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1、动量与角动量简第1页，本讲稿共26页第三章第三章 动量与角动量动量与角动量 3.1 冲量冲量 动量定理动量定理3.2 动量守恒定律动量守恒定律 3.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理3.4 力矩和角动量力矩和角动量3.5 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律#3.6 火箭飞行原理火箭飞行原理第2页，本讲稿共26页3.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理1.质心质心 质量分布中心。质量分布中心。特点：特点：（1）作用力通过质心时，物体只作平动。）作用力通过质心时，物体只作平动。（2）作用力不通过质心时，物体作平动加转动。）作用力不通过质心时，物体作平动加转动。2.重心重心(c
2、enter of gravity)一般来说，位于地面上不太大的物体，其重心和质一般来说，位于地面上不太大的物体，其重心和质心重合。心重合。一、质心一、质心(center of mass)引入引入举例举例:如球、砖、棒、球杆连体（哑铃）等。如球、砖、棒、球杆连体（哑铃）等。(Center of Mass,Theorem of The Motion of Center of Mass)物体各部分所受重力的合力的作用点。物体各部分所受重力的合力的作用点。第3页，本讲稿共26页xyzor1r2ricrcmim2m1二、质心的计算二、质心的计算(computation of center of mass
3、)1.质点系的质心位矢的定义质点系的质心位矢的定义式中式中M为质点系的总质量。为质点系的总质量。其分量式其分量式为为设质点组由设质点组由N 个质点组成，个质点组成，第第 i 个质点的质量为个质点的质量为mi，位位矢为矢为 ，则，则质心位矢质心位矢引入引入x0m1m2L2计算计算两两质点组成的质点系的质心质点组成的质点系的质心cL1第4页，本讲稿共26页2.质量连续分布的物体的质心位矢质量连续分布的物体的质心位矢分量式：分量式：如质量均匀的棒如质量均匀的棒、盘盘、球球、方体的质心均在几何中心上。方体的质心均在几何中心上。说明：说明：（2）*质心和重心是两个不同的物理概念。质心和重心是两个不同的物
4、理概念。在重力场外，物体的重心不存在，但质心存在。在重力场外，物体的重心不存在，但质心存在。（1）质心在质点系中的位置不会随坐标系的选择而变化。质心在质点系中的位置不会随坐标系的选择而变化。二、质心的计算二、质心的计算xy0rcrxcxdmc第5页，本讲稿共26页质质 心心(小结小结)1.质点系的质心质点系的质心2.质量连续分布的物体的质心质量连续分布的物体的质心第6页，本讲稿共26页例例3.7 (P148)已知：已知：求：求：MmLxo地球质量地球质量月球质量月球质量其中心距离其中心距离解：解：地地月系统质心位置。月系统质心位置。地球和月球均为均匀球体，其质心均在其球心处。以两地球和月球均为
5、均匀球体，其质心均在其球心处。以两球心连线为轴，以地球球心为坐标原点，球心连线为轴，以地球球心为坐标原点，则系统则系统质心位置坐标质心位置坐标：c第7页，本讲稿共26页例例3.8（P149）将一段铁丝弯成半径为将一段铁丝弯成半径为R的半圆的半圆形，求该铁丝的质心。形，求该铁丝的质心。Rd ly解：解：选选 xoy 系如图，系如图，o 为圆心为圆心,由于半圆对由于半圆对y 轴对称，故质心应位于轴对称，故质心应位于 y 轴上。即轴上。即 xc=0。任取任取 如图，其对应的铁丝弧长为如图，其对应的铁丝弧长为 dl、质量为质量为 dm则则设铁丝质量为设铁丝质量为 m，（质心可能在体外）（质心可能在体外
6、）cxy0(dm)第8页，本讲稿共26页（一）结论（一）结论3.质点系质心的加速度质点系质心的加速度1.质点系的总动量质点系的总动量4.质心运动定理质心运动定理（猜（猜 想）想）三、三、质点系质心的速度和加速度质点系质心的速度和加速度 质心运动定理质心运动定理 质点系的总动量质点系的总动量等于其等于其总质量与质心运动速度的乘积总质量与质心运动速度的乘积。作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统的质作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统的质心加速度。心加速度。2.质点系质心的速度质点系质心的速度第9页，本讲稿共26页4.质心运动定理质心运动定理说明：说明：（1）在内在内、外力共同作用下
7、外力共同作用下，质点系的运动很复杂质点系的运动很复杂，但但 其质心的运动很简单其质心的运动很简单，只由质点系所受合外力决定。只由质点系所受合外力决定。无论物体的质量如何分布以及外力作用在物体上的什么位无论物体的质量如何分布以及外力作用在物体上的什么位置，置，质心的运动就象是物体的全部质量都集中于它的质心的运动就象是物体的全部质量都集中于它的质心上质心上，并且，并且所有外力也都集中作用它的质心上的所有外力也都集中作用它的质心上的一个一个质点质点的运动一样。的运动一样。（2）一般将物体当质点处理时一般将物体当质点处理时，均利用了质心运动定理。均利用了质心运动定理。三、三、质点系质心的速度和加速度质
8、点系质心的速度和加速度 质心运动定理质心运动定理（一）结论（一）结论第10页，本讲稿共26页在内、外力共同作用下，质点系的运动很复杂，在内、外力共同作用下，质点系的运动很复杂，但其质心但其质心的运动很简单，只由质点系所受合外力决定。的运动很简单，只由质点系所受合外力决定。第11页，本讲稿共26页三、三、质点系质心的速度和加速度质点系质心的速度和加速度 质心运动定理质心运动定理证：证：因因1.质点系质心的速度质点系质心的速度（绝对时空观：质量不变）（绝对时空观：质量不变）（二）证明（二）证明第12页，本讲稿共26页3.质点系的总动量质点系的总动量 质点系的总动量等于其总质量与质心运动速度的乘积。
9、质点系的总动量等于其总质量与质心运动速度的乘积。2.质点系质心的加速度质点系质心的加速度证：证：三、三、质点系质心的速度和加速度质点系质心的速度和加速度 质心运动定理质心运动定理（二）证明（二）证明第13页，本讲稿共26页4.质心运动定理质心运动定理(theorem of the motion of center of mass)表式表式表述表述作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统作用在系统上的合外力等于系统的总质量乘以系统的质心加速度。的质心加速度。由由 质点系的总动量质点系的总动量即即证：证：三、三、质点系质心的速度和加速度质点系质心的速度和加速度 质心运动定理质心运动定理（二）证
10、明（二）证明第14页，本讲稿共26页3.4 力矩和角动量力矩和角动量单位单位:Nm 或或 Kgm2/21.定义定义一、力矩一、力矩(Moment of Force)大小大小:方向方向:并由右螺旋法则确定。并由右螺旋法则确定。Ao2.合力的力矩合力的力矩（力对支点的力矩）（力对支点的力矩）M=F r sin (Moment of Force,Angular Momentum)第15页，本讲稿共26页二、质点的角动量二、质点的角动量 (angular momentum of particle)大小：大小：方向：方向：由右螺旋法则确定。由右螺旋法则确定。在讨论质点相对于空间某一在讨论质点相对于空间某
11、一定点定点的运动时，通常引入角动量来描的运动时，通常引入角动量来描述其运动状态述其运动状态。1.定义定义（运动质点对点（运动质点对点o o的角动量）的角动量）o2.单位单位 Nms 或或 Kgm2/说明说明:（1）角动量又称）角动量又称动量矩动量矩；（2）运动质点的角动量是相对于定点）运动质点的角动量是相对于定点o o；（3）无论质点作曲）无论质点作曲、直线运动直线运动，对对o均有角动量均有角动量!L=r P sin =r mv sin 第16页，本讲稿共26页质点作曲线运动时：质点作曲线运动时：质点作直线运动时：质点作直线运动时：二、质点的角动量二、质点的角动量 (angular momen
12、tum of particle)无论质点作曲无论质点作曲、直线运动直线运动，对对o 均有角动量均有角动量!L=r P sin =r mv sin L=r P sin =r mvrPrPVmVromVr第17页，本讲稿共26页例例3.13 (P157)地球绕太阳的运动可近似看作匀速圆周运动，求地球对太地球绕太阳的运动可近似看作匀速圆周运动，求地球对太阳中心的角动量。阳中心的角动量。解：解：地球到太阳的距离地球到太阳的距离地球公转速度地球公转速度地球质量地球质量L=r P sin =r mv sin L=r mv因因=90 ，故故第18页，本讲稿共26页例例3.14 (P158)根据玻尔假设，氢原
13、子内电子绕核运动的角动量只可能是根据玻尔假设，氢原子内电子绕核运动的角动量只可能是h/2 的整数倍。其中的整数倍。其中 h=6.631034 kgm2/s。已知电子的圆已知电子的圆形轨道最小半径是形轨道最小半径是 r=0.52910-10 m。求在此轨道上电子求在此轨道上电子运动的频率。运动的频率。解：解：L=r mV由于是最小半径，故有由于是最小半径，故有电子质量电子质量 m=9.1 10-31 kg=2 m r 2 第19页，本讲稿共26页知知3.5 角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律动量定理动量定理引入：引入：分析：分析：由质点的角动量由质点的角动量 或或一、一、质点的角
14、动量定理质点的角动量定理(Theorem of Angular Momentum,Law of conservation of Angular Momentum)第20页，本讲稿共26页或或说明：说明：讨论：讨论：质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。一、一、质点的角动量定理质点的角动量定理(Angular Momentum Theorem of particle)式中式中L、M 必须是对同一固定点（轴）而言。必须是对同一固定点（轴）而言。（微分式）微分式）（积分式）（积分式）结论：结论：若若M=0，那么那么L 有什么特点？有什么特点？第2
15、1页，本讲稿共26页二、二、质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律当质点相对于某一定点所受的合外力矩为零时，该质当质点相对于某一定点所受的合外力矩为零时，该质点相对于该定点的角动量保持不变。点相对于该定点的角动量保持不变。证明证明:（略）（略）实例：实例：天体的轨道运行；天体的轨道运行；地球绕太阳、月绕地球。地球绕太阳、月绕地球。说明：说明：普适。自然界中三大守恒定律之一。普适。自然界中三大守恒定律之一。v1v2v1?v2当当 M外外=0 时，时，L=恒矢量。恒矢量。表式：表式：表述：表述：第22页，本讲稿共26页角动量守恒实例角动量守恒实例 孤立系孤立系宇宙中存在各种层次的天体系统，太阳系
16、、银河系、众多宇宙中存在各种层次的天体系统，太阳系、银河系、众多河外的旋涡星系。因角动量守恒而形成了朝同一方向旋转河外的旋涡星系。因角动量守恒而形成了朝同一方向旋转的盘形结构。的盘形结构。第23页，本讲稿共26页二、二、力矩力矩三、三、质点的角动量质点的角动量四、角动量定理四、角动量定理 或或五、角动量守恒定律五、角动量守恒定律L=r P sin=r mv sin oVmr一、一、质心及其计算质心及其计算（积（积分式分式）（微分式微分式）当当 M=0 时，时，L=恒矢量。恒矢量。M=F r sin 小小 结结第24页，本讲稿共26页练习练习1运动质点的角动量运动质点的角动量o1.运动质点的角动
17、量的定义运动质点的角动量的定义L=rmVVL=r P sin=r mv sin 若一质量为若一质量为m 的小球作圆周运动，的小球作圆周运动，若圆周半径为若圆周半径为 r ，则当小球速率，则当小球速率为为V 时，其对圆心时，其对圆心O 的角动量的角动量2.rrV瞬时关系瞬时关系若一质量为若一质量为m 的小球作匀速直线的小球作匀速直线运动，则小球对任一固定点的角运动，则小球对任一固定点的角动量矢量保持不变。动量矢量保持不变。3.oVmmr1L=r P sin=r mv sind例例3.15 （P160）=d mV 第25页，本讲稿共26页再再 见见阅读：阅读：3.5 3.9 （P147 P166）第26页，本讲稿共26页