《初三数学 圆的综合的专项 培优 易错 难题练习题附详细答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初三数学 圆的综合的专项 培优 易错 难题练习题附详细答案.pdf（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、初三数学 圆的综合的专项 培优 易错 难题练习题附详细答案一、圆的综合一、圆的综合1如图 1，直角梯形 OABC 中，BC OA，OA=6，BC=2，BAO=45（1）OC 的长为；（2）D 是 OA 上一点，以 BD 为直径作M，M 交 AB 于点 Q当M 与 y 轴相切时，sin BOQ=；（3）如图 2，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点O 沿线段 OA 向点 A 运动；同时动点 D 以相同的速度，从点B 沿折线 BCO 向点 O 运动当点 P 到达点 A 时，两点同时停止运动过点 P 作直线 PE OC，与折线 OBA 交于点 E设点 P 运动的时间为 t（秒）求当以 B、D
2、、E 为顶点的三角形是直角三角形时点E 的坐标【答案】（1）4；（2）【解析】分析：（1）过点 B 作 BHOA 于 H，如图 1（1），易证四边形 OCBH 是矩形，从而有OC=BH，只需在 AHB 中运用三角函数求出 BH 即可（2）过点 B 作 BHOA 于 H，过点 G 作 GFOA 于 F，过点 B 作 BROG 于 R，连接MN、DG，如图 1（2），则有 OH=2，BH=4，MNOC设圆的半径为 r，则MN=MB=MD=r在 Rt BHD 中运用勾股定理可求出 r=2，从而得到点 D 与点 H 重合易证 AFG ADB，从而可求出 AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG设 OR
3、=x，利用 BR2=OB2OR2=BG2RG2可求出 x，进而可求出 BR在 Rt ORB 中运用三角函数就可解决问题（3）由于 BDE 的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（BDE=90，BED=90，DBE=90）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于 t 的方程就可解决问题详解：（1）过点 B 作 BHOA 于 H，如图 1（1），则有 BHA=90=COA，OC BH BC OA，四边形 OCBH 是矩形，OC=BH，BC=OH OA=6，BC=2，AH=0AOH=OABC=62=4 BHA=90，BAO=45，3510；（3）点 E 的坐标为（1，2）、（，）、
4、（4，2）533BH=1，BH=HA=4，OC=BH=4HA故答案为 4 tan BAH=（2）过点 B 作 BHOA 于 H，过点 G 作 GFOA 于 F，过点 B 作 BROG 于 R，连接MN、DG，如图 1（2）由（1）得：OH=2，BH=4 OC 与M 相切于 N，MNOC设圆的半径为 r，则 MN=MB=MD=r BCOC，OAOC，BC MN OA BM=DM，CN=ON，MN=DH=ODOH=2r 4在 Rt BHD 中，BHD=90，BD2=BH2+DH2，（2r）2=42+（2r4）2解得：r=2，DH=0，即点 D 与点 H 重合，BD0A，BD=AD BD 是M 的直
5、径，BGD=90，即 DGAB，BG=AG GFOA，BDOA，GF BD，AFG ADB，1（BC+OD），OD=2r2，2AFGFAG111=，AF=AD=2，GF=BD=2，OF=4，ADBDAB2221AB=222 OG=OF2GF2=42 22=25同理可得：OB=25，AB=42，BG=设 OR=x，则 RG=25x BROG，BRO=BRG=90，BR2=OB2OR2=BG2RG2，（25）2x2=（22）2（25x）2解得：x=8 58 52366 5，BR2=OB2OR2=（25）2（）=，BR=55556 5BR3在 Rt ORB 中，sin BOR=5=OB52 5故答案
6、为35（3）当 BDE=90时，点 D 在直线 PE 上，如图 2此时 DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t，OP=t则有 2t=2解得：t=1则 OP=CD=DB=1 DE OC，BDE BCO，点 E 的坐标为（1，2）当 BED=90时，如图 3 DBE=OBC，DEB=BCO=90，DBE OBC，DEBD1=，DE=2，EP=2，OCBC2tBEDBBE5，=t，BE=BCOB22 55 PE OC，OEP=BOC OPE=BCO=90，OPE BCO，OEtOEOP，=，OE=5tBC2 5OB25t=255 OE+BE=OB=25，5t+解得：t=55105
7、 5，OP=，OE=，PE=OE2OP2=，33335 1033 点 E 的坐标为（，）当 DBE=90时，如图 4此时 PE=PA=6t，OD=OC+BCt=6t则有 OD=PE，EA=PE2 PA2=2（6t）=622?t，BE=BAEA=42（622t）=2t22 PE OD，OD=PE，DOP=90，四边形 ODEP 是矩形，DE=OP=t，DE OP，BED=BAO=45在 RtDBE 中，cos BED=BE2=，DE=2BE，DE2 t=（22t22）=2t4解得：t=4，OP=4，PE=64=2，点 E 的坐标为（4，2）综上所述：当以 B、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时
8、点E 的坐标为（1，2）、（，）、（4，2）5 1033点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性2如图，已知 ABC 内接于O，AB 是O 的直径，点 F 在O 上，且点 C 是点，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 D，交 AF 的延长线于点 E（1）求证：AEDE；（2）若 BAF=60，AF=4，求 CE 的长的中【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先连接 OC，由 OC=OA，点 C，易证得 AEDE；，易证得 OC A
9、E，又由 DE 切O 于（2）由 AB 是O 的直径，可得 ABC 是直角三角形，易得 AEC 为直角三角形，根据AE=3 求得 AC 的长，然后连接 OF，可得 OAF 为等边三角形，知 AF=OA=AB，在 ACB中，利用已知条件求得答案试题解析：（1）证明：连接 OC，OC=OA，BAC=OCA，BAC=EAC，EAC=OCA，OC AE，DE 切O 于点 C，OCDE，AEDE；（2）解：AB 是O 的直径，ABC 是直角三角形，CBA=60，BAC=EAC=30，AEC 为直角三角形，AE=3，AC=2，连接 OF，OF=OA，OAF=BAC+EAC=60，OAF 为等边三角形，AF
10、=OA=AB，在 Rt ACB 中，AC=2 BC=2，AB=4，AF=2考点：切线的性质，tan CBA=，3如图 1，将长为 10 的线段 OA 绕点 O 旋转 90得到 OB，点 A 的运动轨迹为AB，P 是半径 OB 上一动点，Q 是AB上的一动点，连接 PQ.发现：POQ_时，PQ 有最大值，最大值为_；的长；思考：（1）如图 2，若 P 是 OB 中点，且 QPOB 于点 P，求BQ（2）如图 3，将扇形 AOB 沿折痕 AP 折叠，使点 B 的对应点 B恰好落在 OA 的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图 4，将扇形 OAB 沿 PQ 折叠，使折叠后的弧 QB恰好与半径 OA
11、相切，切点为C，若 OP6，求点 O 到折痕 PQ 的距离【答案】发现：90，102；思考：（1）到折痕 PQ 的距离为30.【解析】10；（2）251002+100；（3）点 O3分析：发现：先判断出当PQ 取最大时，点 Q 与点 A 重合，点 P 与点 B 重合，即可得出结论；思考：（1）先判断出 POQ=60，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；（2）先在 Rt BOP 中，OP2+(10210)2=（10-OP）2，解得 OP=10210，最后用面积的和差即可得出结论探究：先找点 O 关于 PQ 的对称点 O，连接 OO、OB、OC、OP，证明四边形 OCOB 是矩形，由勾股定理求 OB
12、，从而求出 OO的长，则 OM=1OO=302详解：发现：P 是半径 OB 上一动点，Q 是AB上的一动点，当 PQ 取最大时，点 Q 与点 A 重合，点 P 与点 B 重合，此时，POQ=90，PQ=OA2OB2=102；思考：（1）如图，连接 OQ，点 P 是 OB 的中点，11OB=OQ22 QPOB，OPQ=90 OP=在 Rt OPQ 中，cos QOP=QOP=60，lBQ=OP1，OQ2601010；1803（2）由折叠的性质可得，BPBP，ABAB102，在 Rt BOP 中，OP2+(10210)2=（10-OP）2解得 OP=10210，901021S阴影=S扇形AOB-2
13、S AOP=210(10 2 10)3602251002+100；探究：如图 2，找点 O 关于 PQ 的对称点 O，连接 OO、OB、OC、OP，则 OM=OM，OOPQ，OP=OP=3，点 O是BQ所在圆的圆心，OC=OB=10，折叠后的弧 QB恰好与半径 OA 相切于 C 点，OCAO，OC OB，四边形 OCOB 是矩形，在 Rt OBP 中，OB=6242 2 5，在 Rt OBOK，OO=102(2 5)2=2 30，OM=11OO=2 30=30，22即 O 到折痕 PQ 的距离为30点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=nR（n 为圆心
14、角度数，R 为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常180考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分4如图，已知 Rt ABC 中，C=90，O 在 AC 上，以 OC 为半径作O，切 AB 于 D 点，且BC=BD（1）求证：AB 为O 的切线；（2）若 BC=6，sinA=3，求O 的半径；5（3）在（2）的条件下，P 点在O 上为一动点，求 BP 的最大值与最小值.【答案】（1）连 OD，证明略；（2）半径为 3；（3）最大值 35+3，35-3.【解析】分析：（1）连接 OD，OB，证明 ODB OCB 即可.（2）由 sinA=34且 BC=6 可知，AB=10 且 cosA
15、=，然后求出 OD 的长度即可.55（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB 交O 于点 E、F，当点 P 分别于点 E、F 重合时，BP 分别取最小值和最大值.详解：（1）如图：连接 OD、OB.在 ODB 和 OCB 中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;ODB OCB（SSS）.ODB=C=90.AB 为O 的切线.（2）如图：3CB3,，5AB5 BC=6，AB=10,BD=BC=6,AD=AB-BD=4,34 sinA=，cosA=，55 OA=5，OD=3，即O 的半径为：3.sinA=（3）如图：连接 OB，交O 为点 E、F，由三角形的三边关系可知：当 P 点与 E 点重合时
16、，PB 取最小值.由（2）可知：OD=3，DB=6,OB=32623 5.PB=OB-OE=3 5 3.当 P 点与 F 点重合时，PB 去最大值，PB=OP+OB=3+3 5.点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.5如图，O 是ABC 的外接圆，AC 为直径，BDBA，BEDC 交 DC 的延长线于点 E(1)求证：BE 是O 的切线(2)若 EC1，CD3，求 cos DBA【答案】（1）证明见解析；（2）DBA【解析】35分析：（1）连接 OB，OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF 为线段 AD 的垂直平分线，再根
17、据直径所对的圆周角为直角，得到 ADC=90，证得四边形 BEDF 是矩形，即 EBF=90，可得出结论.（2）根据中点的性质求出OF 的长，进而得到 BF、DE、OB、OD 的长，然后根据等角的三角函数求解即可.详解：证明：(1)连接 BO 并延长交 AD 于 F，连接 OD BDBA，OAOD BF 为线段 AD 的垂直平分线 AC 为O 的直径 ADC90 BEDC 四边形 BEDF 为矩形 EBF90 BE 是O 的切线(2)O、F 分别为 AC、AD 的中点 OF13CD223522 BFDE134 OBOD43OF23 cos DBAcos DOFOD552点睛：此题主要考查了圆的
18、切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.6阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。解决问题：如图，点 A 与点 B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点 P 是该直角坐标系内的一个动点（1）使 APB=30的点 P 有_个；（2）若点 P 在 y 轴正半轴上，且 APB=30，求满足条件的点 P 的坐标；（3）设 sin APB=m，若点 P 在 y 轴上移动时,满足条件的点 P
19、有 4 个，求 m 的取值范围【答案】（1）无数；（2）（0，2 3 7）或（0，2 3【解析】7）；（3）0m2.3试题分析：（1）已知点 A、点 B 是定点，要使 APB=30，只需点 P 在过点 A、点 B 的圆上，且弧 AB 所对的圆心角为 60即可，显然符合条件的点P 有无数个（2）结合（1）中的分析可知：当点P 在 y 轴的正半轴上时，点 P 是（1）中的圆与 y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P 的坐标（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角要 APB 最大，只需构造过点 A、点 B 且与
20、 y 轴相切的圆，切点就是使得 APB 最大的点 P，由此即可求出 m 的范围试题解析：解：（1）以 AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC，以点 C 为圆心，AC 为半径作C，交 y 轴于点 P1、P2在优弧 AP1B 上任取一点 P，如图 1，则 APB=有无数个故答案为：无数（2）点 P 在 y 轴的正半轴上，过点C 作 CGAB，垂足为 G，如图 1 点 A（1，0），点 B（5，0），OA=1，OB=5，AB=4 点 C 为圆心，CGAB，AG=BG=11 ACB=60=30，使 APB=30的点 P221AB=2，OG=OA+AG=32 ABC 是等边三角形，AC=BC=AB=
21、4，CG=4222=23，点 C 的坐标为（3，23）AC2 AG2过点 C 作 CDy 轴，垂足为 D，连接 CP2，如图 1 点 C 的坐标为（3，23），CD=3，OD=23 P1、P2是C 与 y 轴的交点，AP1B=AP2B=30 CP2=CA=4，CD=3，DP2=4232=7 点 C 为圆心，CDP1P2，P1D=P2D=7，P1（0，23+7），P2（0，237）（3）当过点 A、B 的E 与 y 轴相切于点 P 时，APB 最大理由：可证：APB=AEH，当 APB 最大时，AEH 最大由 sin AEH=2得：当 AEAE最小即 PE 最小时，AEH 最大所以当圆与 y 轴
22、相切时，APB 最大 APB 为锐角，sin APB 随 APB 增大而增大，连接 EA，作 EHx 轴，垂足为 H，如图 2 E 与 y 轴相切于点 P，PEOP EHAB，OPOH，EPO=POH=EHO=90，四边形 OPEH 是矩形，OP=EH，PE=OH=3，EA=3sin APB=sin AEH=22，m 的取值范围是0 m 33点睛：本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强同时也考查了创造性思维，有一定的难度构造辅助圆是解决本题关键7已知：如图，AB 是O 的直径，PB 切O 于点 B，PA交O 于点
23、 C，APB 是平分线分别交 BC，AB 于点 D、E，交O 于点 F，A=60，并且线段 AE、BD 的长是一元二次方程 x2kx+23=0 的两根（k 为常数）（1）求证：PABD=PBAE；（2）求证：O 的直径长为常数 k；（3）求 tan FPA的值【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tan FPA=23.【解析】试题分析：（1）由 PB 切O 于点 B，根据弦切角定理，可得 PBD=A，又由 PF 平分 APB，可证得PBD PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PABD=PBAE；（2）易证得 BE=BD，又由线段 AE、BD 的长是一元二次方程 x2kx+2数），即
24、可得 AE+BD=k，继而求得 AB=k，即：O 的直径长为常数 k；（3）由 A=60，并且线段 AE、BC 的长是一元二次方程 x2kx+2试题解析：（1）证明：如图，PB 切O 于点 B，PBD=A，PF 平分 APB，=0 的两根（k 为常数），可求得 AE 与 BD 的长，继而求得 tan FPB 的值，则可得 tan FPA的值=0 的两根（k 为常 APE=BPD，PBD PAE，PB：PA=BD：AE，PABD=PBAE；（2）证明：如图，BED=A+EPA，BDE=PBD+BPD又 PBD=A，EPA=BPD，BED=BDE BE=BD 线段 AE、BD 的长是一元二次方程
25、x2kx+2 AE+BD=k，AE+BD=AE+BE=AB=k，即O 直径为常数 k（3）PB 切O 于 B 点，AB 为直径 PBA=90 A=60 PB=PAsin60=PA，=0 的两根（k 为常数），又 PABD=PBAE，BD=AE，=0 的两根（k 为常数）线段 AE、BD 的长是一元二次方程 x2kx+2 AEBD=2即AE2=2，BE=BD=，）=2解得：AE=2，BD=AB=k=AE+BD=2+在 Rt PBA 中，PB=ABtan60=（2+在 Rt PBE 中，tan BPF=FPA=BPF，tan FPA=2=3+2，【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质
26、、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用8解决问题：1如图，半径为 4 的e O外有一点 P，且PO 7，点 A 在e O上，则 PA的最大值和最小值分别是_和_2如图，扇形 AOB 的半径为 4，AOB 45o，P 为弧 AB 上一点，分别在 OA 边找点 E，在 OB 边上找一点 F，使得VPEF周长的最小，请在图中确定点 E、F 的位置并直接写出VPEF周长的最小值；拓展应用3如图，正方形 ABCD 的边长为4 2；E 是 CD 上一点(不与 D、C 重合)，CF BE于 F，P 在 BE 上，且PF CF，M、N 分别是 AB、
27、AC 上动点，求VPMN周长的最小值【答案】（1）11，3；（2）图见解析，VPEF周长最小值为4 2；（3）4 10 4 2【解析】【分析】1根据圆外一点 P 到这个圆上所有点的距离中，最远是和最近的点是过圆心和该点的直线与圆的交点，容易求出最大值与最小值分别为11 和 3；2作点 P 关于直线 OA 的对称点P1，作点 P 关于直线 OB 的对称点P2，连接P1、P2，与OA、OB 分别交于点 E、F，点 E、F 即为所求，此时VPEF周长最小，然后根据等腰直角三角形求解即可；3类似2题作对称点，VPMN周长最小 PP12，然后由三角形相似和勾股定理求解【详解】解：1如图，Q圆外一点 P
28、到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线 OP 上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离PA的最大值 PA2 PO OA2 7 4 11，PA的最小值 PA1 PO OA1 74 3，故答案为 11 和 3；2如图，以 O 为圆心，OA 为半径，画弧 AB 和弧 BD，作点 P 关于直线 OA 的对称点P1，作点 P 关于直线 OB 的对称点P2，连接P1、P2，与 OA、OB 分别交于点 E、F，点 E、F 即为所求连接OP1、OP2、OP、PE、PF，由对称知识可知，AOP，PF P2F1AOP，BOP2BOP，PE PE1oAOP
29、1BOP2AOP BOP AOB 45，oooPOP12 45 45 90，VPOP12为等腰直角三角形，PP1 22OP1 4 2，此时VVPEF周长 PEPF EF PEPEF周长最小1P2F EF PP1 24 2故答案为4 2；3作点 P 关于直线 AB 的对称P1，连接AP1、BP1，作点 P 关于直线 AC 的对称P2，连接P1、P2，与 AB、AC 分别交于点 M、N如图由对称知识可知，PM PM，PN P2N，VPMN周长1 PM PN MN PM1 P2N MN PP12，此时，VPMN周长最小 PP12由对称性可知，BAP1BAP，EAP1 AP AP2，2EAP，APoB
30、AP1EAP2BAP EAP BAC 45oooP1AP2 45 45 90，VP1AP2为等腰直角三角形，当 AP 最短时，周长最小VPMN周长最小值PP1 22AP连接 DFQCF BE，且PF CF，PCo2，PCF 45CFQACD 45o，PCF ACD，PCAFCD，AC2，又CDACPC在VAPC与VDFC中，PCAFCDCDCFVAPCVDFC，APAC2，DFCDAP 2DFQBFC 90o，取 AB 中点 O点 F 在以 BC 为直径的圆上运动，当D、F、O 三点在同一直线上时，DF 最短DF DOFO OC2CD2OC(2 2)2(4 2)22 2 2 10 2 2，AP
31、最小值为AP 2DF此时，VPMN周长最小值PP2AP 22DF 22 2 10 2 2 4 10 4 212【点睛】本题考查圆以及正方形的性质，运用圆的对称性和正方形的对称性是解答本题的关键9已知 P 是e O的直径 BA 延长线上的一个动点，P 的另一边交e O于点 C、D，两点位于 AB 的上方，AB6，OP=m，sin P，如图所示另一个半径为6 的e O1经过点C、D，圆心距OO1n（1）当 m=6 时，求线段 CD 的长；（2）设圆心 O1在直线AB上方，试用 n 的代数式表示 m；（3）POO1在点 P 的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时 n 的
32、值；如果不能，请说明理由13993n2815或15;(3)n 的值为【答案】(1)CD=2 5;(2)m=552n【解析】分析：（1）过点O作OHCD，垂足为点H，连接OC解 RtPOH，得到OH的长由勾股定理得CH的长，再由垂径定理即可得到结论；（2）解 RtPOH，得到OH结论；（3）POO1成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：当圆心O1、O在弦CD异侧m在RtVOCH和 RtO1CH中，由勾股定理即可得到3时，分OPOO1和O1POO1当圆心O1、O在弦CD同侧时，同理可得结论详解：（1）过点O作OHCD，垂足为点H，连接OCQ sinP，PO 6，OH 2在 RtPOH中，AB6，OC
33、3由勾股定理得：CH 5OHDC，CD 2CH 2 513Q sinP，POm，OH（2）在 RtPOH中，13m3 m在 RtOCH中，CH293m在 RtO1CH中，CH236n33n281mm可得：36n9，解得：m2n33（3）POO1成为等腰三角形可分以下几种情况：当圆心O1、O在弦CD异侧时23n 81i）OPOO1，即mn，由n，解得：n92n2222即圆心距等于e O、e O1的半径的和，就有e O、e O1外切不合题意舍去ii）O1POO1，由（nm2m2）m2（）n，332293n28115解得：mn，即n，解得：n3352n813n2当圆心O1、O在弦CD同侧时，同理可得
34、：m2n29813n5POO1是钝角，只能是m n，即n，解得：n52n综上所述：n 的值为995或1555点睛：本题是圆的综合题考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形解答（3）的关键是要分类讨论10如图，O 是 ABC 的外接圆，AB 是直径，过点 O 作 ODCB，垂足为点 D，延长 DO交O 于点 E，过点 E 作 PEAB，垂足为点 P，作射线 DP 交 CA 的延长线于 F 点，连接EF，（1）求证：ODOP；（2）求证：FE 是O 的切线【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】试题分析：（2）证明 POE ADO 可得 DO=EO；（3）连接 AE，BE，证出
35、 APE AFE 即可得出结论试题解析：（1）EPO=BDO=90 EOP=BODOE=OB OPE ODB OD=OP（2）连接 EA，EB 1=EBC AB 是直径 AEB=C=90 2+3=90 3=DEB BDE=90 EBC+DEB=90 2=EBC=1 C=90 BDE=90 CF OE ODP=AFP OD=OP ODP=OPD OPD=APF AFP=APF AF=AP 又 AE=AE APE AFE AFE=APE=90 FED=90 FE 是O 的切线考点：切线的判定11如图，在过点 作的切线中，交，以为直径作，交于点 边于点，交边于点，的延长线于点，交（1）求证：（2）若
36、（2）4【解析】，；，求的半径【答案】（1）证明见解析；试题分析：（1）连接 AD，根据等腰三角形三线合一即可证明（2）设O 的半径为 R，则 FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接 OD，由FOD FAE，得列出方程即可解决问题试题解析：（1）连接 AD，AB 是直径，ADB=90，AB=AC，ADBC，BD=DC（2）设O 的半径为 R，则 FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接 OD、AB=AC，ABC=C，OB=OD，ABC=ODB，ODB=C，OD AC，FOD FAE，整理得 R2R12=0，R=4 或（3 舍弃）O 的半径为 4考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识
37、12已知四边形 ABCD 是O 的内接四边形，DAB120，BCCD，AD4，AC7，求AB 的长度【答案】AB3【解析】【分析】作 DEAC，BFAC，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BCCD，进而得到 DAC CAB60，在 Rt ADE 中，根据 60锐角三角函数值，可求得DE23，AE2，再由 Rt DEC 中，根据勾股定理求出DC 的长，在 BFC 和 ABF 中，利用 60角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长，然后根据求出的两个结果，由AB2AF，分类讨论求出 AB 的长即可.【详解】作 DEAC，BFAC，uuu ruuu r BCCD，BC CD，CAB DAC，D
38、AB120，DAC CAB60，DEAC，DEA DEC90，sin60uuu ruuu rDEAE，cos60，44 DE23，AE2，AC7，CE5，DC2 325237，BC37，BFAC，BFA BFC90，tan60BF，BF2+CF2BC2，AF BF3AF，327 AF237，2 AF2 或 AF cos603，2AF，AB AB2AF，当 AF2 时，AB2AF4，ABAD，DCBC，ACAC，ADC ABC（SSS），ADC ABC，ABCD 是圆内接四边形，ADC+ABC180，ADC ABC90，但 AC249，AD2 DC2 42AC2AD2+DC2，AB4（不合题意，
39、舍去），372 53，3时，AB2AF3，2 AB3【点睛】当 AF此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利用直角三角形的性质解题.13如图，AB 是半圆O 的直径，点 C 是半圆O 上的点，连接 AC，BC，点 E 是 AC 的中点，点 F 是射线 OE 上一点（1）如图 1，连接 FA，FC，若 AFC2 BAC，求证：FAAB；（2）如图 2，过点 C 作 CDAB 于点 D，点 G 是线段 CD 上一点（不与点 C 重合），连接FA，FG，FG 与 AC 相交于点 P，且 AFFG试猜想 AFG 和 B 的数量关系，并证明；连接 OG，若 OEBD
40、，GOE90，O 的半径为 2，求 EP 的长【答案】（1）见解析；（2）结论：GFA2 ABC理由见解析；PE【解析】【分析】36（1）证明 OFA BAC，由 EAO+EOA90，推出 OFA+AOE90，推出 FAO90即可解决问题（2）结论：GFA2 ABC连接 FC由 FCFGFA，以 F 为圆心 FC 为半径作F因为AGAG，推出 GFA2 ACG，再证明 ACG ABC图 21 中，连接 AG，作 FHAG 于 H想办法证明 GFA120，求出 EF，OF，OG 即可解决问题【详解】（1）证明：连接 OC OAOC，ECEA，OFAC，FCFA，OFA OFC，CFA2 BAC，
41、OFA BAC，OEA90，EAO+EOA90，OFA+AOE90，FAO90，AFAB（2）解：结论：GFA2 ABC理由：连接 FC OF 垂直平分线段 AC，FGFA，FGFA，FCFGFA，以 F 为圆心 FC 为半径作FAGAG，GFA2 ACG，AB 是O 的直径，ACB90，CDAB，ABC+BCA90，BCD+ACD90，ABC ACG，GFA2 ABC如图 21 中，连接 AG，作 FHAG 于 H BDOE，CDB AEO90，B AOE，CDB AEO（AAS），CDAE，ECEA，AC2CD BAC30，ABC60，GFA120，OAOB2，OE1，AE OG AC，B
42、A4，BDOD1，GOE AEO90，DG 32 3,OG 33AG DG2 AD2 FGFA，FHAG，AHHG AF2 21，321，AFH60，3AH2 7，sin603在 RtAEF 中，EF OFOE+EF PE OG，1AF2 AE2，34，3PEEF，OG0F1PE3，2 3433 PE36【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.14如图，AB是e O的直径，DF切e O于点 D，BF DF于F，过点A作AC/BF交BD的延长线于点C.（1）求证：AB
43、CC；的度数等于60o，试简要说明（2）设CA的延长线交e O于E，BF交e O于G，若DG点D和点E关于直线AB对称的理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）作辅助线，连接 OD，由 DF 为O 的切线，可得 ODDF，又 BFDF，AC BF，所以 OD AC，ODB=C，由 OB=OD 得 ABD=ODB，从而可证 ABC=C；=GD=60，可求证BG（2）连接 OG，OD，AD，由 BF OD，GDAD=60，由平行线的性质及三角形的内角和定理可求出 OHD=90，由垂径定理便可得出结论【详解】（1）连接 OD，DF 为O 的切线，ODDF BFDF，AC BF
44、，OD AC BF ODB=C OB=OD，ABD=ODB ABC=C（2）连接 OG，OD，AD，DE，DE 交 AB 于 H，BF OD，OBG=AOD，OGB=DOG，GDAD=BG=60，GD=GDBGAD=60，ABC=C=E=30，OD/CE ODE=E=30在ODH 中，ODE=30，AOD=60，OHD=90，ABDE 点 D 和点 E 关于直线 AB 对称【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及垂径定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答15如图，AB 是O 的直径，AD 是O 的弦，点 F 是 DA 延长线上的一点，过O 上一点C 作O 的切线交 DF 于点
45、E，CEDF(1)求证：AC 平分 FAB；(2)若 AE1，CE2，求O 的半径【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】52试题分析：（1）连接 OC，根据切线的性质和圆周角定理，得出 OCA=OAC 与 CAE=OCA，然后根据角平分线的定义可证明；（2）由圆周角定理得到 BCA=90，由垂直的定义，可求出 CEA=90，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明ACB AEC，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB 的长，从而得到圆的半径.试题解析：(1)证明：连接 OC.CE 是O 的切线，OCE=90 CEDF，CEA=90，ACE+CAE=ACE+OCA=90，CAE=OCA OCOA，OCA=OAC.CAE=OAC，即 AC 平分 FAB (2)连接 BC.AB 是O 的直径，ACB=AEC=90.又 CAE=OAC，ACB AEC,AE1，CE2，AEC=90，AC AB AC2ABAC.ACAEAE2CE2 1222552512AE 5，O 的半径为