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1、函数函数 极限与连续极限与连续 练习题练习题一、判断题一、判断题1.函数f(x)x21 x与函数g(x)1是同一函数（）x21 x2.函数f(x)lnex与函数g(x)elnx是同一函数（3.函数f(x)x 1x 2与函数g(x)x 1x 2是同一函数（4.函数f(x)3x4 x3与函数g(x)x3x1是同一函数（5.函数f(x)10lg x与函数g(x)x是同一函数（6.函数f(x)x1x21g(x)11 x是同一函数（17.函数f(x)(1cos2x)2与函数g(x)sin x是同一函数（8.函数f(x)cos(arccosx)与函数g(x)x是同一函数（9.函数f(x)ln(x22x1)
2、与函数g(x)2ln(x 1)是同一函数（10.函数f(x)sin(arcsinx)与函数g(x)arcsin(sinx)是同一函数（11.设 lnx1x，arcctgx，则当x 时则（12f(x)11xsinx(0 x )，当x0时f(x)不是无穷大，但无界（13.设当x x0时，f(x)，g(x)A(A 0)，则limxxf(x)g(x)（014.设limxxn1nn 0及limnx a存在，则：|a|1（n二、填空题二、填空题1.设f(x)的定义域是(0,1)，则f(1 x2)的定义域是_。1 1/1111）2.设f(x)x1 ln(2x)，则f(x)的定义域用区间表示为_。3.lim(
3、13x)x02sin x _x2ax)8，则a _xxa3x2545.limsin _x5x 3x4.设lim(6.limx11 _。ln x17.设f(x)xcot2x(x 0)，要使f(x)在x 0点处连续，则 f(0)_8.f(x)sinsin(sinx)1 x 1 x1(x 0)为使f(x)在x 0处连续，应补充定义f(0)_9.设f(x)x3，当自变量x在x0处取得增量x时，函数y f(x)的增量为 _10.函数f(x)arcsin11.f(x)2x 1的定义域用区间表示为_。32x的定义域是_。2x 3x 212.f(x)log2(log2x)的定义域是_。13.设f(x)的定义域
4、是(1,2，则f 1的定义域是_。x 114.设f(x)的定义域是0，4），则f(x2)的定义域是_。15.设f(x)ln x，(x)arcsinx，则f(x)的定义域是_。16.lim(1 2 n 1 2(n1)_nn2n)_17.lim(nn11x22218.lim(sincos)xxx19.设 x 1计算极限lim(1 x)(1 x2)(1 x4)n(1 x2)n1exe2xenx20.计算极限limlnx0 xn11lim f(x)a，lim f(x)b，则有a 21.设f(x)xsinsin x，x0 xxx，b.2 2/1111limsin(n2a2)22.计算极限：nn3n222
5、3.求数列的极限lim2n3n 4n(n1).a nbn).24.设a 0，b 0，求数列的极限lim(n21)(2)(2125.求数列的极限limnenen2e2.n21126.设a0求limn2ln(a)ln(a)2ln a.nnn27.a，b为正整数，求limn(e e).nanbn28.求数列的极限limnln(n1)lnn.n29.求极限 limln(1 x)ln(x1)x xlncosx=30.求极限limx0 x2三、选择题三、选择题1.f(x)sinx在其定义域(，)上是(A)奇函数；(B)非奇函数又非偶函数；(C)最小正周期为2的周期函数；(D)最小正周期为的周期函数。答（）
6、2.f(x)(exex)sinx在其定义域(，)上是(A)有界函数；(B)单调增函数；(C)偶函数；(D)奇函数。答（）3.3 3/1111设f(x)x x，(，)，则f(x)()(A)在(，)单调减；(B)在(，)单调增；(C)在(，0)内单调增，而在(0，)内单调减；(D)在(，0)内单调减，而在(0，)内单调增。答（）4.下列函数中为非偶数函数的是（）(A)y sinx2x12x1；(B)y arccosx；(C)y x23x 4 x23x 4；(D)y x1 x2lg(x 1 x2)5.设f(x)是定义在(，)内的任意函数，则f(x)f(x)是（）(A)奇函数；(B)偶函数；(C)非奇
7、非偶函数；(D)非负函数。6.函数f(x)lna xa x(a 0)是(A)奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)奇偶性决定于a的值答（）7.f(x)x(exex)在其定义域(，)上是(A)有界函数；(B)奇函数；(C)偶函数；(D)周期函数。答（）8.设f(x)sin3x，x 0sin3x，0 x，则此函数是(A)周期函数；()单调减函数；(C)奇函数;(D)偶函数。答（）4 4/11119.3x，3 x 0设f(x)3，则此函数是x，0 x 2(A)奇函数；(B)偶函数；(C)有界函数；(D)周期函数。答（）10.f(x)(cos3x)2在其定义域(，)上是(A)最小正周期为3的
8、周期函数；(B)最小正周期为3的周期函数；2(C)最小正周期为的周期函数；(D)非周期函数。3答（）11.cos(x 2)在定义域(，)上是21 x(A)有界函数；(B)周期函数；f(x)(C)奇函数；(D)偶函数。答（）12.下列函数中（其中x表示不超过x的最大整数），非周期函数的是(A)y sin xcosx；(B)y sin2x；(C)y acosbx；(D)y xx答（）13.1关于函数y 的单调性的正确判断是x11(A)当x 0时，y 单调增加；(B)当x 0时，y 单调减少；xx11(C)当x 0时，y 单调减少；当x 0时，y 单调增加；xx11(D)当x 0时，y 单调增加；当
9、x 0时，y 单调减少.xx答（）5 5/111114.下列函数中为非奇函数的是2x1(A)y x；(B)y lg(x 1 x2)；2 1(C)y xarccosx；(D)y x23x7 x23x721 x答（）15.下列叙述正确的是(A)有界数列一定有极限；(B)无界数列一定是无穷大量；(C)无穷大数列必为无界数列；(D)无界数列未必发散答（）16.若liman A(A 0)，则当n充分大时，必有n(A)an A；(B)an A；(C)anAA；(D)an22答（）17.设正项数列an满足liman1 0，则nann(A)liman0；(B)limanC 0；n(C)liman不存在；(D)
10、an的敛散性不能确定n答（）18.f(x)在点x0处有定义时极限lim f(x)存在的（）xx0(A)必要条件；(B)充分条件；(C)充分必要条件；(D)及非必要又非充分条件答（）19.6 6/11111设函数f(x)xsin，则当x 0时，f(x)为x(A)无界变量；(B)无穷大量；(C)有界，但非无穷小量；(D)无穷小量.答（）20.若lim f(x)A（A为常数），则当x x0时，函数f(x)A是xx0(A)无穷大量；(B)无解，但非无穷大量；(C)无穷小量；(D)有界，而未必为无穷小量.答（）21.1设函数f(x)xcos，则当x 时，f(x)为x(A)有界变量；(B)无解，但非无穷大
11、量；(C)无穷小量；(D)无穷大量.答（）22.设F(x)(x x)ex x1(x )则F(x)(A)是奇函数而不是偶函数；(B)是偶函数而不是奇函数；(C)是奇函数又是偶函数；(D)非奇函数又非偶函数。答（）23.当x 0时，sinx(1cosx)是x3的(A)同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)等价无穷小；(C)高阶无穷小；(D)低阶无穷小.答（）24.2sinx(1cosx)与x2比较是（）当x 0时，7 7/1111(A)同阶但不等价无穷小；(B)等价无穷小；(C)高阶无穷小；(D)低阶无穷小.答（）25.若limx0f(x)g(x)0，lim c 0(k 0)x0 xk1xk则当x
12、0，无穷小f(x)与g(x)的关系是Af(x)为g(x)的高阶无穷小；Bg(x)为f(x)的高阶无穷小；Cf(x)为g(x)的同阶无穷小；Df(x)与g(x)比较无肯定结论 答（）26.下列极限中，不正确的 是A lim(x1)4；B limex3x01x 0；sin(x1)11C lim()x 0；D lim 0 x02x1x 答（）27.tankx，x 0设f(x)x，且lim f(x)存在，则k的值为x0 x3，x 0 答（）28.A 1；B 2；C 3；D 4 1cosx，x 0 x设f(x)，则x1，x 01x 1e8 8/1111A lim f(x)0；x0B limf(x)lim
13、f(x)；x0 x0 x0C limf(x)存在，limf(x)不存在；x0D limf(x)不存在，limf(x)存在x0 x0 答（）29.ex2，x 0设函数f(x)1，x 0，则lim f(x)x0 x cosx，x 0A 1；B 1；C 0；D不存在 答（）30.x2ax6已知lim 5，则a的值为x11 xA 7；B 7C 2；D 2 答（）31.xsin1，当x 0 x设f(x)则当x在x 0处取得增量t时，0，当x 0函数f(x)的增量f(x)为1(A)tsint11(B)(t t)sintsint tt11(C)(t t)sintsintt11(D)(tsin xsin)tx
14、 答（）32.sinxxa极限lim()的值是（）xasinaA1BeCecotaDetana答（）19 9/111133.极限 lim(cosx)的值是（）x01x1e答（）A1B0C eD34.x2若f(x)ax b，当x 时为无穷小，则x 1(A)a 1，b 1(B)a 1，b 1(C)a 1，b 1(D)a 1，b 1答（）四、解答题四、解答题1.求函数f(x)loga(x 1 x2)的反函数(x)(式中a 0，a 1)。y z)，(式中y 1,z 1).2.设f(x)ln1 x,证明f(y)f(z)f(1 x1 yz(t)2(t)3.设(t)t31求(t2)4.设数列xn，yn都是无
15、界数列，zn xnyn，zn是否也必是无界数列。试判定：5.如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出 反例。若limxnyn 0，且xn 0，yn 0，则能否得出 limxn 0及lim yn 0至少有一nnn式成立的结论。6.计算极限lim(1x212)xxx7.计算极限 limxxxxxx xecosxe8.计算极限limx0 x21010/11119.设a1，b1是两个函数，令an1anbn，bn1liman存在，limbn存在，且liman limbnnnbn2anbn，(n 1，2，)试证明：2n2，)，试研究极限limxn10.设x1 2，xn1 2xn xn(n 1，n11.设x
16、1 0，xn1 2xn xn(n 1，2，)，试研究极限limxnn212.设x1(0，2)，xn1 2xn xn(n 1，2，)，试证数列xn收敛，并求极限limxn2n13.研究极限limx022cosax(a 0)的存在性。x4 tanx 4sinxetanxesinx14.计算极限limx015.计算极限limx01 xsinx cos2xxtanx16.计算极限 lim(x xx x)x12n)22nn2n1n n2n nn13 xx218.求lim()x6 x17.求lim(19.设f(x)在x0处连续g(x)在x0处不连续，试判定(x)f(x)g(x)(x)f(x)g(x)的连续性，并说明理由20.设f(x)及g(x)在x0处都不连续，试判定(x)f(x)g(x)及(x)f(x)g(x)在x0处的连续性1111/1111