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1、直线与圆锥曲线相交第1页，本讲稿共20页2 2、抛物线的标准方程：、抛物线的标准方程：焦点坐标：焦点坐标：F F（p/2,0p/2,0）或）或F F（-p/2,0-p/2,0）准线方程：准线方程：x=-p/2x=-p/2或或x=p/2.x=p/2.1 1、焦点在焦点在x x轴上：轴上：2 2、焦点在焦点在y y轴上：轴上：焦点坐标：焦点坐标：F F（0 0，p/2p/2）或）或F F（0 0，-p/2-p/2）准线方程：准线方程：y=-p/2y=-p/2或或y=p/2.y=p/2.第2页，本讲稿共20页3 3、抛物线的几何性质：、抛物线的几何性质：以以y y2 2=2px,(p0)=2px,(
2、p0)为例为例 （1 1）范围；范围；（2 2）对称性；对称性；（3 3）顶点坐标、焦点坐标、准线方程；顶点坐标、焦点坐标、准线方程；（4 4）离心率：离心率：抛物线的离心率抛物线的离心率e=1e=1（对于其它几种形式的方程，均类似）（对于其它几种形式的方程，均类似）注注:焦点到准线的距离是焦点到准线的距离是p p；抛物线的关键是；抛物线的关键是焦点位置和基本量焦点位置和基本量p p的值的值第3页，本讲稿共20页（5 5）抛物线的焦半径及其应用：抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点定义：抛物线上任意一点M M与抛物线焦点的连与抛物线焦点的连线段，叫做抛物线的焦半径。线段，叫做抛物线的
3、焦半径。焦半径公式：（结合图形）焦半径公式：（结合图形）设设M M（x x0 0，y y0 0），则），则MFMF=p/2 x=p/2 x0 0或或MFMF=p/2 y=p/2 y0 0第4页，本讲稿共20页（6 6）焦点弦：焦点弦：过焦点的直线交抛物线所过焦点的直线交抛物线所成的相交弦。成的相交弦。焦点弦计算：设两交点焦点弦计算：设两交点(x(x1 1,y,y1 1)(x)(x2 2,y,y2 2)，则焦点弦可以通过两次焦，则焦点弦可以通过两次焦半径公式得到。半径公式得到。（7 7）通径：过焦点且垂直于对称轴的相通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦。通径交弦。通径如：如：则则d=p(xd=p(
4、x1 1+x+x2 2)第5页，本讲稿共20页课堂练习一：课堂练习一：1 1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：（1 1）y y2 28x8x（2 2）x x2 24y 4y，（3 3）2y2y2 23x3x0 0（4 4）。2 2、根据下列条件写出抛物线的标准方程：、根据下列条件写出抛物线的标准方程：（1 1）焦点是）焦点是F F（-2-2，0 0）,（2 2）准线方程是）准线方程是y=1/3y=1/3，（，（3 3）焦点到准线的距离是）焦点到准线的距离是4 4，焦点，焦点在在y y轴上轴上,（4 4）经过点）经过点A A（6 6，-2-2）。）。3 3、
5、抛物线、抛物线x x2 24y4y上的点上的点p p到焦点的距离是到焦点的距离是1010，求，求p p点坐标点坐标 第6页，本讲稿共20页14144 4圆锥曲线的应用圆锥曲线的应用直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、直线与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的位置关系抛物线）的位置关系 第7页，本讲稿共20页思考：思考：直线与圆锥曲线有哪些位置关系？直线与圆锥曲线有哪些位置关系？（以椭圆双曲线为例）如何判断？（以椭圆双曲线为例）如何判断？第8页，本讲稿共20页1 1、直线与圆锥曲线的位置关系：、直线与圆锥曲线的位置关系：将直线和曲线方程组成方程组并消将直线和曲线方程组成方程组并消y(y(或或x)x)得方
6、程（当二次项系数得方程（当二次项系数a a 0 0时）：时）：注意：注意：直线与抛物线、直线与抛物线、直线与直线与双曲线组成双曲线组成方程组消元后当方程组消元后当a=0a=0时，直线就平行时，直线就平行抛物线抛物线的的对称轴或平行对称轴或平行双曲线的双曲线的渐近线，此时直渐近线，此时直线与线与抛物线或双抛物线或双曲线只有一个公共点，但曲线只有一个公共点，但并不相切。并不相切。（1 1）000相交。相交。第9页，本讲稿共20页讨论：如何求弦讨论：如何求弦ABAB的长？的长？第10页，本讲稿共20页 或消去或消去x x公式公式:2 2、直线与圆锥曲线的相交的弦长计算公式：、直线与圆锥曲线的相交的弦
7、长计算公式：设圆锥曲线设圆锥曲线Cf(xCf(x，y)=0y)=0与直与直ly=kx+bly=kx+b相相交于交于A(xA(x1 1，y y1 1)、B(xB(x2 2，y y2 2)两点，两点，将两方将两方程联立方程组消去程联立方程组消去x(x(或消去或消去y)y)得得axax2 2+bx+c=0,(a0,0)+bx+c=0,(a0,0)，直线与圆锥曲线，直线与圆锥曲线的相交的弦长为：消去的相交的弦长为：消去y y公式公式第11页，本讲稿共20页3 3、直线与圆锥曲线的相交问题的常用处理方法、直线与圆锥曲线的相交问题的常用处理方法（坐标法）：（坐标法）：(1(1）设出直线（或曲线）方程和）设
8、出直线（或曲线）方程和交点坐标交点坐标(x(x1 1,y,y1 1)、(x(x2 2,y,y2 2)；（；（2 2）直线与曲线）直线与曲线方程组成方程组并消去方程组成方程组并消去y y或或x x；（；（3 3）当）当a a 0 0且且 00时，利用韦达定理求出时，利用韦达定理求出x x1 1+x+x2 2和和x x1 1x x2 2（注意：如（注意：如求求y y1 1+y+y2 2和和y y1 1y y2 2，可用直线方程转换得到）；，可用直线方程转换得到）；（4 4）将几何条件用交点坐标表示并化成）将几何条件用交点坐标表示并化成x x1 1+x+x2 2和和x x1 1x x2 2的形式；（
9、的形式；（5 5）整体代入求出相关系数即可。）整体代入求出相关系数即可。注：设而不求，整体代换，交点坐标是关键。注：设而不求，整体代换，交点坐标是关键。系数与交点坐标关系系数与交点坐标关系交点坐标交点坐标几何条件与几何条件与交点坐标关系。交点坐标关系。第12页，本讲稿共20页例例1 1、已知椭圆：已知椭圆：，过左焦点，过左焦点F F1 1作倾斜角为作倾斜角为3030的直线交椭圆于的直线交椭圆于A A、B B两两点，（点，（1 1）求弦）求弦ABAB的长；（的长；（2 2）右焦点为）右焦点为F F2 2，求，求ABFABF2 2的面积的面积例例2 2、中心在原点，一个焦点为中心在原点，一个焦点为
10、F F1 1（0 0，）的椭圆截直线）的椭圆截直线y=3x-2y=3x-2所得弦的中点横坐标所得弦的中点横坐标为为1/21/2，求椭圆的方程，求椭圆的方程 第13页，本讲稿共20页4 4、对于中点弦问题的处理方法（点差法）：、对于中点弦问题的处理方法（点差法）：（1 1）设交点坐标）设交点坐标(x(x1 1，y y1 1)、(x(x2 2，y y2 2)；（2 2）将交点坐标分别代入曲线方程；）将交点坐标分别代入曲线方程；（3 3）作差并整理得出）作差并整理得出 和和 、；（；（4 4）分别用斜率及中）分别用斜率及中点坐标进行代换并求出相关量即可。点坐标进行代换并求出相关量即可。第14页，本讲
11、稿共20页练习、练习、若过椭圆若过椭圆 左焦点的左焦点的直线直线l l与椭圆相交所得的弦与椭圆相交所得的弦ABAB的长的长为为 ,求直线求直线l l的方程。的方程。例例3 3、椭圆椭圆 与斜率为与斜率为2 2的直的直线线l l相交于相交于A A、B B两点，若以两点，若以ABAB为直径的圆为直径的圆过原点，求直线过原点，求直线l l的方程。的方程。第15页，本讲稿共20页例例5 5、已知双曲线、已知双曲线 ，过点，过点 A A（2 2，1 1）的直线与已知双曲线交于）的直线与已知双曲线交于P P、Q Q两点两点（1 1）求）求PQPQ中点的轨迹方程；（中点的轨迹方程；（2 2）过）过B B（1
12、 1，1 1）能否作直线）能否作直线l l，使，使l l与所给双曲线交于与所给双曲线交于两点两点M M、N N，且，且B B为为MNMN的中点，若存在，求出的中点，若存在，求出l l的方程，不存在说明理由。的方程，不存在说明理由。例例6 6、直线、直线y=kx+1y=kx+1与双曲线与双曲线 相交于相交于A A、B B两点，当两点，当k k为何值时为何值时,A,A、B B分分别在双曲线的同一支上？当别在双曲线的同一支上？当k k为何值时，为何值时，A A、B B分别在双曲线的两支上？分别在双曲线的两支上？第16页，本讲稿共20页例例7 7、过抛物线、过抛物线y=y=的焦点作倾的焦点作倾斜角为斜
13、角为的直线交抛物线于的直线交抛物线于A A、B B两点，两点，且且|AB|=8|AB|=8，求倾斜角，求倾斜角 例例8 8、顶点在坐标原点，焦点在、顶点在坐标原点，焦点在x x轴上的轴上的抛物线被直线抛物线被直线y=2x+1y=2x+1截得的弦长为截得的弦长为 ，求抛物线的方程，求抛物线的方程第17页，本讲稿共20页例例9 9、已知抛物线、已知抛物线y=2px,(py=2px,(p0)0)与直线与直线y=-y=-x+1x+1相交于相交于A A、B B两点，以弦两点，以弦ABAB长为直径的圆长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程恰好过原点，求此抛物线的方程.例例1010、已知直线、已知直线y=
14、x+by=x+b与抛物线与抛物线y=2px,(py=2px,(p0)0)相交于相交于A A、B B两点，若两点，若OAOAOBOB，（，（O O为坐标原为坐标原点）且点）且 ，求抛物线的方程，求抛物线的方程.第18页，本讲稿共20页课堂练习：课堂练习：1 1、(1)(1)直线过点直线过点A(0A(0，1)1)且与抛物线且与抛物线 只只有一个公共点，这样的直线有几条？有一个公共点，这样的直线有几条？(2)(2)过点过点P(2P(2，0)0)的直线的直线l l与双曲线与双曲线 只只有一个公共点，这样的直线有几条？有一个公共点，这样的直线有几条？2 2、直线、直线 与曲线与曲线 ，相，相交于交于A
15、A、B B两点，求直线的倾斜角的范围两点，求直线的倾斜角的范围3 3、已知双曲线、已知双曲线 与点与点P P（1 1，2 2），过），过P P点作直线点作直线l l与双曲线交于与双曲线交于A A、B B两点，若两点，若P P为为ABAB的中点（的中点（1 1）求直线）求直线ABAB的方程（的方程（2 2）若）若Q Q为（为（-1-1，-1-1），证明不存在以），证明不存在以Q Q为中点的弦为中点的弦 第19页，本讲稿共20页4 4、顶点在原点，焦点在、顶点在原点，焦点在x x轴上的抛物轴上的抛物线线 ，截直线所得的弦长为，截直线所得的弦长为 ，求抛物线的方程，求抛物线的方程.5 5、若抛物线、若抛物线 被过焦点，且倾被过焦点，且倾斜角为斜角为 的直线所截，求截得的线的直线所截，求截得的线段的中点坐标段的中点坐标.6 6、过点、过点 的直线的直线l l与抛物线与抛物线 交于交于A A、B B两点，求直线两点，求直线l l的斜率的斜率k k的取的取值范围值范围 第20页，本讲稿共20页