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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载量子力学练习题一一、基本概念及简答1. 简述2 | , |的物理意义及其试验基础；fnn,nc的物理意义是什么？2简述迭加原理；如ncnn, Fn3三维空间中运动的粒子 , 其波函数的方位角 部分=cos3, 求L.的平均值； 4设 F F,G G A. 如 F G 0,是否 F的本征态肯定是 G的本征态,举例说明； B. 如 F G 0,F ,G 是否就肯定无共同本征态,举例； C.如 F G iC, C 是常数,F ,G 是否能有共同本征态,证明你的结论； 5、判定 x p x 及
2、i p x 是否厄迷算符； 6、 F , G C 0,F F,G G,试问 F,G是否必定没有共同本征态,举例说明7、已知 ,B C 为厄米算符,. iBC 也为厄米算符的条件是什么？. .8、能否把 x , y , z看作自旋角动量算符的矩阵表示？9、哪个试验证明了电子具有自旋,怎样证明的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？10、对于全同性粒子说来要满意那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？11. 波函数的导数是否肯定要连续？举例说明；12. 如果A .A .,B .B .且C .iA B . .C .,A a .a ab都是束缚态,就,B b .b
3、b,a和a C a .b C b .0.13什么是量子力学中的守恒量？其主要特点是什么？什么定态？定态主要特点细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载是什么？14已知 . , . 1,求证 . . n . n. n . n 115已知 ,B C 为厄米算符,就. iBC 也为厄米算符的条件是什么？. .16如一个算符与角动量算符 J.的两个重量对易,就其必与 J.的另一个重量对易
4、；, 当x0,nx 的17. 设V1m2x2, 当x0,2且已知以一维线性谐振子的能量本征值E ,本征函数nx ,及宇称为1n；试写出能量本征值及本征函数；jmj018Jx,J 在 yjmj上的平均值为零,即jmjJxjmjjmjJy19.1.全同粒子交换算符P P 是否对易 .有无共同本征函数 . 2 . 不考虑粒子间的相互作用；有 下,体系有多少可能的状态？5 个单粒子态, 4 个全同粒子；以下情形A.粒子是全同玻色子 ; B. 粒子是全同费米子 ; C. 不考虑粒子的全同性 . 二、解决问题题1、质量为 m 的粒子,在阱宽为 a 的一维无限深势阱中运动,如t0时,体系处于x,c1 01x
5、c22 x c33态x上,式中 Hn2n2n,n1,2,已经归一化,2a求：（1）t0时,E822/m a2的几率（2）t0时的波函数 , x t ,能量的可能值与取值几率,证明你的结论（3）粒子处于基态1 2sinx a,aA 求粒子动量分布 只写出表达式即可 ；B 当势阱突然变为 2a时,求粒子仍处于基态的几率 （只列公式,不必运算）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2、考虑在无限深势阱（0
6、x优秀学习资料欢迎下载a）中运动的两电子体系,略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用,求体系的基态和第一激发态的波函数和能量,并指出这两个态的简并度；2xl 2,yl23、在 zl求证：本征态Ylm下,（1）lxly0（2）12 运算4运算xl2,yl 设HE0 10cE0 200* cE0 30（1）求 H 的精确本征值；0（2）如 | | E ij, , i j 1,2,3,求 H 的近似到二级的本征值,并与精确解的结果进行比较；0E 1 00 c5.（20）设 H 0 E 2 0* 0c 0 E 3 1（10）求 H 的精确本征值；02 （10）如 | c | E ij, ,
7、i j 1,2,3,求 H 的近似到二级的本征值,并与精确解的结果进行比较；6、设固定于 0r 的电子处于沿 x 方向的匀称电磁场 B中（不考虑空间运动） ,电子的内禀磁矩与磁场 B 作用为H eBx x ,2 c 1初始电子处于 zs 态 zs x 0 , 求 t 时刻电eB . 2 02 c子状态；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载i7. 10 求 n cosi sin
8、 e 的本征值和本证征函数；sin e cos8粒子在谐振子势场中运动,在能量表象中,t 0 时,其状态波函数为01,H113502200求 （1）能量平均值,可能值及相应的几率（2）求 t 时刻的波函数 t . 9粒子在位势 V r 的有心力场中作定态运动,证明在任何一具有肯定轨道角动量的定态里,粒子的平均位置在原点； （提示,利用 . r r .）0 *10H Ec 1E c02,| | | E 1 0E 02 |求：A H 的精确本征值（10 分）B求 H 的近似到二级的本征值（用微扰法）11一维无限深的、宽为1A的势阱中含有三个电子,势E124.eV；问Vx0,0x1A,其它在温度T
9、K,并忽视库仑相互作用近似下,三个电子的平均能量在同样近似下,在阱中如有四个电子时,其平均能量是多少？12、两个算符 H.和 B.的矩阵形式如下1 0 0 1 0 0H 0 1 0 ; B b 0 0 10 0 1 0 1 0其中, , 为实常数； 证明算符 H.和 B.相互对易, 进而求出它们共同归一化的本征函数；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载中运动,当t0时,13、质
10、量为 m的粒子,在阱宽为 a 的一维无限深势阱粒子处于状态x 0, 11 x 12 x 13 x2 2 2其中,n x 为粒子的第 n 个能量本征态；（1）求 t 0 时能量的取值几率；（2）求 t 0 时的波函数 x, t；（3）求 t 0 时能量的取值几率；14、在 .J 与 J.的共同本征态 JM 下,xJ. 与 J.的平均值为零,且当 M J 时,测量 xJ. 与 J.的 不 确 定 性 之 积 为 最 小 ；（ 提 示 ： 用 升 降 算 符 ,J M . J J M J 1 J M）J M15、 设0E 1 00 cH 0 E 2 0* 0c 0 E 3（1）求 H 的精确本征值；
11、0（2）如 | | E ij, i j 1,2,3,求 H 的近似到二级的本征值,并与精确解的结果进行比较；16、线谐振子受到一个 x 方向匀称电场 E 0 x 的作用,求其能级；设该线谐振子的质量为 m 、电荷为 q 、角频率为；17、求算符 L. x 在动量表象中的矩阵表示；18、设粒子在宽为 a 的非对称的一维无限深势阱中运动,如粒子处于状态x 4sinaxcos 2axa求粒子能量的可能取值与相应的取值几率；19、耦合谐振子的哈密顿算符为细心整理归纳 精选学习资料 H .1p . x 2p . 2y122 x2 yxy 第 5 页,共 12 页 22 - - - - - - - - -
12、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载1. （1）求其零级定态波函数的简并度；（2） 试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数；已知x mnm x n1nm n1n21m n1,；rY 11,220、对于一维运动,求算符.xpx 的本征值和本征函数；21、设氢原子在t0时处于状态r, 0 1R 21rY 10,1R 31 rY 10,1R 21 222求其能量、角动量平方及角动量z 重量的取值几率和平均值；写出在t0时体系的波函数,并给出此时能量、角动量平方及角动
13、量 均值；已知氢原子的本征解为En2 e1,n,3,2,1A .,2 a 0n2nlm , , R r n Y , lm22、已知算符A .满意A .20 ,A . A .A .A .,1B .A .z重量的取值几率与平证明B .2B .,并在 B 表象中写出B 的矩阵表示；.Zer,当核电荷由23、类氢原子中,电子与核的库仑相互作用能为Vrr；ZeZ1e时（衰变）,相互作用能增加了He a 试用微扰论争论体系的基态能量的一级修正；细心整理归纳 精选学习资料 b 运算结果与严格解比较； 第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
14、 - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载量子力学练习题二一、基本概念及简答1、在一个状态之中某一个量的平均值和它的本征值显现的几率都不随时间发生变化,这样的物理量是否是守恒量？2. 指出以下体系中力学量的完全集合：A. 氢原子 不考虑电子自旋 ；B. 二维谐振子 C. 自由粒子；3. 什么是束缚态？束缚态是否必为定态？定态是否必为束缚态？举例说明；4以下波函数1ieix,22eix,32eix,4ei i xix哪些描述与 e 相同的状态；5运算对易关系 sin 2 x , p .；6. 设 F . F .,G
15、. G .,A 如 F . , G . 0,是否 F.的本征态肯定是 G.的本征态,举例说明；B 如 F . , G . iC .,F . , G . 是否肯定无共同本征态,举例说明；C. 如 F . , G . iC 0, C 是常数,F . , G . 是否肯定无共同本征态？举例说明你的结论；7指出以下使用的Dirac 符号那些是不正确的；为什么？ E. 1 F. A.t B. x C.t D. r0xxx 8 . 图 a 中的定态波函数对应于图b、c、d 中哪个势函数？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 12 页 - -
16、 - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图 a 优秀学习资料欢迎下载图 c 图 b 图 d 9. 以下哪些是定态,哪些不是. 1,1321311A 自由粒子处于1cos1px,2B 氢原子处于A12103310,B24210. p和p是否相等？为什么？11 判定以下符号中,哪些是算符？哪些是数？哪些是矢量？；t t；uvw；u .w；12. 波函数的导数是否肯定要连续？举例说明；13为什么既不能把 波懂得为粒子的某种实际结构, 即把波包看作粒子, 也不把 波懂得为由大量粒子分布于空间而形成的波,即把波看作由粒子构成的？
17、14. 设. A A ,. B ,. A .,B . 0；试判定以下算符哪些是厄米算符,哪些不是；1F .1AB . .BA . . ; 2G .AB ; 3 .C .nA .iB ; .2 i4D .A .B ；.cnc的物理意义15指出以下使用的 Dirac 符号那些是不正确的；为什么？A.t; B. x ; C.t; D. r; E. 1; F. x xx . 016简述态迭加原理；如cnn, 且F.nfnn, 那么n是什么？17在一维谐振子基态得经典区域之外,粒子显现的几率也不为零, 这是否意味粒子的动能可为负值？怎样说明这一结果？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -
18、 - - - - - - - - 第 8 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -18. 确定id,d2,id2优秀学习资料欢迎下载哪些是厄米算符哪些不是厄米算符；dxdx2dx219指出以下使用的 Dirac 符号那些是不正确的；为什么？20. A.t; B. x ; C.t; D. r; E. 和1; F. x xx . 0pp是否相等？为什么？二、解决问题题1、在H 表象中,H E 10,0a0, E 10E0,E0E0a ,b. 0 ,E0,b2232a E 3,b,试用微扰论求能量的二
19、级修正；2、指出以下体系中,能量E、动量（px,py,pz）、角动量（L2,Lx,Ly,LZ）、宇称哪些是守恒量；A. 一维谐振子； B. 在 Z 方向匀称不变电场中的带电粒子；C. 在 Z 方向匀称、但随时间变化的电场中的带电粒子； D. 中心力场中的粒子；3、 质量为 m 的粒子处于能量为E 的本征态,波函数为x Axe12x 2,问粒2子在什么样的位势中运动？4、r,1R21rY10,1R31rY10,1R21rY11,的状态上,222求其能量、角动量平方及角动量 出它们的平均值；z 重量的可能取值与相应的取值几率,进而求5、设体系的哈密顿算符为H .211L .2L . 2y212L
20、. 2zIxI求体系的能量本征值与相应的本征函数；6、设在H0表象中,HE00a,b,aa, 1b,Ea2用微扰论求能级修正（到二级近似） ；再严格求解,与微扰论的结果比较；7一个电荷为 q 、质量为x和角频率为的线谐振子, 受到沿 x 方向恒定弱电场的作用,即W.q,用微扰法求基态能量,近似到二级修正、波函数到一级修正；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -已知：xn 1nn1优秀学习资料n1欢迎
21、下载 n21 28求自旋角动量在任意方向n（方向余弦为cos,cos,cos）的投影算符s . n s . x cos s . y cos s . z cos 的本征值和相应的本征矢；9氢原子在 t 0 时刻处于状态 r 0, C 11 r 12 r 13 r2 3 2式中,n r 为氢原子的第 n 个能量本征态；运算归一化常数 C .；（1）运算 t 0 时能量的取值及相应的几率与平均值；（3）写出任意时刻 t 的波函数 r , t,能量的取值及相应的几率与平均值；10作一维运动的粒子,当哈密顿算符为p .H .0p .2Vx时,能级是E0n,n2假如哈密顿算符变成H.H.0（为实参数）,求
22、变化后的能级E；（提示,用动量表象求解） ；11、质量为 m的粒子处于一维谐振子势场 V 1 x 12 kx 2, k 0 的基态,2如弹性系数 k 突然变成 2 k,即势场变成 V 2 x kx,立即测量粒子的能量,求发觉粒子处于新势场 V2 x 基态的几率； 只列出具体的运算公式即可 12、已知二维谐振子的哈密顿算符为H . 0p . 212x 2y2,在对其施加22微扰W.xy后,利用微扰论求H .H .0W .第一激发态能量至一级修正；而提示：mxn1nm ,n1n1m , n1,其中, 第 10 页,共 12 页 22n为线谐振子的第 n个本征矢；细心整理归纳 精选学习资料 - -
23、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -13、 已知. ,. 1,求证优秀学习资料n欢迎下载. n. n. n114、一个三维运动的粒子处于束缚态,其定态波函数的空间部分是实函数,求此态中的动量平均值；15、质量为 m的粒子作一维自由运动, 假如粒子处于x2 A sinkx的状态 上,求其动量 p.与动能 T.的几率分布及平均值；16、质量为 m的粒子,在阱宽为 a 的一维无限深势阱中运动,如 t=0 时,体系处 于x ,0 c11xc22xc 33x1态,式中
24、Hn1 2 mn2n,n=1,2,3 c 12c 22c 32a求：（1）t=0 时, E 及E22222的几率ma（2）t0 时的波函数x,t,能量的可能取值及相应几率；（3）如粒子处于基态12sinx,求aaA粒子的动量分布（只列公式,不必运算）B 当阱宽突然变为 算）；2a 时,求粒子处于新的基态的几率（只列公式,不必计17、对于一维运动,求算符P .x 的本征值和本征函数,；18、用狄拉客符号导出由 写出么正变换矩阵；F 表象到 G表象的表象的波函数及其算符的变换公式,19、在能量表象中,一维谐振子在 t 0 时的状态为0 1 002求. . .（1）能量的可能值及相应几率 ; （2）
25、能量平均值 ; （3）t 时刻粒子的波函数 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -120优秀学习资料欢迎下载20、H223, = *1,求：；xAxe12x 2,问粒0332（1）H的近似到2 的能量本征值；（2）和近似到 的波函数（用微扰法）21、运算对易关系L .,p .,其中,x ,y ,z22、质量为 m 的粒子处于能量为E 的本征态,波函数为2子在什么样的位势中运动？23、求线性谐振子偶极跃迁的挑选定就；提示：偶极近似的情况下,He x；xn 1nn1 n1 ；22n124、在能量表象中,一维谐振子在t 0 时的状态为0 1 002求. . .（1）能量的可能值及相应几率（2）能量平均值（3）t 时刻粒子的波函数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 12 页 - - - - - - - - -