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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -期末复习一元二次方程与二次函数学习必备欢迎下载讲义13、已知 a 是一元二次方程x23 x10的一根,求a32a25 a1的值同学：周金金年级：初三学科：数学上课时间：2 3 x 2 2x+1=0 a21目标：巩固一元二次方程与二次函数的相关学问与常见例题5一元二次方程解的情形学问点：b24ac0方程有两个不相等的实数根；考点 1：一元二次方程的概念b24ac=0方程有两个相等的实数根；1、以下方程是关于x 的一元二次方程的是（）b24ac0方程没有实数根； A ax2 bx+c=0 B. k2x5k+6=0
2、 C.3x22x+1 x=0 D. k14、已知关于x 的一元二次方程2x24xk10有实数根, k 为正整数 . （1）求 k 的值；2、以下方程中,关于x 的一元二次方程是（）（2）当此方程有两个非零的整数根时,将关于 x 的二次函数y2x24xk1的图象向下平移8 个单位, 求A .3x2 12x1 .1120平移后的图象的解析式；x2y4acb24ac0 ； 4. 因式分解法：（3）在（ 2）的条件下,将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,C ax2bxc0 . D x22xx21得到一个新的图象. 请你结合这个新的图象回答：当直线考点 2：一
3、元二次方程的解法y1xb bk与此图象有两个公共点时,b 的取值范畴 . 1. 直接开平方法： 2.配方法： 3.公式法：xbb222a解方程： 1 22x3232; 23y（y-1 ）=2（y-1 ） 3 34x2 9 2x 3=0; 4 x26x+8=0 考点 3：根与系数的关系: 韦达定理2、已知 m,n 是关于 x 的一元二次方程x2 3x+a=0 的两个解,如（m 1）（n 1）= 6,就 a 的值为对于方程ax2bx+c=0a 0 来说,1x +x = b a,1x2x = c a；3、已知关于x 的一元二次方程ax2bxc0a0的系数满意acb,就此方程必有一根为一元二次方程x2
4、-5x+6=0 的两根分别是x1,x 2, 就 x1+x2 等于4、已知方程5x2+kx 10=0 一个根是 5,求它的另一个根为,k 的值1、已知,是一元二次方程x25x20的两个实数根,就22的值为5、关于 x 的一元二次方程m1x2xm22m30 的一个根为x=0,就 m的值为2、设 x1,x2 是方程 x2 x 2022=0 的两实数根,就= 6、已知a,b是方程x24xm0的两个根,b,c是方程y28y5m0的两个根,就m的值为考点 4：一元二次方程的应用7、如 2x2+3 与 2x-4 互为相反数,就x 的值为 _1、为了改善居民住房条件,我市方案用将来两年的时间,将城镇居民的住房
5、面积由现在的人均约为10 平方米提8、方程abx2bcxca0的一个根为高到 12.1 平方米,如每年的增长率相同,就年增长率为9、如2x5y30 ,就4x32y2、某水果批发商场经销一种高档水果假如每千克盈利10 元,每天可售出500 千克,经市场调查发觉,在进货10、a2b22a2b260 ,2 就ab2；价不变的情形下,如每千克涨价1 元,日销售量将削减20 千克,现该商场要保证每天盈利6000 元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？ 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 11、如x2xyy14,y2xyx28,就 x+y 的值为12、方程x2x60的
6、解为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载x 3 、如图,在ABC中, B=90 , AB=5,BC=7,点 P 从 A 点开头沿AB边向点 B 点以 1cm/s 的速度移动,点Q1.二次函数的定义：一般地,假如yax2bxca ,b,c是常数,a0,那么 y 叫做 x 的二次函数 .从 B点开头沿BC边向点 C以 2cm/s 的速度移动 . 例：假如函数y=m 2xm2m4是二次函数 , 求常数 m 的值 . （1）假如点 P、Q 分别从 A、
7、B 两点同时动身, 经过几秒钟, PBQ的面积等于4？（2）假如点P、 Q分别从 A、B两点同时动身,经过几秒钟,PQ的长度等于5？2.二次函数的解析式三种形式一般式： y=ax2 +bx+c a 0 顶点坐标（b,4acab2）4、（ 2 014.莱芜 , 第 22 题 10 分 ） 某 市 为 打 造 “绿 色 城 市 ”, 积 极 投 入 资 金 进 行 河 道 治 污 与 园2a4顶点 式：二次 函数yax2bxc用 配 方法 可化 成：yaxh2k的形 式林 绿 化 两 项 工 程 、 已 知20XX 年 投 资 1000万 元 , 预 计 20XX年 投 资 1210万 元 如 这
8、 两 年 内 平（y2 axbxcaxb24 acb 2）,其中hb,k4acab2.均 每 年 投 资 增 长 的 百 分 率 相 同 2 a4 a2a4（ 1 ） 求 平 均 每 年 投 资 增 长 的 百 分 率 ；yaxh2k顶点坐标（ h, k ）ya xb24 acab2（ 2 ） 已 知 河 道 治 污 每 平 方 需 投 入 400 元 , 园 林 绿 化 每 平 方 米 需 投 入200元 , 如 要 求 20XX 年 河 道 治 污 及 园 林 绿 化 总 面 积 不 少 于 35000平 方 米 , 且 河 道 治 污 费 用 不2a4少 于 园 林 绿 化 费 用 的
9、4 倍 , 那 么 园 林 绿 化 的 费 用 应 在 什 么 范 围 内 ？交点式ya xx 1xx2对称轴xx 12x25、某水果经销商上月份销售一种新上市的水果,平均售价为10 元/ 千克,月销售量为1000 千克,经市场调查,如二次函数yx2bx5配方后为yx2 2k就 b 、 k 的值分别为（）A、 0.5 B、 0.1 C、4.5 D、 4.1 3.二次函数图像与性质y （1）抛物线yax2bxc中,a,b ,c的作用如将该水果价格调低至x 元/ 千克,就本月份销售量y（千克）与 x（元/ 千克）之间符合一次函数关系式ykxb,1） a 打算抛物线的开口方向：O 当 x=7 时,
10、y=2000；当 x=5 时, y=4000 ；当a0时,开口向上；当 a0时,开口向下； a 相等,抛物线的开口大小、外形相同.（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置：对称轴：xb（2）已知该种水果上月份的成本价为5 元/ 千克,本月份的成本价为4 元/ 千克,要使本月份销售该种水果所获2a得利润比上月份增加20%,同时又要让顾客得到实惠,那么该种水果价格每千克应调低至多少元？（利润=售价 -成本价）a 与 b 同号（即 ab0）对称轴在 y 轴左侧 a 与 b 异号（即 ab0 对称轴在 y 轴右侧3 c 的大小打算抛物线yax2bxc与 y
11、轴交点的位置 . 当x0时,yc,抛物线yax2bxc与 y 轴有且只有一个交点 0 , c ：1c0,抛物线经过原点 ; c0, 与 y 轴交于正半轴；c0, 与 y 轴交于负半轴 .1已知 =次函数 yax2 +bx+c 的图象如图就以下5 个代数式： ac,a+b+c,4a2b+c, 2a+b,2ab 中,其值大于 0 的个数为（）A2 B 3 C、4 D、5 2：函数 y=ax1 与 y=ax2bx1（a 0）的图象可能是（）二次函数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归
12、纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -yyyy）学习必备欢迎下载c（3）增减性,最大或最小值o 1xo 1xo 1x1x当 a0 时,在对称轴左侧（当xb时）,y 随着 x 的增大而削减；在对称轴右侧（当xb时）,y 随着 x 的增大而增大；o 2 a2a当 a0 时,函数有最小值, 并且当 x=b,ymin4acab2；当 a0； 当 m1 时, a+bam2+bm； a b+c0；如A y1 y 2 D.不确定1,0）,（1, 2）,当 y 随 x 的- 1 11x2. 如图,已知二次函数yx2bxc的图象经过点（ax1 2+bx1=ax2 2+b
13、x2,且 x1x2,就 x1+x2=2其中正确的有（）O增大而增大时,x 的取值范畴是ABCD（ 1,- 2）3. 已知二次函数y=x22x 3, 就函数值y0 时, 对应 x 取值范畴是. 5、20XX 年四川资阳 二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图,给出以下四个结论：4. 二次函数yx22x5有（）4ac b20；4a+c2b；3b+2c0；m（am+b）+ba（ m 1）,A 最大值5B 最小值5C 最大值6D 最小值6其中正确结论的个数是（）（4）几种特别的二次函数的图像特点如下：A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个函数解析式开口方向对称轴顶点坐标6、（2022.舟山）
14、当2x1 时,二次函数y= （ x m）2+m2+1 有最大值4,就实数m 的值为（yax2x0 y 轴 0,0 AB或C 2 或D 2 或或yax2k当a0时x0 y 轴 0, k 7、假如函数y=（a 1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限,那么a 的取值范畴是yaxh2开口向上xh h ,0 （ 2）抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. yaxh2k当a0时xh h , k 开口向下yax2bxcxbb4,acab2 1） a 打算抛物线的开口方向：当 a0时,开口向上；当 a0时,开口向下； a 相等,抛物线的开口大小、外形相同. 2a2a4 2 ）求抛物线的顶点、对称
15、轴的方法：1 公式法：y2 axbxcaxb24 ac2 b,顶点是（b4 ac,4 a2 b）,对称轴是直线xb. 5 图像的平移步骤： 第 3 页,共 6 页 抛物线 yax 2 与 yaxh 2,yax 2k,yaxh 2k 中|a|相同,就图象的外形和大小都相同,只是位置的不同它们之间的平移2 a4 a2 a2 a关系如下表：2配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为 yaxh2k的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是xh. 3 运用抛物线的对称性：当横坐标为x1, x2 ,其对应的纵坐标相等,那么对称轴xx 12x 21、.二次函数y3x26x5的图像的顶点坐标是（）A（-1,8）
16、B.（1,8）C（-1,2）D（1,-4）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ya xh2左移hyax2khya xh2左加右减学习必备欢迎下载C. 有最小值,最小值为9D. 有最小值,最小值为9 22上移k后面加k8. 用待定系数法求二次函数的解析式yax2右移x 变为（x hx 变为（x h 1 一般式：yax2bxc. 已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常挑选一般式 . 下移k后面减k也可以关注顶点的位置变化
17、, 2 顶点式：yaxh2k. 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式. yax2k用顶点式重写解析式.即先写出 3 交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标x、x2,通常选用交点式：yaxx1xx 2上加下减原先的顶点,再写出移动后的1.二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴为x=3,最小值为2,且过（ 0,1）,求此函数的解析式；顶点,依据 a 值不变,即可写c. 例：二次函数y=ax2+bx+c 的图象向左平移2 个单位 , 再向上平移3 个单位 , 得二次函数y=x22x+1, 求 b 和2. 如图,抛物线y=1 x 22+bx2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且
18、A（一 1,0）7.二次函数与一元二次方程的关系x 轴交点情形）：c 当函数值y0时的特别情形；求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判定ABC的外形,证明你的结论；二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bx二次函数图象与 x 轴的交点个数：（1） 当b24ac0时,图象与 x 轴交于两点A x 1,0,B x 2,0x 1x 2,其中的x 1,x 2是一元二次方程9. 代数与几何的综合ax2bxc0a0的两根这两点间的距离ABx2x 1b2a4 ac例 1：已知抛物线yx2bxc与 y 轴交于点A,与 x 轴的正半轴交于B、 C 两点,且BC=2 ,S
19、 ABC =3,就（2） 当0时, 图象与x轴只有一个交点；b = , c = （3）当0 时,图象与 x 轴没有交点 . 1、已知二次函数yax2bxc（a0）的图象经过点A , ,B2 0, ,C0,2,直线 xm（m2）1当a0时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有y0；与 x 轴交于点 D 2当a0时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有y0（1）求二次函数的解析式；1. 二次函数yax2bxc的值永久为负值的条件是a0,b24ac0（2）在直线 xm（m2）上有一点 E（点 E 在第四象限） ,使得 E、 、B为顶点的三角形与以A、 、C2. 函数ykx
20、26x3的图象与x 轴有交点,就k 的取值范畴是（）为顶点的三角形相像,求E点坐标（用含m 的代数式表示） ；（3）在（ 2）成立的条件下,抛物线上是否存在一点F ,使得四边形ABEF 为平行四边形？如存在,恳求出m的值及四边形ABEF 的面积；如不存在,请说明理由Ak3Bk3 且k0Ck3Dk3 且k03、二次函数的图象如图,对称轴为x1如关于x的一元二次方程2、（2022.黄冈）已知：如图,在四边形OABC 中, ABOC,BCx 轴于点 C,A（1, 1）,B（3, 1）,动点x2bxt0（为实数）在1x4的范畴内有解,就的取值范畴是 At1B1t3C1t8D3t84、（2022 呼和浩
21、特）已知:M 、N 两点关于y 轴对称,且点M 在双曲线y1上,2x点 N 在直线 y=x+3 上,设点M 的坐标为（ a,b）,就二次函数y= abx2+a+bx A. 有最大值,最大值为9 2B. 有最大值,最大值为92 第 4 页,共 6 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载P、Q,使AQPP 从点 O 动身,沿着x 轴正方向以每秒2 个单位长度的速度移动过点P 作 PQ 垂直于直线OA,垂足为点
22、Q,设明线段 BD 被直线 AC 平分,并求此时直线AC 的函数解析式；设点 P、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点,试猜想：是否存在这样的点点 P 移动的时间t 秒（ 0t 2）,OPQ 与四边形OABC 重叠部分的面积为S ABP？假如存在,请举例验证你的猜想；假如不存在,请说明理由（图供选用）（1）求经过O、A、B 三点的抛物线的解析式,并确定顶点M 的坐标；（2）用含 t 的代数式表示点P、点 Q 的坐标；（3）假如将 OPQ 围着点 P 按逆时针方向旋转90,是否存在t ,使得 OPQ的顶点 O 或顶点 Q 在抛物线上？如存在,恳求出t 的值；如不存在,请说明理由；（4）求
23、出 S与 t 的函数关系式3、20XX 年四川省绵阳市如图,抛物线 y=ax 2+bx+c（a0）的图象过点M（ 2,）,顶点坐标为N（ 1,）,且与 x 轴交于 A、B 两点,与y 轴交于 C点5、如图,在平面直角坐标系中,二次函数yx2bxc的图象与x 轴交于 A、B 两点,A 点在原点的左侧,（1）求抛物线的解析式；B 点的坐标为（ 3,0）,与 y 轴交于 C（0,-3）点,点P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（2）点 P 为抛物线对称轴上的动点,当PBC为等腰三角形时,求点P的坐标；（1）求这个二次函数的表达式（3）在直线AC上是否存在一点Q,使 QBM 的周长最小？如存在,求
24、出Q 点坐标；如不存在,请说明理由（2）连结 PO、PC,并把POC 沿 CO 翻折,得到四边形POP/C, 那么是否存在点P,使四边形POP/C为菱形？如存在,恳求出此时点P 的坐标；如不存在,请说明理由4、如图,二次函数y1x2c的图象经过点D3,9,与 x 轴交于 A、B 两点（3）当点 P 运动到什么位置时, 四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积 .22求 c 的值；如图,设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点,直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分,试证6、如图 12 已知ABC 中, ACB 90以 AB 所在直线为x 轴,过 c 点
25、的直线为y 轴建立平面直角坐标系此细心整理归纳 精选学习资料 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（1）求抛物线的解析式；时, A 点坐标为（一1 , 0）, B 点坐标为（ 4,0 ）（1）试求点C 的坐标（2）点 E 是线段 AC 上一动点,过点E 作 DE x 轴于点 D,连结 DC,当 DCE 的面积最大时,求点D 的（2）如抛物线yax2bxc 过 ABC 的三个顶点,求抛物线的解析式坐标；（3）在直
26、线BC 上是否存在一点P,使ACP 为等腰三角形,如存在,求点P 的坐标,如不存在,说明理（3）点 D（ 1,m ）在抛物线上,过点A 的直线 y=x1 交（ 2）中的抛物线于点E,那么在x 轴上点 B 的由. 左侧是否存在点P,使以 P、B、D 为顶点的三角形与ABE 相像？如存在,求出P 点坐标；如不存在,说明理yy由；D G H BoDAxBoAxECC备用图7、如图,在平面直角坐标系中,顶点为（4 ,1）的抛物线交y 轴于 A点,交 x 轴于 B , C 两点（点 B 在点C 的左侧） . 已知 A点坐标为（ 0, 3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点 B 作线段 AB的垂线交抛
27、物线于点D , 假如以点 C 为圆心的圆与直线BD 相切,请判定抛物线的对称轴 l 与 C 有怎样的位置关系,并给出证明；（3）已知点 P 是抛物线上的一个动点,且位于 A, C 两点之间,问：当点 P 运动到什么位置时,PAC的面积最大？并求出此时 P 点的坐标和 PAC 的最大面积 . yDAO B C x8、如图 , 已知抛物线 y 1 x 2 bx c 与 y 轴相交于 C,与 x 轴相交于 A 、B,点 A 的坐标为（2,0）,点 C2的坐标为（ 0,-1 ）. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -