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1、习题一（函数、极限、连续）一选择题1.设0 a b,则limnnanbn(A)0(B)(C)a(D)b1 x22.设f(x),则lim f(x)（）xx(A)1(B)0(C)1(D)不存在3.设f(x)x2 x x2 x,则lim f(x)（）x(A)1(B)0(C)1(D)不存在4.若lim f(x)存在，lim g(x)不存在，则下列命题正确的是（）xx0 xx0(A)lim f(x)g(x)与lim f(x)g(x)都存在xx0 xx0(B)lim f(x)g(x)与lim f(x)g(x)都不存在xx0 xx0(C)lim f(x)g(x)必不存在，而lim f(x)g(x)可能存在x
2、x0 xx0(D)lim f(x)g(x)可能存在，lim f(x)g(x)必不存在xx0 xx05.当x 0时，下列四个无穷小中，比其他三个更高阶的无穷小是（）x(A)1cos x2(B)e1(C)21 x21(D)sinx tanx6.当x 0时，函数f(x)2 3 2是x的（）(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶无穷小(D)等价无穷小7.当x 0时，函数f(x)sin2x 2sin x是x的同阶无穷小，则k（）(A)1(B)2(C)3(D)48.函数f(x)kxxx(x25x 6)x 3x 2x32的第一类间断点共有（）(A)0 个(B)1 个(C)2 个(D)3 个1xe19.x
3、 0是函数f(x)1xe11x 0 x 0的（）(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)无穷间断点(D)连续点110.函数f(x)4 x2x 12的连续区间是（）(A)(,1),(1,)(B)(,1),(1,1),(1,)(C)2,1),(1,1),(1,2(D)2,1),(1,2二、填空题21.设f(x)是以 2 为周期的函数，已知在0,2)内，f(x)x，则在4,6)内，f(x)2.已知f(3 x)2 f(1 x)x2,则f(x)3.设a,b都是常数，若limx1x 1 b 0,则a b x3 2x ax a b1,则a b 2x 14.设a,b都是常数，若limx1x211 ax b),则
4、a b 5.设lim(xx 12x23x a6.若x 2函数f(x)ln(x 1)的可去间断点，则常数则a 2(x 2)axb1 x 0e7.设f(x)ex 0为连续函数，则常数a b bx0 x 1(1 ax)8.函数f(x)11ex1x的第一类间断点是.x319.设f(x)x 1ax 1x 1在点x 1处连续，则常数a ax2 23bx 5是当x 时的无穷小，则常数a b 10.设函数f(x)2x 1三、求下列极限ln x 11 x211.lim2.lim2xex0 x esin x2x x2 xn nx2 xsin x 13.lim4.lim2xx xcosx 1x1x 15.lim(1
5、2xsin x12)6.lim2arcsinx1x 1x 17.xlim(x p)(x q)x9.limx(x 1x 1)2x1四、用罗比达法则求下列极限1limx sin xx0 x2sin x3.limexex x2 2x0 x2(1sin2x 1)xx 1x8.limln(2 x)ln(2 x)2ln2x0 x210.limx21x(x21)x22.limx tan xx0 x2arctan x4.lim x(x2arctan x)3x3lnsin3x5.limx6.limxex0lnsin x7.lim(1 x)tan(11x)8lim(x)x129.limx1(1x 11ln x)e
6、x e2x111.limx0(2)x五、求下列函数的间断点，并指出其类型：x21.y 1x23x 2x0 xe 1axbx110.lim cxxx0(3)112.xlim0(cot x)ln x42x 1 x 02.y 12x 10 x 1ex11 x 2x 13.f(x)2xx 11 x 1ex1x 11x4.f(x)e11arctan1ex1xln(1 x)1x 05.f(x)1ex1x 0,x 15x2112x a2 a六、设f(x)2ln(1bx)xe 1x 0 x 0(a 0)，问常数a,b为何值时，x 0（1）x 0是函数f(x)的连续点？（2）x 0是函数f(x)的可去间断点？（3）x 0是函数f(x)的跳跃间断点？七、证明方程x 3x 1 0至少有一个介于 1 与 2 之间的实根。八、证明方程x 3x 1 0至少有一个小于 1 正根。63253九、证明方程x asin x b(a 0,b 0)至少有一个不超过a b的正根。十、设函数f(x)在闭区间上0,1连续，且对x0,1，有0 f(x)1，证明：至少存在一点x00,1，使得f(x0)x0.十一、设函数f(x)在闭区间上a,b连续，且a x1 x2 xn b(n 2),证明：至少存在一点x1,xn，使得f()7f(x1)f(x2)f(xn).n