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1、.一、一、三角形的初步知识三角形的初步知识 知识点总结知识点总结一、三角形的边、角关系一、三角形的边、角关系、三角形的三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边应用：1判断三条线段 a、b、c 能否组成三角形;2确定三角形第三边的取值范围：两边之差 第三边 两边之和、三角形的三个内角之间的关系：三角形的内角和为180、三角形的外角之间的关系：1、三角形的外角和为 3602、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。二、全等三角形二、全等三角形1、性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等2、判定：SSS、SAS、ASA、AAS。方法
2、总结:1、要说明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法2、全等三角形，是说明两条线段或两个角相等的重要方法之一，说明时要观察待说明的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。分析要说明两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。有公共边的，公共边一般是对应边，有公共角的，公共角一般是对应角，有对顶角，对顶角一般是对应角。大角与大角对应，长边与长边对应。三、线段中垂线与角平分线的性质三、线段中垂线与角平分线的性质1、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。2、角平分线的性质：角平分线上点到角两边距离相等.线段垂直平分线、角平分线的判定四、尺规作图四、尺
3、规作图1、根本作图主要有 4 类：1作一条线段等于线段；2作一个叫等于角；3作角的平分线；4作线段的垂直平分线。2、尺规作图的步骤：写出、求作；分析图形该怎么画；写出做法，要保存作图痕迹；写出结果，即哪个为所求。注注意：意：容易忽略，此步骤必不可少。二、二、相似三角形相似三角形 知识点总结知识点总结一、相似三角形一、相似三角形1 1、概念：、概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比。注意相似比的顺序性；记三角形相似时注意对应顶点写在对应位置上；全等三角形是特殊的相似三角形。2 2、相似三角形中对应边与对应角的找法、相似三角形中对应边与对应角的找法，一般有
4、如下规律：当图形中有直线平行时，同位角或内错角为对应角；.v.当两个三角形有公共角时，公共角为对应角；对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角，对应边所夹的角是对应角；最大的边对最大的角，最大的角对最大的边，反之亦然。二、相似三角形的判定相似三角形的判定1 1、判定定理：、判定定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似。2 2、推论：、推论：两个直角三角形中斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角
5、形和原三角形相似。三、相似三角形的性质三、相似三角形的性质1、性质：、性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方2 2、推论：、推论：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。三、三、特殊三角形特殊三角形 知识点总结知识点总结一、图形的轴对称一、图形的轴对称1、轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段。2、图形的轴对称的性质：1成轴对称的两个图形是全等图形；2轴对称和轴对称图形的特性是一样的，对应点到对称轴的距离都是相等的。3、轴对称的画法步骤：1定好关键点一般是几何图形的顶点；2画出关键
6、点的对应点；3连接对应点，完成轴对称图形。二、等腰三角形二、等腰三角形1、性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。等腰三角形两底角相等，也就是说，在同一三角形中，等角对等边。等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。2、判定定理：定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；有两角相等的三角形是等腰三角形；三、等边三角形三、等边三角形1、性质：等边三角形三个内角都相等，都等于60；等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；等边三角形每边上的中线、高线和所对角的平分线都三线合一，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。2、判定定理：定义法：三边相等
7、的三角形是等边三角形；三个内角都线段的三角形是等边三角形；有两个角为 60的三角形是等边三角形；有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。四、直角三角形四、直角三角形1、性质：直角三角形的两锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。勾股定理2、判定：定义法：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理拓展：三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。.v.3、直角三角形全等的判定：HL四、四、平行四边形平行四边形 知识点总结知识点总结一、多边形一、多边形1四边形内外角和定理：四边形内
8、角和等于360，外角和等于 360。2 多边形内外角和定理：多边形内角和等于n-2 180，任意多边形外角和等于360。3正多边形的概念在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫正多边形。两个条件缺一不可，必须同时满足。4镶嵌平面用正多边形来镶嵌平面，那么共顶点的各角之和必须等于360；单独镶嵌平面的正多边形只有3 种：正三角形、正方形、正六边形，因为它们的内角度数能整除360。二、平行四边形性质二、平行四边形性质1平行四边形性质：a.平行四边形邻角互补、对角相等；b.平行四边形对边平行且相等；c.平行四边形对角线互相平分；d.平行四边形具有不稳定性。2平行四边形性质的推论：a.夹在两平行线间的
9、平行线段相等；b.夹在两平行线段间的垂线段相等。3平行四边形性质的应用：可以用来证明线段相等、角相等以及两直线平行等。4平行四边形的面积：S=ah，所以同底等底同高等高的平行四边形面积相等。三、中心对称三、中心对称1中心对称图形的性质：a.对称中心平分连结两个对称点的线段；b.关于中心对称的两个图形是全等的；c.关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。2画一个图形关于某点成中心对称的图形a.找出原图形上的所有关键点一般为顶点；b.连结关键点与对称中心；c.延长关键点与对称中心的连线，使后来长度等于原长度的2 倍；d.连结所有对称点。那么形成的图形为原图形的对称图
10、形。四、平行四边形的判定四、平行四边形的判定a.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；b.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；c.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；d.对角线互相平分的四边形是平行四边形；e.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。五、三角形的中位线五、三角形的中位线a.三角形中位线定理：三角形中位线平行于三角形第三边，且等于第三边的一半。b.三角形中位线作用：证明平行问题；证明一条线段是另一条线段的一半(或两倍)。五、五、特殊平行四边形特殊平行四边形 知识点总结知识点总结一、矩形一、矩形1、性质：a、边：对边平行且相等，邻边垂直；b、角：四个角都是直角；c、对角线：两条
11、对角线互相平分且相等2、判定：a、边：邻边垂直的平行四边形是矩形；b、角：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；c、对角线：对角线相等的平行四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形。二、菱形二、菱形1、性质：a、边：四边相等；b、对角线：对角线垂直，且平分顶角2、判定：a、边：四边相等的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形b、对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是矩形；一组对角线平分顶角的平行四边形是菱形。三、正方形三、正方形1、性质：a、边：四边相等；b、角：四个角都是直角；c、对角线：对角线相等，且互相垂直平分.v.
12、2、判定：判定一个四边形是正方形可以判定它是具有菱形性质的矩形，或它是具有矩形性质的菱形即：a、边：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一组邻边垂直的菱形是正方形；b、角：有一个角是直角的菱形是正方形；c、对角线：对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；一组对角线平分顶角的矩形是正方形。六、六、二次函数二次函数 知识点总结知识点总结一、二次函数的图像特征一、二次函数的图像特征方向对 称轴顶点最值y ax2a0 开口向下；直线x 00,0a0 有最小值；a0 有最大值；a0 对称轴左边y (x h)2开口向上直线x -h-h,0有最小值y x2 ky a(x h)2 k开口向上直线x
13、 00,k有最小值a0 开口向上；a0 开口向下直线x -h-h,ka0 有最小值；a0 有最大值；a0 对称轴左边减右边增；a0 对称轴左边增右边减y ax2 bx ca0 开口向上；a0 开口向下直线x 开 口a0 开口向上；b2a2x b,4ac-b4a2aa0 有最小值；a0 有最大值；a0 对称轴左边减右边增；a0 对称轴左边增右边减增 减减右边增；a0性对称轴左边增右边减二、图像的平移二、图像的平移对 称 轴 左边减右边增对称轴左边减右边增k；a、将抛物线解析式转化成顶点式y axhk，确定其顶点坐标h，2B、平移规律：在原有函数的根底上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移概括
14、成八个字“左加右减，上加下减b 4acb2，顶点是三、求抛物线的顶点、对称轴的方法三、求抛物线的顶点、对称轴的方法1公式法：y ax bxc ax 2a4a22b4ac b2，对称轴是直线x（，）2a4a b.2a22配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.四、抛物线四、抛物线y ax bx c中，中，a,b,c的作用的作用1a决定开口方向及开口大小。当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a越大开口越小，2a越小开口越大。a相等，抛物线的开口大小、形状一样.2b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx
15、c的对称轴是直线x b 0时，对称轴为y轴；2b，故：2abb 0即a、b同号时，对称轴在y轴左侧；0即a、b异aa22号时，对称轴在y轴右侧.总结为“左同右异3c的大小决定抛物线y ax bx c与y轴交点的位置.抛物线y ax bx c与y轴有且只.v有一个交点0，c：五、用待定系数法求二次函数的解析式五、用待定系数法求二次函数的解析式.c 0，抛物线经过原点;c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.1一般式：y ax bx c.图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2 顶点式：y ax h k.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.假设给出的两个点纵坐标相等，22可先求出
16、对称轴，然后利用顶点式设出解析式3交点式：图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2.六、二次函数与六、二次函数与 x x 轴的交点轴的交点二次函数y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程2ax2bx c 0的两个实数根.故抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0抛物线与x轴相交；有一个交点顶点在x轴上 0抛物线与x轴相切；没有交点 0抛物线与x轴相离.注：b 4ac七、二次函数的最值七、二次函数的最值如果自变量的取值是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值或最小值，即当x 4 ac b24
17、a2b时，2ay最值。如果b的值不在自变量的取值范围内，那么要根据二次函数的增减性求最值。2a七、七、圆的根本性质圆的根本性质 知识点总结知识点总结一、点与圆的位置关系一、点与圆的位置关系1点在圆外点到圆心的距离大于半径2点在圆上点到圆心的距离等于半径3点在圆内点到圆心的距离小于半径二、三角形的外接圆二、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形的外心到各顶点距离相等。一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。锐角三角形外心在圆内；直角三角形外心在圆上；钝角三角形外心在圆外。三、垂径定理三、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理
18、的推论：1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。3圆的两条平行弦所夹的弧相等所以 a、经过圆心 b、垂直于弦 c、平分弦 d、平分弧，a 四者中有一对量相等，其它所对的量也相等8、在同圆中，两平行弦长，要求两弦间的距离，要考虑两种情况：两弦分布在圆心同侧；两弦分布在圆12得，当两弦在圆心同侧d d1 d2；在圆心异侧那么d d1 d2。r2（l）2四、圆心角定理四、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦心距相等。推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么其他所对应
19、的其余各组量都分别相等。五、圆周角定理五、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。也等于它所对的弧的度数的一半。圆周角定理的推论 1：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。圆周角定理的推论 2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，反过来也成立。心两侧，根据d 2六、弧长公式六、弧长公式l nR，扇形面积公式扇形面积公式S nR1lR18036022七、圆锥中的公式七、圆锥中的公式：底面圆的周长C 2r，圆的面积S底r，圆的高线h l2r2，.v.2圆锥的侧面积S侧rl，圆锥的全面积S全 S侧 S底rl r八、八、直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆
20、与圆的位置关系 知识点总结知识点总结一、直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系a、直线与圆相离d r无交点；b、直线与圆相切d r有一个交点(切点；c、直线与圆相交d r有两个交点；二、切线的判定定理与性质二、切线的判定定理与性质1、圆的切线的判定方法判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.注意：判定一条直线是圆的切线的方法还有：1与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；2圆心到直线的距离等于该圆的半径，那么这条直线是圆的切线.2、圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于该圆的半径.3、证明圆的切线的两种常见类型及其辅助线作法1如果直线经过圆上一点，要证明这条直线是圆的切线，其证法是
21、连接这点与圆心，再证明这条辅助半径与这条直线垂直即可，可简记为“连半径，证垂直；2如果条件中未说明直线与圆有公共点，要证明这条直线是圆的切线时，其方法是过圆心作这条直线的垂线，再证明垂线段的长度等于半径即可，简记为“作垂线，证半径。三、三角形的内切圆三、三角形的内切圆1、三角形的内切圆性质：1三角形内切圆圆心是三角形三个内角平分线的交点，圆心到三角形三边距离都相等；2一个三角形有且仅有一个内切圆，而一个圆有无数个外切三角形；3不管何种三角形，它的内心一定在三角形的内部。14假设ABC 三边长分别为 a、b、c，它的内切圆半径为 r，那么 SABC=a+b+cr，假设直角三2a+b-c角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，直角三角形内切圆半径为r，那么 r=22、三角形的内心与外心的比较：3、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的长相等，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。切线长定理主要用于线段相等，角相等的证明。四、圆与圆的位置关系四、圆与圆的位置关系外离无交点d Rr；外切有一个交点d Rr；相交有两个交点Rr d Rr；内切有一个交点d Rr；内含无交点d Rr；.v