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1、关于矩阵特征值第1页，讲稿共47张，创作于星期二说明说明一、特征值与特征向量的概念第2页，讲稿共47张，创作于星期二第3页，讲稿共47张，创作于星期二第4页，讲稿共47张，创作于星期二解解例例1 1 第5页，讲稿共47张，创作于星期二第6页，讲稿共47张，创作于星期二例例 解解第7页，讲稿共47张，创作于星期二第8页，讲稿共47张，创作于星期二第9页，讲稿共47张，创作于星期二例例 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解第10页，讲稿共47张，创作于星期二第11页，讲稿共47张，创作于星期二得基础解系为：得基础解系为：第12页，讲稿共47张，创作于星期二例例 证明：若证明：若 是矩
2、阵是矩阵A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于的特征向量，则的特征向量，则证明证明再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得第13页，讲稿共47张，创作于星期二第14页，讲稿共47张，创作于星期二证明证明则则即即类推之，有类推之，有二、特征值和特征向量的性质第15页，讲稿共47张，创作于星期二把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得第16页，讲稿共47张，创作于星期二注意注意.属于不同特征值的特征向量是线性无关属于不同特征值的特征向量是线性无关的的.属于同一特征值的特征向量的非零线性属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量组合仍是属于这个
3、特征值的特征向量.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值一个特征向量不能属于不同的特征值第17页，讲稿共47张，创作于星期二第18页，讲稿共47张，创作于星期二例例5 5 设设A是是 阶方阵，其特征多项式为阶方阵，其特征多项式为解解三、特征值与特征向量的求法第19页，讲稿共47张，创作于星期二求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：四、小结第20页，讲稿共47张，创作于星期二思考题第21页，讲稿共47张，创作于星期二思考题解答第2
4、2页，讲稿共47张，创作于星期二5、3 相似矩阵一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念二、相似矩阵与相似变换的性质二、相似矩阵与相似变换的性质三、利用相似变换将方阵对角化三、利用相似变换将方阵对角化第23页，讲稿共47张，创作于星期二一、相似矩阵与相似变换的概念第24页，讲稿共47张，创作于星期二1.等价关系等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质第25页，讲稿共47张，创作于星期二证明证明第26页，讲稿共47张，创作于星期二推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵第27页，讲稿共47张，创作于星期二利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式k个个第28页，讲
5、稿共47张，创作于星期二利用上利用上述结论可以述结论可以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A 的的多项式多项式 .第29页，讲稿共47张，创作于星期二定理定理证明证明第30页，讲稿共47张，创作于星期二证明证明三、利用相似变换将方阵对角化第31页，讲稿共47张，创作于星期二第32页，讲稿共47张，创作于星期二命题得证命题得证.第33页，讲稿共47张，创作于星期二说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，
6、从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，还是能对角化还是能对角化第34页，讲稿共47张，创作于星期二例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解第35页，讲稿共47张，创作于星期二解之得基础解系解之得基础解系第36页，讲稿共47张，创作于星期二求得基础解系求得基础解系第37页，讲稿共47张，创作于星期二解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.第38页，讲稿共47张，创作于星期二A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例2 2解解第39页，讲稿共47张，创作于星
7、期二解之得基础解系解之得基础解系第40页，讲稿共47张，创作于星期二所以所以 可对角化可对角化.第41页，讲稿共47张，创作于星期二注意注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应第42页，讲稿共47张，创作于星期二四、小结相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：第43页，讲稿共47张，创作于星期二相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩
8、阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵第44页，讲稿共47张，创作于星期二思考题第45页，讲稿共47张，创作于星期二思考题解答第46页，讲稿共47张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第47页，讲稿共47张，创作于星期二