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1、关于离散型随机变量的期望第1页，讲稿共19张，创作于星期二教学要求教学要求:1.1.使学生了解离散型随机变量的期望的意义使学生了解离散型随机变量的期望的意义,会会根据离散型随机变量的分布列求出期望根据离散型随机变量的分布列求出期望.理解公式理解公式“E E（a+ba+b）=aE+b”=aE+b”，以及，以及“若若B B（n,pn,p），则），则E=np”.E=np”.能熟练地应用它们求能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望相应的离散型随机变量的期望.教学重点教学重点：离散型随机变量的期望的概念：离散型随机变量的期望的概念教学难点教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期：根据离散型随机变
2、量的分布列求出期望望第2页，讲稿共19张，创作于星期二1.1.随机变量随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母字母、等表示等表示;2.2.离散型随机变量离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量机变量 3 3连续型随机变量连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连可
3、以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量续型随机变量 4.4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出连续性随机变量的结果不可以一一列出一、复习引入：一、复习引入：第3页，讲稿共19张，创作于星期二 若若是随机变量，是随机变量，=,是常数，是常数，则则也是随机变量并且不改变其属性（离散
4、型、连续型）也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5.5.分布列分布列:设离散型随机变量设离散型随机变量可能取得值为可能取得值为x x1 1，x x2 2，x x3 3，取每一个值取每一个值x xi i（i i=1=1，2 2，）的概率为）的概率为P(P(=x=xi i)=p)=pi i，则称表，则称表:x1x2xiPP1P2Pi为随机变量为随机变量的概率分布，简称的概率分布，简称的分布列的分布列 6.6.分布列的两个性质：分布列的两个性质：P Pi i00，(i i1 1，2 2，)；P P1 1+P P2 2+=1+=1第4页，讲稿共19张，创作于星期二 7.7.离散型随机变量的二
5、项分布离散型随机变量的二项分布:在一次随机在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n n次独次独立重复试验中这个事件发生的次数立重复试验中这个事件发生的次数是一个随机变是一个随机变量如果在一次试验中某事件发生的概率是量如果在一次试验中某事件发生的概率是P P，那，那么在么在n n次独立重复试验中这个事件恰好发生次独立重复试验中这个事件恰好发生k k次的次的概率是概率是:于是得到随机变量于是得到随机变量的概率分布如下：的概率分布如下：01knP 称这样的随机变量称这样的随机变量服从二项分布，记作服从二项分布，记作B B(n n，p p)，其中，其中n
6、 n，p p为参数，并记为参数，并记b b(k k；n n，p p)第5页，讲稿共19张，创作于星期二8.8.离散型随机变量的几何分布：离散型随机变量的几何分布：在独立重复试在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数也也是一个正整数的离散型随机变量是一个正整数的离散型随机变量“=k”=k”表表示在第示在第k k次独立重复试验时事件第一次发生次独立重复试验时事件第一次发生.如果如果把把k k次试验时事件次试验时事件A A发生记为发生记为 A Ak k,事件事件A A不发生记不发生记为为 ,P(A,P(Ak k)=p,P()=q,(q=1-p)=p
7、,P()=q,(q=1-p)那么那么:（k k0,1,2,0,1,2,，)于是得到随机变量于是得到随机变量的的概率分布如下概率分布如下 123kP p pqpq2 qk-1p称这样的随机变量称这样的随机变量服从几何分布服从几何分布记作记作g g(k k，p p)=q)=qk-1k-1p,p,其中其中k=0,1,2,3,q=1-pk=0,1,2,3,q=1-p第6页，讲稿共19张，创作于星期二 对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌对于离散型随机变量，确定了它的分布列，就掌握了随机变量取值的统计规律握了随机变量取值的统计规律,同时可以方便的得出同时可以方便的得出随机变量的某些指定的概率，但分
8、布列的用途远不止随机变量的某些指定的概率，但分布列的用途远不止于此。于此。在实际问题中，我们还常常希望通过数字来反映在实际问题中，我们还常常希望通过数字来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方随机变量的某个方面的特征，最常用的有期望与方差差二、新知引入：二、新知引入：第7页，讲稿共19张，创作于星期二 引例引例：例如：例如:已知某射手射击所得环数已知某射手射击所得环数的分布列如下：的分布列如下：45678910P0.020.040.060.090.280.290.22 根据这个射手射击所得环数根据这个射手射击所得环数的分布列，我们很的分布列，我们很容易得到下面的信息容易得到下面的信息
9、:故在故在n n次射击的总环数大约为次射击的总环数大约为在在n n次射击中，预计有大约次射击中，预计有大约0.02n0.02n次的次的4 4环环 在在n n次射击中，预计有大约次射击中，预计有大约0.04n0.04n次的次的5 5环环 ,同理同理可得其它可得其它第8页，讲稿共19张，创作于星期二从而，预计从而，预计n n次射击的平均环数约为次射击的平均环数约为这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平它反映了射手射击的平均水平故在故
10、在n n次射击的总环数大约为次射击的总环数大约为新知探究新知探究 在在n n次射击之前，可以根据这个分布列估计次射击之前，可以根据这个分布列估计n n次射次射击的平均环数这就是击的平均环数这就是我们今天要学习的离散型随机我们今天要学习的离散型随机变量的期望变量的期望 .第9页，讲稿共19张，创作于星期二期望的定义期望的定义 类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数类似地，对任一射手，若已知其射击所得环数的分布列，的分布列，即已知各个即已知各个P P（=i)(i=0,1,2,10=i)(i=0,1,2,10），则可预计他任意），则可预计他任意n n次射次射击的平均环数是击的平均环数是 E=E=0
11、 0P P（=0=0）+1+1P P（=1=1）+1010P P（=10=10）称称EE为此射手射击所得环数为此射手射击所得环数的的期望期望，它刻划了随机，它刻划了随机变量变量所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击水平。所取的平均值，从一个方面反映了射手的射击水平。若离散型随机变量若离散型随机变量的概率分布为的概率分布为 x1 x2 xi P p1 p2 pi 则称则称E=xE=x1 1p p1 1+x+x2 2p p2 2+x+xn np pn n+为为的的数学期望或平均数、均值，又称期望。数学期望或平均数、均值，又称期望。第10页，讲稿共19张，创作于星期二 例题例题11篮球运动员在比赛
12、中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1 1分，罚不中得分，罚不中得0 0分。已知某运动员罚球命中的概率分。已知某运动员罚球命中的概率为为0.70.7，求他罚球，求他罚球1 1次的得分次的得分的期望。的期望。例题例题2 2 随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。的期望。知识应用知识应用 点拔点拔:据随机变量据随机变量的数学期望的概念及计的数学期望的概念及计算公式算公式,知其值为随机变量的所有取值与其相应概知其值为随机变量的所有取值与其相应概率积的和率积的和,故需先求其分布列故需先求其分布列.=0.7;(2)E=3.5第11页，讲稿共19张，创作于
13、星期二例例3 3 有一批数量很大的产品，其次品率是有一批数量很大的产品，其次品率是15%15%。对这批产品进行抽查，每次抽出对这批产品进行抽查，每次抽出1 1件，如果抽出次件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过但抽查次数最多不超过1010次。求抽查次数次。求抽查次数的期望。的期望。（结果保留三个有效数字）（结果保留三个有效数字）解：解：抽查次数抽查次数取取1 1 1010的整数，从这批数量很大的产品中的整数，从这批数量很大的产品中每次抽取一件检验的试验可以认为是彼此独立的，取出次每次抽取一件检验的试验可以认为是
14、彼此独立的，取出次品的概率是品的概率是0.150.15，取出正品的概率是，取出正品的概率是0.850.85，前，前k-1k-1次取出正次取出正品而第品而第k k次（次（k=1k=1，2 2，99）取出次品的概率）取出次品的概率P(=k）=g(k,0.15)=0.85k-10.15，（，（k=1，2，9）；）；需要抽查需要抽查1010次即前次即前9 9次取出的都是正品的概率次取出的都是正品的概率P P（=10=10）=0.85=0.859 9第12页，讲稿共19张，创作于星期二 知识探索知识探索：若：若为上述离散型随机变量，则为上述离散型随机变量，则=a+b=a+b的分布列怎样？的分布列怎样？E
15、E呢？呢？因为因为P P（=a x=a xi i+b+b）=P=P（=x=xi i），），i=1i=1，2 2，33所以，所以，的分布列为的分布列为a x1+ba x2+baxn+b Pp1p2pn 于是于是E=E=（a xa x1 1+b)p+b)p1 1+（a xa x2 2+b)p+b)p2 2+（a a x xn n+b)p+b)pn n+=a+=a（x x1 1 p p1 1+x+x2 2p p2 2+x+xn np pn n+）+b+b（p p1 1+p+p2 2+p+pn n+）=a E+b=a E+b 性质性质1 E1 E（a+ba+b）=aE+b=aE+b数学期望是离散型随机
16、变量的一个数学期望是离散型随机变量的一个特征数特征数，它反，它反映了离散型随机变量取值的平均水平映了离散型随机变量取值的平均水平.第13页，讲稿共19张，创作于星期二 例例4(4(补充补充)某城市出租汽车的起步价为某城市出租汽车的起步价为1010元，行驶路程不元，行驶路程不超出超出4km4km时租车费为时租车费为1010元，若行驶路程超出元，若行驶路程超出4km4km，则按每超出，则按每超出lkmlkm加收加收2 2元计费元计费(超出不足超出不足lkmlkm的部分按的部分按lkmlkm计计).).从这个城市的从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为民航机场到某宾馆的路程为15km15km某司机经常
17、驾车在机场与此宾某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程行车路程(这个城市规定，每停车这个城市规定，每停车5 5分钟按分钟按lkmlkm路程计费路程计费)，这个司，这个司机一次接送旅客的行车路程机一次接送旅客的行车路程是一个随机变量设他所收租车费是一个随机变量设他所收租车费为为()()求租车费求租车费关于行车路程关于行车路程的关系式的关系式 ()()若随机变量若随机变量的分布列为的分布列为15161718P0.10.50.30.1求所收租车费求所收租车费的的数学期望数学期望()()已知
18、某旅客实付租车费已知某旅客实付租车费3838元，而出租汽车实际行驶了元，而出租汽车实际行驶了15km15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?第14页，讲稿共19张，创作于星期二 解解：()依题意得依题意得=2(-4)十十10，即，即=2+2；=2+2故故E E=2=2EE+2=34.8 +2=34.8 （元）（元）5(18-15)=155(18-15)=15()()由由38=238=2+2+2，得，得=18=18，所以出租车在途中因故停车累计最多所以出租车在途中因故停车累计最多1515分钟分钟 故所收租车费故所收租车费的数学期望为的数学期望为34.
19、834.8元元第15页，讲稿共19张，创作于星期二根据分布列，由期望的定义求出根据分布列，由期望的定义求出EE 公式公式E E（a+ba+b）=aE+b=aE+b，以及服从二项分，以及服从二项分布的随机变量的期望布的随机变量的期望E=np E=np 知识归纳知识归纳 (1)(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；取值的平均水平；(2)(2)求离散型随机变量求离散型随机变量的期望的基本步骤：的期望的基本步骤：理解理解的意义，写出的意义，写出可能取的全部值；可能取的全部值；求求取各个值的概率，写出分布列；取各个值的概率，写出分布列；练习练习：P
20、 P1414 16 16。作业作业：习题：习题1.2 P1.2 P16 16 1616第16页，讲稿共19张，创作于星期二 练习练习 袋中有袋中有4 4个黑球、个黑球、3 3个白球、个白球、2 2个红球，从中个红球，从中任取任取2 2个球，每取到一个黑球记个球，每取到一个黑球记0 0分，每取到一个白分，每取到一个白球记球记1 1分，每取到一个红球记分，每取到一个红球记2 2分，用分，用表示得分表示得分,(1),(1)求求的概率分布列的概率分布列;(2);(2)求求的数学期望的数学期望.解：解：依题意依题意的的取值为取值为0、1、2、3、4第17页，讲稿共19张，创作于星期二分布列为分布列为p p4 43 32 21 10 0第18页，讲稿共19张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第19页，讲稿共19张，创作于星期二