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1、戴氏教育 2010 年春季高一数学培优班第六讲2010 年 4 月 11 日第六讲第六讲函数函数y As in(x)图像和性质图像和性质一一,作函数作函数y Asin(x)图像图像1,1,（l）利用“五点法”作函数y sin(2x 3（2）怎样由y sin x的图象得到)的图象y sin(2x)的图象？3分析：分析：令t 2x 解解：（1）列表：3，找出y sint图象的五个关键点对应的x 值x2x 63005122223011123227620y描点：（52117，0），（，2），（，0），（，2），（，0）。1231266用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数y sin(2x)在一个周期内
2、的简图（图31）把这个简图利用函数的周期性向左、右扩展，就得到函数y 2sin(2x)的简图3（2）解法一个单位，得到函数y sin(x)的图331象；把函数y sin(x)图象上所有点的根坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到32函数y sin(2x)的图象；把函数y sin(2x)图象上所有的点的纵坐标伸长到原33来的 2 倍（横坐标不变），就得到函数y 2sin(2x)的图象见3把函数y sin x的图象上所有点向右平移图 1解法二把函数y sin x的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的1（纵坐标不变），得到函数y sin2x的图象；把函数2y sin2x图象上所有的点向右平移个单位，得到
3、函数6图 1把函数y sin(2x)的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来y sin(2x)的图象；331戴氏教育 2010 年春季高一数学培优班第六讲2010 年 4 月 11 日的 2 倍（根坐标不变），就得到函数y 2sin(2x 3)的图象见图 1小结：小结：(1)(1)在作图时，如无特殊声明，一般用五点法作图较简便在作图时，如无特殊声明，一般用五点法作图较简便(2)(2)函数图象变换中，横向变函数图象变换中，横向变换是对换是对 x x 变化的反映，纵向变换是对变化的反映，纵向变换是对 y y 变化的反映变化的反映二二,y Asin(x)的物理意义的物理意义1,函数y 2sin(2x 相解
4、：解：振幅A 2，周期T，频率f 6)，当它表示一个振动量时，求出它的振幅、周期、频率。相位、初1，相位是2x 6，初相是6。2,单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（厘米）和时间t（秒）的函数关系为s 6sin(2t 6)（l）作出它的图像；（2）单摆开始摆动（t 0）时，离开平衡位置多少厘米？（3）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？（4）单摆来回摆动一次需多少时间？解：解：（l）找出曲线上的五个特殊点，列表如下：t2t 112006212265120812326111220s用光滑曲线连接这些点，得函数s 6sin(2t 6)的图像（如图）（2）当t 0时，s 6sin（3
5、）s 6sin(2t（4）s 6sin(2t 6 3(cm)，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3cm。66)的振幅为 6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm。)的周期T 2所以单摆来回摆动一次需要的时间为1s。1，2三三,求求y Asin(x)解析式解析式2戴氏教育 2010 年春季高一数学培优班第六讲2010 年 4 月 11 日1,1,将函数y sin x的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的轴正方向平移 2 个单位，再沿x轴正方向平移1，然后将图象沿y2个单位，得到的是下列哪个函数的图象（C）6Ay sin2x2By sin(2x)23Cy sin(2x)2Dy sin(2x
6、)236变式:函数fx的横坐标伸长到原来的两倍，再向左平移个单位，所得到的曲线是21y sinx的图像，试求函数y fx的解析式2解：解：解法一：问题即是将y 11sin x的图像先向右平移个单位，得到y sinx；2222再将横坐标压缩到原来的111，得y sin2x，即y cos2x这就是所求函数2222fx的解析式解 法 二：设y As inx，将 它 的 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 两 倍 得 到y As i nx；再将其图像向左平移221y Asinx Asinx sin x24222个单位，得1A，1A，221，解之得：2，2.24 0.fx11sin2x，即fx cos2
7、x222小结：这种问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”小结：这种问题有两种解法，一是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由，即将以上变换倒过来，由y 1sin x变换到变换到y fx；二是代换法，即设；二是代换法，即设y Asinx，然后按题设中的变换，然后按题设中的变换21x，它就是，它就是y sin x，即可求得，即可求得A、的值的值222分两步得：分两步得：y Asin3戴氏教育 2010 年春季高一数学培优班第六讲2010 年 4 月 11 日2,2,正弦函数y fx的定义域为R R，周期为式的最简形式为（A）Ay 2sin4x，初相为，值域为1，3，则其函数231B
8、y 2sin4x133Cy 2sin4x1Dy 2sin4x133变式:已知函数y Asin(x)(A 0,0,2)在一个周期内的简图（如图）。求其相应的函数表达式，并说明它是y sin x经过怎样变换得到的。分析：分析：应求出 A、，观察图像易知振幅A 2，周期T 11()，从而求得，对于，只需将点,0121212代入解析式即可通过解方程获得。得知函数表达式则图像变换易知。解解：因 为T 112，所 以 2，又 易 知A 2，所 以 1212y 2sin(2x)。将 点,0代 入 上 式 得0 2sin2。即1212s in 0，由得，所以y 2sin(2x)。6266它的图像可由y sin
9、 x的图像作如下变换得到：变式:已知函数y 2sin(x)（2）的图象一部分如图所示，则必定有（c）4戴氏教育 2010 年春季高一数学培优班第六讲2010 年 4 月 11 日A10，116B10，116C 2，6D 2，6变式变式:已知函数y Asin xx（A 0，0，2）的图像的一个最高点为（2，由这个最高点到相邻最低点，图像与x轴交于（6，0）点，试求这个函数的解析式2 2）解解最高点为（2，2 2），A 2 2，由题意知从最高点到相邻最低点时交x轴于（6，0），T 62 4，即T 1642T8y 2 2sinx代入最高点坐标，82 2 2 2sin2，8sin 1，44函数解析式为
10、y 2 2sinx48小结：利用图像特征确定函数解析式小结：利用图像特征确定函数解析式y Asin(x)k或根据代数条件确定解析式时，或根据代数条件确定解析式时，要注意以下几种常用方法：要注意以下几种常用方法：（1 1）振幅）振幅A 1ymax ymin2T，由此推出由此推出值值2（2 2）相邻两个最值对应的横坐标之差，相邻两个最值对应的横坐标之差，或者一个单调区间的长度为或者一个单调区间的长度为（3 3）确定）确定值，一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定值，一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定3,（山东卷理 17）已知函数f(x)3sin(x)cos(x)(0 ,0)为偶函数，5戴氏教育 2
11、010 年春季高一数学培优班第六讲2010 年 4 月 11 日且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（）求f（.2）的值；（）将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图86象上各点的横坐标舒畅长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(X)变式:已知函数y Asinxk（A 0，0，）的最大值为 4，最小值为，其图像的一条对称轴为x 求该函数的解析式23解:由题意Ak 4，Ak 0，A 2，k 22又T，4，y 2sin24x220，最小正周期为x 3是它的一条对称轴，sin 1，k 43432（kZ Z）从而 k（kZ Z），故该函数的解析式为y 2sin
12、4x四四,函数函数y Asin(x)和性质和性质1,1,关于函数f(x)4sin(2x566或 5652，y 2sin4x2663)(xR)，有下列命题：由f(x1)f(x2)0可得x1 x2必是的整数倍；y f(x)的表达式可改写为y 4cos(2xy f(x)的图像关于点(6)；6,0)对称；y f(x)的图象关于直线x 解：解：设2x16对称其中正确的命题的序号是_ n(m,nZ)，则x1、x2满足f(x1)f(x2)0，而33(mn)(mn)x1 x2，当 m、n 一奇一偶时，不是的整数倍，故错；22f(x)4sin(2x f(m,2x2)4sin(2x)4cos(2x)，故对；362
13、6)4sin2()4sin0 0663y f(x)的图象关于点(f(6,0)对称，故正确；不是y f(x)的对称轴6)0 4,x 66戴氏教育 2010 年春季高一数学培优班第六讲2010 年 4 月 11 日从而正确命题的序号是变式:函数y 1sin(2x)的图象关于y轴对称的充要条件是（B）2A 2k2B k2C 2kD k（k Z）变式:函数fx cos3x的图像关于原点中心对称的充要条件是（B）A2B k2（kZ Z）C k（kZ Z）D 2k2（kZ Z）变式:如果函数y sin2xacos2x的图象关于直线x A2B2C1D18对称，那么a的值为（D）2,2,函数f(x)M sin
14、(x)(0)在区间a,b上是增函数，且f(a)M,f(b)M，则函数g(x)M cos(x)在a,b上（）A是增函数B是减函数C可以取得最大值MD可以取得最小值M解：解：采取特殊值的方法：取m 1,0，则有f(x)sin x,g(x)cosx，取a 在a,b（即2,b 2，这时g(x),）上既不是增函数也不是减函数，且取得最大值 1，因此可以排除 A、2 2B、D，而得 C变式:方程sin xcosx k在0,上有 2 个解，则k的取值范围是（D）A2 k C0 k 2B1 k D1 k 222变式:方程lgx sin2x的实数根有_个解：作出y lg x与y sin2x图象，经计算分析知共有5 个交点.实根有 5 个7