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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载乐恩特训练个性化教学辅导教案课题教直线的参数方程的几何意义教学目标与直线的参数方程有关的典型例题要求与直线的参数方程有关的典型例题教学重难点分析学过程学问要点概述过定点M0x0,y0、倾斜角为的直线 l 的参数方程为xx 0tcos（ t 为参数）,yy 0tsin其中 t 表示直线 l 上以定点M0为起点,任意一点M （x,y）为终点的有向线段M 0M的数量,的几何意义是直线上点到 M 的距离 .此时 ,如 t0,就 的方向向上 ;如 t0,就的方向向上 ;当 t0,就的方向向下 ,所以 A,B. P1,P2,求线段 P1P
2、2中点的 M 所对应的 t 的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同例 2已知双曲线x 2 -2 y 2 = 1,过点 P（2,1）的直线交双曲线于名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载的中点 M 的轨迹方程；分析：中点问题与弦长有关,考虑用直线的参数方程,并留意有 t1 +t2=0；解：设 Mx0,y0为轨迹上任一点,就直线 P1P2的方程是 x = x0 +t cos ,y = y0 +t sin t 是参数 ,代入双曲线方程得：2cos 2 - sin 2 t 2 +22x0cos - y0sin
3、t + 2 x0 2 - y0 2 - 2 = 0,由题意 t 1 +t 2=0,即 2x0cos- y0sin =0,得 tan = 2x0 y0；又直线 P1P2 的斜率 k = tan = y - y0 x - x0,点 P（2,1）在直线 P1P2 上,1 - y0 2 - x0= 2x0,即 2x2- y五,求点的轨迹问题2 - 4x +y = 0 为所求的轨迹的方程；例 1已知双曲线,过点 P（2,1）的直线交双曲线于P1,P2,求线段 P1P2 的中点 M的轨迹方程；分析：中点问题与弦长有关,考虑用直线的参数方程,并留意有 t1 +t2=0；解：设 M x0,y0为轨迹上任一点,
4、 就直线 P1P2 的方程是 t 是参数 ,代入双曲线方程得：2cos 2 - sin 2 t 2 +22 x0cos - y0sint + 2x0 2 - y0 2 - 2 = 0,由题意 t 1 +t 2=0,即 2x0cos - y0sin =0,得；又直线 P1P2 的斜率,点 P（2,1）在直线 P1P2 上,即 2x 2 - y 2 - 4x + y = 0 为所求的轨迹的方程；六、求定点到动点的距离例 1直线 l 过点 P1,2,其参数方程为x =1 - t,t 是参数 ,直线 l 与直线2x +y - 2 =0 y =2 +t交于点 Q,求 PQ；x =1 -2 2 t,代入2
5、x +y - 2 =0 得 t = 32 2,解：将直线l 的方程化为标准形式2 2 ty=2 + PQ = | t| = 3 2 2；点评： 题目给出的直线的参数并不是位移,直接求解简单出错,一般要将方程改成以位移为参数的标准形式；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载例 2经过点 P-1 ,2,倾斜角为 4的直线 l 与圆 x 2 +y 2 = 9 相交于 A,B 两点,求PA +PB 和 PA PB 的值；2x = -1 + 2 t,解：直线 l 的方程可写成,代入圆的方程整理得：t 2 + 2t
6、- 4=0,设点 A,2y=2 + 2 tB 对应的参数分别是 t1 ,t2,就 t1 +t2 = -2,t1 t2 = -4 ,由 t1 与 t2的符号相反知 PA +PB = |t1|+|t2| = | t1 - t 2| = t1 +t2 2- 4 t1 t2 = 3 2,PA PB = | t1 t2 | = 4；点评：解决此题的关键一是正确写出直线的参数,异同；七、求直线与曲线相交弦的长二是留意两个点对应的参数的符号的例 1已知抛物线 y 2 = 2px,过焦点 F 作倾斜角为 的直线交抛物线于 A,B 两点,求证：2pAB = sin 2 ；分析：弦长 AB = |t1 - t2|
7、；解：由条件可设 AB 的方程为 x = p 2 +t cos ,t 是参数 ,代入抛物线方程,y = t sin 2pcos 得 t 2 sin 2 - 2pt cos - p 2 = 0,由韦达定理：t1 +t2 = sinp 2 2 ,t1t2 = -sin 2 AB = |t1 - t2| = t1 - t2 2 - 4 t1 t2 = 4psin 2cos4 2 + sin 4p2 = 2sin 2p2；例 2已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60的直线交椭圆于 A,B 两点,如 FA =2FB,求就椭圆的离心率；名师归纳总结 分析： FA =2F
8、B 转化成直线参数方程中的t1= - 2t2 或 |t1| =2|t2|；x = - c + 1 2 t,第 6 页,共 9 页解：设椭圆方程为2 xa 2 + 2 yb 2 = 1,左焦点 F1（c,0）,直线 AB 的方程为y = 3 2 t代入椭圆整理可得：1 4b 2 + 34a2t2 - b2ct - b4 = 0,由于 t 1= - 2t2,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - t1 +t2 = b 2c1 4b 2 +3 4a 2= - t24- b1 4b 2 +3 4a 2= -2 t2,精品资料欢迎下载2 +3 4 a2,将 b 2
9、=a 2 - c 2 代入,t1t2 = -2 22+得： 2c2 = 1 4b8 c2 = 3 a2 + a2 - c2,得e 2 = 2 ca 2 = 9,故 e = 2 3；往往要正确写出直线的参数方程,利用在讨论线段的长度或线段与线段之间的关系时,t 的几何意义,结合一些定理和公式来解决问题,这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量t 来表示,可以将二元问题转化为一元问题来求解,表达了等价转化和数形结合的数学思想；学问巩固训练应用一：求距离例 1、直线 l 过点P 04 ,0 ,倾斜角为6,且与圆x2y27相交于 A 、B 两点；（1）求弦长 AB. 的长；
10、（2）求P0A和P0B应用二：求点的坐标例 2、直线 l 过点P 024,倾斜角为6,求出直线 l 上与点P 02,4相距为 4 的点的坐标；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载应用三：解决有关弦的中点问题例 3、过点P 0,10 ,倾斜角为4的直线 l 和抛物线y22x相交于 A 、B 两点, 求线段AB 的中点 M 点的坐标；老师课 后小结 签字名师归纳总结 教学主任：教学组长：同学 / 家长：第 8 页,共 9 页解：由于直线 l 过点P 040,倾斜角为6,所以直线 l 的参数方程为x04tt
11、cos6,即x43t,（ t 为参数）,代入圆方程,得2ysin6y1 2t43t21t27,整理得t243 t9022（1）设 A、 B 所对应的参数分别为t1,t2,所以t1t243,t1t29,所以|AB|t1t2| t 1t224 t 1t223.（2）解方程t243 t90得,t133,t23,所以P0A|1t|33,P0B|2t|3 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由于直线 l 过点P 02 ,4 精品资料6欢迎下载,倾斜角为,所以直线 l 的参数方程为x2tcos6,即x23t,（ t 为参数）,（1）t,就2y4tsin6y41
12、 2t设直线 l 上与已知点P 02,4相距为 4 的点为 M 点,且 M 点对应的参数为|P 0M| t|4,所以t4,将 t 的值代入（ 1）式,当 t4 时, M 点的坐标为223 ,6 ；当 t 4 时, M 点的坐标为223,2 ,综上,所求M 点的坐标为223,6 或223,2. 点评：如使用直线的一般方程,利用两点间的距离公式求M 点的坐标较麻烦,而使用直线的参数方程,充分利用参数 t 的几何意义求 M 点的坐标较简单；解：直线 l 过点 P 0 ,1 0 ,倾斜角为,所以直线 l 的参数方程为42x 1 t2,（t 为参数）,由于直线 l 和抛物线相交,将直线的参数方程代入抛物线方程2y t22 2 2 2 1 2y 2 x 中,得： t 2 1 t ,整理得 t 2 t 2 0,2 2 2 2 24 1 2 6 0,设这个二次方程的两个根为 t 1, t 2,2由韦达定理得 t 1 t 2 2 2,由 M 为线段 AB 的中点,依据 t 的几何意义,得t M t 1 t 22,易知中点 M 所对应的参数为 t M 2,将此值代入直线的参数方程得,2M 点的坐标为（ 2,1）名师归纳总结 点评：对于上述直线l 的参数方程, A、 B 两点对应的参数为t1,t2,就它们的中点所对第 9 页,共 9 页应的参数为t12t2.- - - - - - -