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1、建筑力学静定结构的位移计算第一页，讲稿共七十四页哦13.1 概述概述n结构在荷载作用、温度变化、支座移动、制造误差与材料收缩等因素影响下，将发生尺寸和形状的改变，这种改变称为变形。n结构变形后，其上各点的位置会有变动，这种位置的变动称为位移。n结构的位移通常有两种：即截面移动和截面转动。13.1.1 结构的位移结构的位移第二页，讲稿共七十四页哦n截面移动称线位移，即各截面形心的移动；截面转动称角位移，用杆轴上该点切线方向的变化来表示。n图13.1所示刚架，在荷载作用下产生虚线所示变形。n图13.2所示结构在荷载P作用下发生如虚线所示变形 第三页，讲稿共七十四页哦图13.1 第四页，讲稿共七十四
2、页哦图13.2 第五页，讲稿共七十四页哦n(1)为了验算结构的刚度，即保证结构的位移不超过允许的位移限值。n(2)为计算超静定结构打下基础。在计算超静定结构时，单用静力平衡条件不能得到惟一确定解，还必须考虑位移条件。n另外，在结构的制作、架设、养护等过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。13.1.2 计算结构位移的目的计算结构位移的目的第六页，讲稿共七十四页哦13.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理n功与力和位移两个因素有关，它等于物体上作用力和沿力方向的相应位移的乘积。n例如图13.3(a)中，力P的相应位移=AAcos，力P所做的功T=P
3、AAcos。n又如图13.3(b)所示一转盘受力偶M=PD作用，设转盘在力偶作用平面内沿力偶转动方向有微小转角d，则此力偶所做的功应为 ndT=PAA+PBB=P(AA+BB)13.2.1 功、实功和虚功功、实功和虚功第七页，讲稿共七十四页哦图13.3 第八页，讲稿共七十四页哦n其中：AA=OAdnBB=OBdnAA+BB=(OA+OB)d=Ddn所以dT=PDd=Mdnn (a)n 式(a)说明，力偶所做的功等于力偶矩M与角位移的乘积。n可以用一个公式来统一表达力或力偶做功：nT=P(13.1)第九页，讲稿共七十四页哦n力在自身所引起的位移上做功，称为实功。如图13.4(a)所示简支梁，设其
4、在P1作用下达到平衡时，P1作用点沿P1方向上产生的位移为11。荷载P1在位移11上所做的功用T11表示，则nT11=1/2P111(b)n力在沿其它因素引起的位移上所做的功，称为虚功。其它因素如另外的荷载作用、温度变化或支座移动等。如图18.4(b)，位移12由零增加至最终值的过程中，P1保持不变是常力，因此P1沿12做功为nT12=P112 (c)第十页，讲稿共七十四页哦图13.4 第十一页，讲稿共七十四页哦n在荷载作用等因素影响下会产生变形的结构称为变形体。n变形体的虚功原理可概括表述为n外力虚功W=内力虚功W(13.2)n做功的外力和内力称为力状态或第一状态，它们必须满足平衡条件；位移
5、和变形称为位移状态或第二状态，它们必须满足变形和支座约束条件。n式(13.2)又称为虚功方程。13.2.2 变形体的虚功原理变形体的虚功原理第十二页，讲稿共七十四页哦n在虚功方程中，若取第一状态为实际状态，第二状态为虚拟状态，也就是虚功中力状态是实际的，位移状态是虚拟的，这时，虚功原理也称为虚位移原理；n反之，若取第一状态为虚拟状态，第二状态为实际状态，也就是虚功中的力状态是虚拟的，位移状态是实际的，这时，虚功原理也称为虚力原理。第十三页，讲稿共七十四页哦13.3 荷载作用下位移计算的一般公式荷载作用下位移计算的一般公式n图13.5(a)所示结构在荷载q作用下发生了如图中虚线所示变形。下面来求
6、结构上任一截面沿任一指定方向上的位移，如K截面的水平位移K。n在K点上作用一个水平的单位荷载PK=1，它应与K相对应，如图13.5(b)所示。n虚拟状态中的外力所做虚功nW=PKK=K (a)n首先在图13.5(a)上取ds微段，其上由于实际荷载所产生的内力MP、QP、NP作用下所引起的相应变形为d、d、d分别如图13.5(c)、(d)、(e)所示，其计算式分别为第十四页，讲稿共七十四页哦图13.5 第十五页，讲稿共七十四页哦n相对转角d=1/ds=Kdsn相对剪切变形 d=ds (b)n相对轴向变形 d=ds n由材料力学公式，有(c)第十六页，讲稿共七十四页哦n微段上虚内力在实际变形上所做
7、内力虚功为 n整根杆件的内力虚功可由积分求得为n整个结构的内力虚功等于各杆内力虚功的代数和，即(d)(e)(f)第十七页，讲稿共七十四页哦n由虚功方程式(13.2)，得n将式(c)各项代入式(13.3)，有13.313.4第十八页，讲稿共七十四页哦13.4 静定结构在荷载作用下的位移计算静定结构在荷载作用下的位移计算n利用式(13.4)计算静定结构在荷载作用下的位移时，应根据结构的具体情况，只保留其中的一项或两项。例如梁和刚架以弯曲变形为主，而剪切变形和轴向变形的影响很小，故可略去，式(13.4)简化为n而在桁架中，只存在轴力，且同一杆件的轴力N、NP及EA沿杆长l均为常数，故式(18.4)简
8、化成 13.513.6第十九页，讲稿共七十四页哦n例如图13.6(a)所示悬臂刚架，横梁上作用有竖向荷载q，当求此荷载作用下的不同位移时，其虚设单位荷载有以下几种不同情况：n(1)欲求A点的水平线位移时，应在A点沿水平方向加一单位集中力如图13.6(b)所示；n(2)欲求A点的角位移，应在A点加一单位力偶如图18.6(c)所示；n(3)欲求A、B两点的相对线位移，应在A、B两点沿AB连线方向加一对反向的单位集中力如图 13.6(d)所示；第二十页，讲稿共七十四页哦图 13.6 第二十一页，讲稿共七十四页哦n(4)欲求A、B两截面的相对角位移，应在A、B两截面处加一对反向的单位力偶如图13.6(
9、e)所示。n利用单位荷载法计算结构位移的步骤是：n(1)根据欲求位移选定相应的虚拟状态；n(2)列出结构各杆段在虚拟状态下和实际荷载作用下的内力方程；n(3)将各内力方程分别代入位移计算公式，分段积分求总和即可计算出所求位移。第二十二页，讲稿共七十四页哦n【例18.1】求图13.7(a)所示悬臂梁B端的竖向位移BV。EI为常数。n【解】(1)取图13.7(b)所示虚力状态。n(2)实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以下侧受拉为正，B为原点)nMP=1/2qx2 (0 xl)nM=x (0 xl)n(3)将MP及M代入位移公式，得nn计算结果为正，说明BV的方向与虚设单位力方向一致。第二十三
10、页，讲稿共七十四页哦图13.7 第二十四页，讲稿共七十四页哦n【例18.2】试求图13.8(a)所示简支梁在均布荷载q作用下：(1)B支座处的转角；(2)梁跨中C点的竖向线位移。EI为常数。n【解】(1)求B截面的角位移。n在B截面处加一单位力偶m=1，建立虚力状态如图13.8(b)。实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以A为原点)nMP=ql2x-q/2x2nM=-1/lx第二十五页，讲稿共七十四页哦图13.8 第二十六页，讲稿共七十四页哦n将MP、M代入位移公式得nB的结果为负值，表示其方向与所加的单位力偶方向相反，即B截面逆时针转动。n(2)求跨中C点的竖向线位移n在C点加一单位力P=
11、1，建立虚力状态如图18.8(c)所示。实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以A为原点)，当0 xl/2时，有 第二十七页，讲稿共七十四页哦nn因为对称关系，因此得nCV的计算结果为正值，表示C点竖向线位移方向与单位力方向相同，即C点位移向下。第二十八页，讲稿共七十四页哦n【例13.3】求图13.9(a)所示悬臂刚架C截面的角位移C。刚架EI为常数。n【解】(1)取图13.9(b)所示虚力状态。n(2)实际荷载与单位荷载所引起的弯矩分别为(以内侧受拉为正)n横梁BC(以C为原点)nMP=-Px1 (0 x1l)nM=-1 (0 x1l)n竖柱BA(以B为原点)nMP=-Pl (0 x2l)n
12、M=-1 (0 x2l)第二十九页，讲稿共七十四页哦图13.9 第三十页，讲稿共七十四页哦n(3)将MP、M代入位移公式 第三十一页，讲稿共七十四页哦n【例18.4】计算图13.10(a)所示屋架D点的竖向位移DV。图中右半部分括号内数值为杆件的截面面积A(cm2)，设E=2.1102kN/m2。n【解】(1)取图13.10(b)所示虚力状态。n(2)实际荷载和单位荷载所引起的各杆内力分别如图13.10(a)左半部和13.10(b)左半部所示。n(3)根据=NPNl/EA，可把计算数据列成表18.1。n由此求得D点竖向位移nDV=(2940.3-200)/(2.1102)=8.0mm()n结果
13、为正，表示D点位移向下。第三十二页，讲稿共七十四页哦图13.10 第三十三页，讲稿共七十四页哦表表13.1 计算半个屋架数值计算半个屋架数值 第三十四页，讲稿共七十四页哦13.5 图乘法图乘法n在计算梁和刚架的位移时，经常要为一杆件作如下积分：nn当荷载较复杂或杆件数目较多时，计算工作相当繁琐。但当组成结构各杆段符合下述条件：(1)杆轴为直线；(2)EI为常数；(3)M与MP两个弯矩图中至少有一个是直线图形时，则可用下述图乘法来代替积分运算，使计算得到简化。第三十五页，讲稿共七十四页哦n如图13.11所示，设结构上AB杆段为等截面直杆，EI为常数，M图为一段直线，而MP图为任意形状。现以M图的
14、基线为x轴，以M图的延长线与x轴的交点O为原点，建立xOy坐标系，则积分式(a)可写成n由此可知，计算位移的积分就等于一个弯矩图的面积w乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yC，再除以EI，于是积分运算转化为数值乘除运算，此法即称图乘法。第三十六页，讲稿共七十四页哦图13.11第三十七页，讲稿共七十四页哦n下面指出应用图乘法计算位移的几个具体问题n当结构某一根杆件的M图为折线形时，或者各杆段的截面不相等时，均应分段图乘，然后进行叠加。n竖标yC只能由直线弯矩图中取值。如果MP与M图都是直线，则yC可取自其中任一个图形。n当图形比较复杂，其面积或形心位置不易直接确定时，可采用叠加法。例如，
15、图13.12(a)所示两个梯形应用图乘法，可不必求梯形的形心位置，而将其中一个梯形(设为MP图)分成两个三角形，分别图乘后再叠加。第三十八页，讲稿共七十四页哦图13.12 第三十九页，讲稿共七十四页哦n对于图13.13所示由于均布荷载q所引起的MP图，可以把它看作是两端弯矩竖标所连成的梯形ABDC与相应简支梁在均布荷载作用下的弯矩图叠加而成。n图13.14给出了位移计算时常见的几种曲线的面积和形心的位置。第四十页，讲稿共七十四页哦图13.13 第四十一页，讲稿共七十四页哦图13.14 第四十二页，讲稿共七十四页哦n图乘法计算位移的解题步骤是：n(1)画出结构在实际荷载作用下的弯矩图MP；n(2
16、)据所求位移选定相应的虚拟状态，画出单位弯矩图M；n(3)分段计算一个弯矩图形的面积w及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖标yC；n(4)将w、yC代入图乘法公式计算所求位移。第四十三页，讲稿共七十四页哦n【例18.5】求图13.15(a)所示简支梁A端角位移A及跨中C点的竖向位移CV。EI为常数。n【解】(1)求An 实际荷载作用下的弯矩图MP如图13.15(b)所示。n 在A端加单位力偶m=1，其单位弯矩图M如图13.15(c)所示。n MP图面积及其形心对应M图竖标分别为nw=2/3/1/8ql2l=ql3/12 yC=1/2n 计算AnA=1/EIwyC=1/EI ql3/121/2=q
17、l3/24EI第四十四页，讲稿共七十四页哦图13.15 第四十五页，讲稿共七十四页哦n(2)求CVn MP图仍如图13.15(b)所示。n 在C点加单位力P=1，单位弯矩图M如图13.15(d)所示。n 计算w、yC。由于M图是折线形，故应分段图乘再叠加。因两个弯矩图均对称，n故计算一半取两倍即可。nw=2/31/8ql2l/2=ql3/24nyC=5/8l/4=5l/32n 计算CVnCV=2(1/EIwyC)=5/384ql4()第四十六页，讲稿共七十四页哦n【例18.6】试求图13.16(a)所示的梁在已知荷载作用下，A截面的角位移A及C点的竖向线位移CV。EI为常数。n【解】(1)分别
18、建立在m=1及P=1作用下的虚设状态，如图13.16(c)、(d)所示。n(2)分别作荷载作用和单位力作用下的弯矩图，如图13.16(b)、(c)、(d)。n(3)图形相乘。将图(b)与图(c)相乘，则得nA=-1/EI(Pa2/6+qa3/12)n结果为负值，表示A的方向与m=1的方向相反。第四十七页，讲稿共七十四页哦图13.16 第四十八页，讲稿共七十四页哦n计算CV时，将图(b)与图(d)相乘，这里必须注意的是MP图BC段的弯矩图是非标准的抛物线，所以图乘时不能直接代入公式，应将此部分面积分解为两部分，然后叠加，则得nCV=1/EI(2/3Pa3+7/24qa4)()第四十九页，讲稿共七
19、十四页哦n【例13.7】计算图13.17(a)所示悬臂刚架D点的竖向位移DV。各杆EI如图示。n【解】(1)实际荷载作用下的弯矩图MP如图13.17(b)所示。n(2)在D端加单位力P=1，单位弯矩图M如图13.17(c)所示。n(3)计算w、yCn图乘时应分AB、BC、CD三段进行，由于CD段M=0，可不必计入。故只计算AB、BC两段。nAB段：w1=2/3l2(取自M图)ny1=Pl/4第五十页，讲稿共七十四页哦图13.17 第五十一页，讲稿共七十四页哦nBC段：w2=2l2/9ny2=Pl/4n(4)计算DVnDV=1/EI(w1yC1)+1/2EI(w2yC2)n=-5Pl3/(36E
20、I)()第五十二页，讲稿共七十四页哦n【例13.8】计算图13.18(a)所示外伸梁C点的竖向位移CV。EI为常数。n【解】(1)实际荷载作用下的弯矩图MP如图13.18(b)所示。n(2)在C处加竖向单位力P=1，其弯矩图M如图13.18(f)所示。n(3)计算w、yCnBC段：w1=ql3/48ny1=3/8l第五十三页，讲稿共七十四页哦图13.18 第五十四页，讲稿共七十四页哦nAB段：w2=ql3/16ny2=1/3nw3=ql3/24ny3=1/4ln(4)计算CVnCV=1/EI(w1y1+w2y2+w3y3)n=ql4/(128EI)()第五十五页，讲稿共七十四页哦13.6 静定
21、结构在支座移动时位移计算静定结构在支座移动时位移计算n静定结构由于支座移动或制造误差，不引起任何内力，且其内部亦不产生变形，但整个结构会产生位移(纯属刚体位移)。如图13.19(a)所示刚架，支座移动为C1、C2、C3，致使整个结构移动到了虚线位置如图示。n下面利用虚功原理求结构上任一点K沿i-i方向的位移Ki。n以图13.19(a)为实际状态(位移状态)。为了建立虚功方程还需选取虚拟状态(力状态)，为此在K点沿i-i方向加一个单位集中力PK=1，如图13.19(b)所示。第五十六页，讲稿共七十四页哦图13.19第五十七页，讲稿共七十四页哦n容易计算出由于PK=1而引起的与实际位移C1、C2、
22、C3相应的支座反力R1、R2、R3。外力虚功为nW=PKKi+RC (a)n而内力虚功应等于零，即nW=0 (b)n由虚功原理W=W，即nPKKi+RC=0n而PK=1，代入上式整理得nKi=-RC (13.8)第五十八页，讲稿共七十四页哦n【例13.9】已知简支梁AB跨度为l，右支座B竖直下沉，如图13.20(a)所示。试求梁中点C的竖向位移CV。n【解】(1)在梁中点C处加单位力P=1，如图13.20(b)所示n（2）计算单位荷载作用下的支座反力n由于A支座无位移，故只需计算B支座反力RB即可。n由于对称，B支座反力nRB=1/2 ()n(3)计算CVnCV=-RC=-(-1/2)=/2
23、()n计算结果为正，说明CV与虚设单位力的方向一致。第五十九页，讲稿共七十四页哦图13.20 第六十页，讲稿共七十四页哦n【例13.10】三铰刚架的跨度l=12m，高为h=8m。已知右支座B发生了竖直沉陷C1=6m，同时水平移动了C2=4cm(向右)，如图13.21(a)所示。试求由此引起的左支座A处的杆端转角A。n【解】(1)在A处虚设单位力偶m=1，如图13.21(b)所示。n(2)计算单位荷载作用下的支座反力n由于A支座无位移，故只需计算B支座反力即可。n取整体为隔离体，由MA=0得nRBVl-1=0nRBV=1/l ()第六十一页，讲稿共七十四页哦图13.21第六十二页，讲稿共七十四页
24、哦n取右半刚架BC为隔离体，由MC=0得nRBHh-RBVl/2=0nRBH=12hn(3)计算AnA=-RC=-RBVC1+RBHC2)n=0.0075radn计算结果为正，说明A与虚设单位力偶m=1的转向一致。第六十三页，讲稿共七十四页哦13.7 功的互等定理功的互等定理n如图13.22所示简支梁，分别作用两组外力P1与P2，并分别称为第一状态(图13.22(a)和第二状态(图13.22(b)。计算第一状态的外力及其所引起的内力在第二状态的相应位移和变形上所做的虚功T12和W12时，据虚功原理有T12=W12，即13.7.1 功的互等定理功的互等定理第六十四页，讲稿共七十四页哦图13.22
25、 第六十五页，讲稿共七十四页哦n反之，计算第二状态的外力及其所引起的内力在第一状态的相应位移和变形上所做的虚功T21和W21时，据虚功原理有T21=W21，即n上式表明：第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。这就是功的互等定理。第六十六页，讲稿共七十四页哦n在功的互等定理中，假如两个状态中的荷载是单位力时(即P1=1,P2=1)，为了明显起见，由单位力所引起的位移，用小写字母12、21表示，如图13.23所示。代入功的互等定理式(13.9)，则有n112=121n即 12=21 (13.11)n这就是位移互等定理。它表明：第二个单位力(P2
26、=1)在第一个单位力作用点沿其方向所引起的位移(12)，等于第一个单位力(P1=1)在第二个单位力作用点沿其方向所引起的位移(21)。13.7.2 位移互等定理位移互等定理第六十七页，讲稿共七十四页哦图13.23 第六十八页，讲稿共七十四页哦n应当注意：这里的单位力是广义单位力，位移是相应的广义位移。例如图18.24所示的两个n状态中，根据位移互等定理，应有A=C。n其中：nA=Pl2/16EInC=Ml2/16EI第六十九页，讲稿共七十四页哦图13.24 第七十页，讲稿共七十四页哦n此定理也是功的互等定理的一个特殊情况：并且只适用于超静定结构。图13.25(a)、(b)是同一结构，处在两个不同的状态。n由功的互等定理可得nR212=R121n因为1=2=1，故nR21=R12 (13.12)n上式称为反力互等定理，即：支座1发生单位位移，在支座2处引起的反力，等于支座2发生单位位移，在支座1处引起的反力。13.7.3 反力互等定理反力互等定理第七十一页，讲稿共七十四页哦图13.25 第七十二页，讲稿共七十四页哦n图13.26(a)、(b)中所示，表示反力互等第一个例子。应用上述定理可知反力R12与反力偶R21相等，虽然它们一个代表力，一个代表力偶，两者含义不同，但在数值上是相等的。第七十三页，讲稿共七十四页哦图13.26 第七十四页，讲稿共七十四页哦