直线的参数方程的几何意义.doc

.* 乐恩特教育个性化教学辅导教案 课 题 直线的参数方程的几何意义 教学目标 要 求 与直线的参数方程有关的典型例题 教学重难点 分 析 与直线的参数方程有关的典型例题 教 学 过 程 知识要点概述 过定点、倾斜角为的直线的参数方程为（t为参数），其中t表示直线上以定点为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段的数量， 的几何意义是直线上点到M的距离.此时,若t>0,则的方向向上;若t<0,则的方向向下;若t=0,则点与点M重合. 由此，易得参数t具有如下 的性质：若直线上两点A、B所对应的参数分别为 ，则 性质一：A、B两点之间的距离为，特别地，A、B两点到的距离分别为 性质二：A、B两点的中点所对应的参数为，若是线段AB的中点，则 ，反之亦然。 精编例题讲练 一、求直线上点的坐标 例1．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在 x轴方向的分速度是−3，在y轴方向的分速度是4，问小虫3s后的位置Q。 分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程(t是参数)。 解：由题意知则直线PQ的方程是，其中时间t 是参数，将t=3s代入得Q（−8，12）。 例2．求点A（−1，−2）关于直线l：2x −3y +1 =0的对称点A 的坐标。 解：由条件，设直线AA 的参数方程为 (t是参数)， ∵A到直线l的距离d = ， ∴ t = AA = ， 代入直线的参数方程得A (− ，)。 点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。 二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例1.设直线经过点(1,5),倾斜角为, 1)求直线和直线的交点到点的距离; 2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积. 解:直线的参数方程为( t为参数) 1)将直线的参数方程中的x,y代入,得t=.所以,直线和直线的交点到点的距离为 2)将直线的方程中的x,y代入,得设此方程的两根为,则==10.可知均为负值,所以= 点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。 三 求直线与曲线相交的弦长 例1 过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|. 解 因直线的倾角为，则斜率为－1，又抛物线的焦点为F(1，0)，则可设AB的方程为 (为参数) 代入整理得 由韦达定理得t1＋t2=，t1t2=－16。 ∴===. 例2 已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积. 解:因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是 (t为参数) 即 (t为参数) 把它代入抛物线的方程,得 解得 由参数t的几何意义得 点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,再用距离公式求交点距离简便一些. 四、求解中点问题 例1,已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,求点M的坐标. 解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为,由已知可得: cos, 所以,直线的参数方程为(t为参数) 代入,整理得 中点M的相应的参数是= 所以点M的坐标为 点评:在直线的参数方程中,当t>0,则的方向向上;当t<0,则的方向向下,所以A,B中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同. 例2．已知双曲线 ，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。 分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。 解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ −sin2θ) t2 +2(2x0cosθ −y0sinθ)t + (2x02 −y02 −2) = 0， 由题意t1 +t2=0，即2x0cosθ −y0sinθ =0，得。 又直线P1P2的斜率 ，点P（2，1）在直线P1P2上， ∴，即2x2 −y2 −4x +y = 0为所求的轨迹的方程。 五,求点的轨迹问题 例1．已知双曲线 ，过点P（2，1）的直线交双曲线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程。 分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t1 +t2=0。 解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：(2cos2θ −sin2θ) t2 +2(2x0cosθ −y0sinθ)t + (2x02 −y02 −2) = 0， 由题意t1 +t2=0，即2x0cosθ −y0sinθ =0，得。 又直线P1P2的斜率 ，点P（2，1）在直线P1P2上， ∴，即2x2 −y2 −4x +y = 0为所求的轨迹的方程。 六、求定点到动点的距离 例1．直线l过点P(1，2)，其参数方程为(t是参数)，直线l与直线 2x +y −2 =0 交于点Q，求PQ。 解：将直线l的方程化为标准形式，代入 2x +y −2 =0得 t = ， ∴ PQ = | t| = 。 点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。 例2．经过点P(−1，2)，倾斜角为 的直线 l与圆 x2 +y2 = 9相交于A，B两点，求PA +PB和PA PB的值。 解：直线l的方程可写成，代入圆的方程整理得：t2 +t−4=0，设点A，B对应的参数分别是t1 ，t2，则t1 +t2 = −，t1 t2 = −4，由t1 与t2的符号相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 −t2| = = 3，PA PB =| t1 t2 | = 4。 点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。 七、求直线与曲线相交弦的长 例1．已知抛物线y2 = 2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，求证：。 分析：弦长AB = |t1 −t2|。 解：由条件可设AB的方程为(t是参数)，代入抛物线方程， 得 t2 sin2 θ −2pt cos θ −p2 = 0，由韦达定理：， ∴ AB = |t1 −t2| = = = 。 例2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60的直线交椭圆于A，B两点，若FA =2FB，求则椭圆的离心率。 分析：FA =2FB转化成直线参数方程中的 t1= −2t2或|t1| =2|t2|。 解：设椭圆方程为 ，左焦点F1（c，0），直线AB的方程为，代入椭圆整理可得：(b2 +a2)t2 − b2ct −b4 = 0，由于t1= −2t2，则 ，①22+②得：，将b2 =a2 −c2代入， 8 c2 = 3 a2 + a2 −c2，得 ，故e = 。 在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用 t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。 知识巩固训练 应用一：求距离 例1、直线过点，倾斜角为，且与圆相交于A、B两点。 （1）求弦长AB. （2）求和的长。 应用二：求点的坐标 例2、直线过点，倾斜角为，求出直线上与点相距为4的点的坐标。 应用三：解决有关弦的中点问题 例3、过点，倾斜角为的直线和抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点M点的坐标。 教师课 后小结 签字 教学主任： 教学组长： 学生/家长： 解：因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为 ，即，（t为参数），代入圆方程，得 ，整理得 （1）设A、B所对应的参数分别为，所以，， 所以 （2）解方程得，， 所以， 解：因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为 ，即，（t为参数）， （1） 设直线上与已知点相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t，则 ，所以，将t的值代入（1）式， 当t＝4时，M点的坐标为； 当t＝－4时，M点的坐标为， 综上，所求M点的坐标为或. 点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。 解：直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为 ，（t为参数），因为直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程 中，得：，整理得， ，设这个二次方程的两个根为， 由韦达定理得，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得 ，易知中点M所对应的参数为，将此值代入直线的参数方程得，M点的坐标为（2，1） 点评：对于上述直线的参数方程，A、B两点对应的参数为，则它们的中点所对应的参数为