(3)利用两圆外切得两圆圆心距等于两圆半径之和求解利用两圆外切得两圆圆心距等于两圆半径之和求解.【规范解答】【规范解答】(1)(1)选选B.B.圆圆(x+2)(x+2)2 2+y+y2 2=4=4与圆与圆(x-2)(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=9=9的圆的圆心距心距 两圆半径和为两圆半径和为5 5、差的绝对、差的绝对值为值为1 1，所以，所以 所以两圆相交所以两圆相交.(2)(2)两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为（两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为（x x2 2+y+y2 2+2ay-6)-(x2ay-6)-(x2 2+y+y2 2)=0-4)=0-4 又
33、又a0,a0,结合图象，再利用半径、结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知答案：答案：1 1(3)(3)两圆的标准方程为两圆的标准方程为(x-m)(x-m)2 2+(y+2)+(y+2)2 2=9,(x+1)=9,(x+1)2 2+(y-m)+(y-m)2 2=4,=4,圆心分别为圆心分别为C C1 1(m,-2),C(m,-2),C2 2(-1,m),(-1,m),半径分别为半径分别为3 3，2.2.圆圆C C1 1与圆与圆C C2 2外切，外切，|C|C1 1C C2 2|=3+2=5,|=3+2=5,即：即：解得解得m=
34、-5m=-5或或2.2.答案：答案：-5-5或或2 2【拓展提升】【拓展提升】1.1.判断两圆位置关系的方法判断两圆位置关系的方法用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系.2.2.两圆公切线的条数两圆公切线的条数位置关系位置关系内含内含内切内切相交相交外切外切外离外离公切线条数公切线条数0 01 12 23 34 4【变式训练】【变式训练】两个圆：两个圆：C C1 1:x:x2 2+y+y2 2+2x+2y-2=0+2x+2y-2=0与与C C2 2:x:x2 2+y+y2 2-4x-4x-2y+1=02y+1=0的公切线有且
35、仅有的公切线有且仅有()()(A)1(A)1条条 (B)2 (B)2条条 (C)3 (C)3条条 (D)4 (D)4条条【解析】【解析】选选B.B.由题知由题知C C1 1:(x+1):(x+1)2 2+(y+1)+(y+1)2 2=4,=4,则圆心则圆心C C1 1(-1,-1),(-1,-1),C C2 2:(x-2):(x-2)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4,=4,圆心圆心C C2 2(2,1),(2,1),两圆半径均为两圆半径均为2 2，又，又|C|C1 1C C2 2|=|=则两圆相交则两圆相交 只有两条公切线只有两条公切线.【创新体验】【创新体验】直线与圆、圆与圆位置关系
36、的创新命题直线与圆、圆与圆位置关系的创新命题【典例】【典例】（20122012江苏高考）在平面直角坐标系江苏高考）在平面直角坐标系xOyxOy中，圆中，圆C C的方程为的方程为x x2 2+y+y2 2-8x+15=0-8x+15=0，若直线，若直线y=kx-2y=kx-2上至少存在一点，使得上至少存在一点，使得以该点为圆心，以该点为圆心，1 1为半径的圆与圆为半径的圆与圆C C有公共点，则有公共点，则k k的最大值为的最大值为_【思路点拨】【思路点拨】找找准准创创新新点点若直线若直线y=kx-2y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 1为半径的圆与
37、圆为半径的圆与圆C C有公共点有公共点寻寻找找突突破破口口（1 1）作出符合题设条件的示意图）作出符合题设条件的示意图（2 2）结合图形得圆）结合图形得圆C C的圆心的圆心C C到直线到直线y=kx-2y=kx-2的距离不的距离不大于大于2 2【规范解答】【规范解答】如图，直线如图，直线y=kx-2y=kx-2上至少存在一点，使得以该点上至少存在一点，使得以该点为圆心，为圆心，1 1为半径的圆与圆为半径的圆与圆C C有公共点，只需保证圆心有公共点，只需保证圆心C C到到y=kx-y=kx-2 2的距离不大于的距离不大于2 2即可即可.而圆而圆C C的标准方程为（的标准方程为（x-4)x-4)2
38、 2+y+y2 2=1,=1,圆心圆心C C（4 4，0 0）到直线）到直线y=kx-2y=kx-2的距离的距离 由题意知由题意知 整理得整理得3k3k2 2-4k0,-4k0,解得解得答案：答案：【思考点评】【思考点评】1.1.方法感悟：本题充分体现了数形结合思想、转化与化归思想方法感悟：本题充分体现了数形结合思想、转化与化归思想在解题中的应用，即通过数形结合将问题转化为圆心在解题中的应用，即通过数形结合将问题转化为圆心C C到直线到直线的距离问题，进而得到关于的距离问题，进而得到关于k k的不等式，从而确定出的不等式，从而确定出k k的范围，的范围，得出得出k k的最大值，这种以的最大值，
39、这种以“以形助解以形助解”探究解题思路的思想方探究解题思路的思想方法值得我们仔细体会法值得我们仔细体会.2.2.技巧提升：对于直线与圆、圆与圆位置关系的创新问题，解技巧提升：对于直线与圆、圆与圆位置关系的创新问题，解题的关键是作出符合要求的示意图题的关键是作出符合要求的示意图,通过数形结合将创新信息通过数形结合将创新信息转化为常规的直线与圆、圆与圆的位置关系，再利用处理直线转化为常规的直线与圆、圆与圆的位置关系，再利用处理直线与圆、圆与圆的位置关系的方法来解决与圆、圆与圆的位置关系的方法来解决.1.1.（20122012广东高考）在平面直角坐标系广东高考）在平面直角坐标系xOyxOy中，直线中
40、，直线3x+4y-3x+4y-5=05=0与圆与圆x x2 2+y+y2 2=4=4相交于相交于A A，B B两点，则弦两点，则弦ABAB的长等于的长等于()()【解析】【解析】选选B.B.由圆心由圆心(0,0)(0,0)到直线到直线3x+4y-5=03x+4y-5=0的距离为的距离为d=1,d=1,所以所以2.2.（20122012陕西高考）已知圆陕西高考）已知圆C C：x x2 2+y+y2 2-4x=0,-4x=0,l是过点是过点P P（3 3，0 0）的直线的直线,则则()()（A A）l与与C C相交相交 （B B）l与与C C相切相切（C C）l与与C C相离相离 （D D）以上三
41、个选项均有可能）以上三个选项均有可能【解析】【解析】选选A.A.方法一：圆方法一：圆C C的方程是（的方程是（x-2x-2）2 2+y+y2 2=4=4，点点P P到圆心到圆心C C（2,02,0）的距离）的距离d=12d=12，点点P P在圆在圆C C内部，内部，直线直线l与圆与圆C C相交相交.方法二：将点方法二：将点P P的坐标代入圆的方程，得：的坐标代入圆的方程，得：3 32 2+0+02 2-43=9-12=-43=9-12=-30,-30,r0,若若ABAB中有且仅有一个元素，则中有且仅有一个元素，则r r的取值集合为的取值集合为()()(A)3 (B)7(A)3 (B)7(C)3
42、(C)3，7 (D)27 (D)2，77【解析解析】选选C.C.由已知得圆由已知得圆O O：x x2 2+y+y2 2=4=4与圆与圆C C：(x-3)(x-3)2 2+(y-4)+(y-4)2 2=r=r2 2(r0)(r0)相切，而相切，而当圆当圆O O与圆与圆C C外切时，外切时，|OC|=r+2=5,|OC|=r+2=5,得得r=3.r=3.当圆当圆O O与圆与圆C C内切时，内切时，|OC|=r-2=5,|OC|=r-2=5,得得r=7.r=7.综上综上r=3r=3或或7.7.2.2.已知半径为已知半径为5 5的圆的圆心在的圆的圆心在x x轴上，圆心的横坐标是整数，且轴上，圆心的横坐
43、标是整数，且与直线与直线4x+3y-29=04x+3y-29=0相切相切.（1 1）求圆的方程）求圆的方程.（2 2）设直线）设直线ax-y+5=0(a0)ax-y+5=0(a0)与圆相交于与圆相交于A A，B B两点，求实数两点，求实数a a的的取值范围取值范围.（3 3）在（）在（2 2）的条件下，是否存在实数）的条件下，是否存在实数a,a,使得弦使得弦ABAB的垂直平的垂直平分线分线l过点过点P P（-2-2，4 4），若存在，求出实数），若存在，求出实数a a的值；若不存在，的值；若不存在，请说明理由请说明理由.【解析】【解析】（1 1）设圆心为）设圆心为M M（m,0)m,0)（mZ
44、).mZ).由于圆与直线由于圆与直线4x+3y-29=04x+3y-29=0相切，且半径为相切，且半径为5 5，所以，所以 即即|4m-29|=25.|4m-29|=25.因为因为m m为整数，故为整数，故m=1.m=1.故所求圆的方程为（故所求圆的方程为（x-1)x-1)2 2+y+y2 2=25.=25.（2 2）把直线）把直线ax-y+5=0,ax-y+5=0,即即y=ax+5y=ax+5代入圆的方程，消去代入圆的方程，消去y y整理，整理，得得(a(a2 2+1)x+1)x2 2+2(5a-1)x+1=0.+2(5a-1)x+1=0.由于直线由于直线ax-y+5=0ax-y+5=0交圆
45、于交圆于A A，B B两点，两点，故故=4(5a-1)=4(5a-1)2 2-4(a-4(a2 2+1)0.+1)0.即即12a12a2 2-5a0,-5a0,由于由于a0,a0,解得解得所以实数所以实数a a的取值范围是的取值范围是(3)(3)设符合条件的实数设符合条件的实数a a存在，由于直线存在，由于直线l为弦为弦ABAB的垂直平分线，的垂直平分线，且直线且直线ABAB斜率为斜率为a,a,则直线则直线l的斜率为的斜率为l的方程为的方程为y=(x+2)+4,y=(x+2)+4,即即x+ay+2-4a=0,x+ay+2-4a=0,由于由于l垂直平分弦垂直平分弦ABAB，故圆心，故圆心M M（1 1，0 0）必在）必在l上，上，所以所以1+0+2-4a=0,1+0+2-4a=0,解得解得 由于由于 故存在实数故存在实数 使得过点使得过点P P（-2-2，4 4）的）的直线直线l垂直平分弦垂直平分弦AB.AB.