《2022年量子力学-第四版-卷一-习题答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年量子力学-第四版-卷一-习题答案.docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 量子力学的产生1.1 设质量为 m 的粒子在谐振子势Vx 1m2x2中运动,用量子化条件求粒子能量aE的可能取值；2提示：利用pdxnh ,n1,2,p2 m EVx V x x解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范畴为1xa其中 a 由下式打算：EVxxa1m2a2；a0 22由此得a2E/m2,xa即为粒子运动的转折点；有量子化条件pdx2a2 m E1m2x2dx2 maaaa2x2dx2ma 22ma2nh2得a2nh2n3mm代入 2,解出E nn,n1,2,3,u2,a24arcsinuc积分公式：a2u2duua2a22
2、ab,c1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值；解： 除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动；假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,就碰撞为弹性碰撞；动量大小不转变,仅方向反向；选箱的长、宽、高三个方向为x ,y ,z轴方向,把粒子沿x ,y,z轴三个方向的运动分开处理；利用量子化条件,对于x 方向,有pxdxn xh,nx1 ,2,3,即px 2anxh a 2 ：一来一回为一个周期pxnxh/2 a, 同理可得,pynyh/2 b, pznzh/2c, nx,ny,nz1,2,3,粒子能量名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页
3、精选学习资料 - - - - - - - - - En xnynz1p2p2p222n2n2n2xyz2mxyz2 ma2b2c2nx,ny,nz1,2,3,Ep2/2I；1.3 设一个平面转子的转动惯量为I ,求能量的可能取值；提示： 利用2pdnh,n1 ,2,p 是平面转子的角动量；转子的能量0解： 平面转子的转角角位移记为；它的角动量pI.广义动量 , p 是运动惯量；按量子化条件2pdx2pmh ,m1,2,3,0pmh,因而平面转子的能量Emp2/2Im22/2I,B,求粒子能量答应值. m,12,3,1.4 有一带电荷 e 质量 m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是,设圆
4、半径是r ,线速度是 v ,用高斯制单解带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动名师归纳总结 位,洛伦兹与向心力平稳条件是: 转角, 按 电 磁 学通 电导 体在 磁场中 的 势能Bevmv21 cr又利用量子化条件,令 p电荷角动量qpdq2mrvd2mrvnh2 0即mrvnh3 由12 求得电荷动能 =1mv2Ben22 mc势 能再求 运 动电 荷在 磁场 中的 磁=磁矩*场强电流*线圈面积*场强ev*r2*B, v 是电荷的旋转频率, v2vr,代入前式得第 2 页,共 8 页ccc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 运动电荷的磁势能=Ben符号是正
5、的 n,123, 2 mc点电荷的总能量=动能 +磁势能 =E=Ben2 mc1.5,1.6 未找到答案1.71试用 Fermat 最小光程原理导出光的折射定律n 1sin1n 2sin22光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：如认为光是粒子, 就其运动遵守最小作用量原理pdl0认为pmv就pdl0这将导得下述折射定律n 1 sin 3 n 3 sin 1这明显违反试验事实,即使考虑相对论效应,就对自由粒子：p Ev2 仍就成立, E 是粒子能量,从一种c媒质到另一种媒质 E 仍不变,仍有 pdl 0,你怎样解决冲突？解甲法：光线在同一匀称媒质中依直线传播,因此自定点 A 到定点 B
6、 的路径是两段直线：光程名师归纳总结 In 1AQn 2QB第 3 页,共 8 页设 A,B 到界面距离是a,b都是常量 有In 1asec1n 2bsec2又 AB 沿界面的投影c 也是常数,因而1,2存在约束条件：atg1btg2c2求1的变分 ,而将1,2看作能独立变化的,有以下极值条件In 1asec1tg1d1n 2bsec2tg2d203 再求 2的变分asec 21d1bsec 22d2c0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3与4 消去d1和d2得n 1sin1n 2sin25 乙法 见同一图 ,取 x 为变分参数 ,取 0 为原点,就有
7、 : I n 1 a 2 x 2n 2 b 2 c x 2 求此式变分 ,令之为零 ,有：I n2 1 x x2 n2 2 c x x2 0a x b c x 这个式子从图中几何关系得知 ,就是 5. 2按前述论点光假设看作微粒就粒子速度 v 应等于光波的群速度 vG 光程原理作 vG dl 0 ,依前题相速 v pv c 2G ,而 v Gv c 2p cn , n 是折射率 , n 是波前阵面更引起的 ,而波阵面速度就是相速度 vp ,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理 . ndl 0前一非难是将光子的传播速度 v 看作相速度 v p 的误会 . 1.8 对高速运动的粒子 静质量 m
8、 的能量和动量由下式给出 : 2E mc2 1 v1 2c2mvp 2 2 1 v2c试依据哈密顿量 H E m 2c 4c 2p 23 及正就方程式来检验以上二式 .由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系 .运算速度并证明它大于光速. 名师归纳总结 解依据 3式来组成哈氏正就方程式组:q iHi,此题中qiv,pip,因而: pk于 3 式右方 , 又用pvpm2c4c2p2m2c2pc2p24 c4从前式解出p 用 v 表示 即得到 2.又假设将 2代入 3,就可得到 1式. 其次求粒子速度v 和它的物质波的群速度vG 间的关系.运用德氏的假设第 4 页,共 8 页- - - - -
9、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - E 于3 式左方 ,遍除 h : 2 4m2 c c 2 k 2 k 依据波包理论,波包群速度 vG 是角频率丢波数的一阶导数：2 4vG k m c2 c 2k 2c 2 k c 2 p=2 4 2 4 2 2m c2 c 2k 2 m c c p最终一式依据4式等于粒子速度 v ,因而 vG v；又按一般的波动理论,波的相速度 vG 是由下式规定vp k是频率利用 5式得知2 4vp m2k c2 c 2c6故相速度物质波的应当超过光速；最终找出 vG 和 vp 的关系,将 12相除,再运用德氏波假设：Ekc2c2,vpc2 7pv
10、vGv G补充：1.1 设质量为 m的粒子在一维无限深势阱中运动,名师归纳总结 试用 de BroglieVx ,0,x0 ,xaa第 5 页,共 8 页0x的驻波条件,求粒子能量的可能取值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 据驻波条件,有an2n1 ,2,3,12a /n又据 de Broglie 关系ph/2而能量Ep2/2m2/2 m23h2n2222n2n1 ,2,32 m4 a2 ma21 试用量子化条件,求谐振子的能量谐振子势能Vx 1m2x 2 2解甲法 可以用 Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:pdqnh在量子化
11、条件中,令pmx为振子动量 ,qx为振子坐标 ,设总能量 E 名师归纳总结 就EP2m2x2p2 m Em2 x2OA 的四倍 ,要打算振幅a ,留意在A或 B 点动能为2m22代入公式得 : 2 m Em2x2dxnh2量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅0,E1m2a2,1改写为 : 第 6 页,共 8 页22a a ma2x2dxnh2 积分得 :ma2nh遍乘1得2Ehn2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 乙法 也是利用量子化条件,大积分变量用时间t 而不用位移x ,按题意振动角频率为,直接写出位移x ,用 t 的项表示 : qxas
12、intacostdt4 求微分 :dqdx求积分 :5 pmxmacost将45 代量子化条件 : pdqma22T2 costdtnnh0T 是振动周期 ,T=2,求出积分 ,得ma2nhEhn2n,12 3,正整数# 2 用量子化条件 ,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为a,b,c.,可设想粒子有三个解三维问题 ,有三个独立量子化条件分运动 ,每一分运动是自由运动 .设粒子与器壁作弹性碰撞 ,就每碰一次时 ,与此壁正交方向的分动量变号 如p x p x ,其余分动量不变 ,设想粒子从某一分运动完成一个周期 ,此周期中动量与位移同时变号 ,量子化条件: 名师归纳总结 px dqx
13、pnxh2pxadx2apxp1 2p2总能量是 : 第 7 页,共 8 页0py dqy2 nyh2pybdy2bpy0pz dqz3 nzh2pzcdz2cpz0px,py,z都是常数 ,总动量平方p2 xpyz- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Ep21p2p2p2xyz2m2m=1n 2xh2nyh2n z h2 c22ma2b=h2n ax2zny2n cz28mb,23正整数 . 但nx,ny,n,1# 3 平面转子的转动惯量为 ,求能量答应值 . 解说明题意 :平面转子是个转动体 ,它的位置由一坐标例如转角打算 ,它的运动是一种刚体的平面平行运动 .例如双原子分子的旋转 .按刚体力学 ,转子的角动量 ,但是角速度 ,能量是 E 1 22利用量子化条件 ,将 p懂得成为角动量, q 懂得成转角2,一个周期内的运动懂得成旋转一周,就有n2n223 pdq2d2nh1 01 说明是量子化的2nhnn,1,23 . 2 23 代入能量公式 ,得能量量子化公式:E1222# 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页