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1、学习必备欢迎下载期末复习一元二次方程与二次函数讲义学生：周金金年级：初三学科：数学上课时间：目标：巩固一元二次方程与二次函数的相关知识与常见例题知识点：考点 1：一元二次方程的概念1、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（） A ax2 bx+c=0 B. k2x5k+6=0 C.3x22x+1x=0 D.( k2 3) x 2 2x+1=0 2、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）2222211.3(1)2(1) .20.0 .21AxxByxC axbxcD xxx考点 2：一元二次方程的解法1. 直接开平方法： 2.配方法： 3.公式法：aacbbx242(b24ac0) 。 4.
2、因式分解法：解方程： (1) 22(23)32x; (2)3y（y-1 ）=2（y-1 ） (3) 3(4x2 9) (2x 3)=0; (4) x26x+8=0 2、已知 m ，n 是关于 x 的一元二次方程x23x+a=0 的两个解，若（m 1） （n1）=6，则 a 的值为3、已知关于x 的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为4、已知方程5x2+kx 10=0 一个根是 5，求它的另一个根为，k 的值5、关于 x 的一元二次方程22(1)2mxxmm30的一个根为x=0，则 m的值为6、已知ba,是方程042mxx的两个根，cb,是方程0582myy的两个根
3、，则m的值为7、若 2x2+3 与 2x-4 互为相反数，则x 的值为 _8、方程02acxcbxba的一个根为9、若yx则yx324,035210、2222222,06b则ababa。11、若142yxyx，282xxyy，则 x+y 的值为12、方程062xx的解为13、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值5一元二次方程解的情况b24ac0方程有两个不相等的实数根；b24ac=0方程有两个相等的实数根；b24ac0方程没有实数根。14、已知关于x的一元二次方程22410 xxk有实数根，k为正整数 . （1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关
4、于x的二次函数2241yxxk的图象向下平移8 个单位， 求平移后的图象的解析式；（3）在（ 2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 请你结合这个新的图象回答：当直线12yxb bk与此图象有两个公共点时，b的取值范围 . 考点 3：根与系数的关系: 韦达定理对于方程ax2bx+c=0(a 0) 来说，1x +2x = ba，1x2x=ca。一元二次方程x2-5x+6=0 的两根分别是x1,x2, 则 x1+x2等于1、已知，是一元二次方程0252xx的两个实数根，则22的值为2、设 x1，x2是方程 x2x2013=0 的
5、两实数根，则= 考点 4：一元二次方程的应用1、为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10 平方米提高到 12.1 平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为2、某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少20 千克，现该商场要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -
6、 - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载 3 、如图，在ABC中， B=90 ， AB=5，BC=7 ，点 P从 A 点开始沿AB边向点 B点以 1cm/s 的速度移动，点Q从 B点开始沿BC边向点 C以 2cm/s 的速度移动 . （1）如果点 P、Q分别从 A、B 两点同时出发， 经过几秒钟， PBQ的面积等于4？（2）如果点P、 Q分别从 A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5？4、 （ 2014?莱芜 ， 第 22 题 10 分 ） 某 市 为 打 造 “ 绿 色 城 市 ” ， 积 极 投 入 资 金 进 行 河
7、 道 治 污 与 园林 绿 化 两 项 工 程 、 已 知20XX 年 投 资 1000万 元 ， 预 计 20XX年 投 资 1210万 元 若 这 两 年 内 平均 每 年 投 资 增 长 的 百 分 率 相 同 （ 1） 求 平 均 每 年 投 资 增 长 的 百 分 率 ；（ 2） 已 知 河 道 治 污 每 平 方 需 投 入 400 元 ， 园 林 绿 化 每 平 方 米 需 投 入200元 ， 若 要 求 20XX 年 河 道 治 污 及 园 林 绿 化 总 面 积 不 少 于 35000平 方 米 ， 且 河 道 治 污 费 用 不少 于 园 林 绿 化 费 用 的 4 倍 ，
8、 那 么 园 林 绿 化 的 费 用 应 在 什 么 范 围 内 ？5、某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10 元/ 千克，月销售量为1000 千克，经市场调查，若将该水果价格调低至x 元/ 千克，则本月份销售量y （千克）与 x （元/ 千克） 之间符合一次函数关系式bkxy，当 x=7 时， y=2000；当 x=5 时， y=4000；（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）已知该种水果上月份的成本价为5 元/ 千克，本月份的成本价为4 元/ 千克，要使本月份销售该种水果所获得利润比上月份增加20% ，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？（
9、利润=售价 -成本价）二次函数1.二次函数的定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 .例：如果函数y=(m 2)x42mm是二次函数 , 求常数 m 的值 . 2.二次函数的解析式三种形式一般式： y=ax2 +bx+c(a0) 顶点坐标（24,24bacbaa）顶点 式：二次 函数cbxaxy2用 配 方法 可化 成：khxay2的形 式（abacabxacbxaxy442222），其中abackabh4422，.khxay2顶点坐标（ h, k ）224()24bacbya xaa交点式12()()ya xxxx对称轴122xxx若二次函数52bx
10、xy配方后为kxy2)2(则b、k的值分别为（）A、 0.5 B、 0.1 C、4.5 D、 4.1 3.二次函数图像与性质（1）抛物线cbxaxy2中，cba,的作用1）a决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同 .2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：对称轴：2bxaa与 b同号（即 ab0）对称轴在 y轴左侧 a 与 b异号（即 ab0 对称轴在 y 轴右侧3)c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置 . 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点 (0，c)：10c，抛物线经过原点 ; 0c, 与y轴交于
11、正半轴；0c, 与y轴交于负半轴 .1已知 =次函数 yax2+bx+c 的图象如图则下列5 个代数式： ac，a+b+c，4a2b+c， 2a+b，2ab 中，其值大于 0 的个数为（）A2 B 3 C、4 D、5 2：函数 y=ax1 与 y=ax2bx1（a0 ）的图象可能是（）y x O 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载xyO11（1,- 2）cbxxy2- 1 3、如图
12、，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12，下列结论： ac0； a+b=0； 4ac b2=4a； a+b+c0. 其中正确的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 44、（ 2015 桂花九义校模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a 0）图象如图，下列结论：abc0；3a+c0； 当 m 1 时， a+bam2+bm； ab+c0；若ax12+bx1=ax22+bx2，且 x1 x2，则 x1+x2=2其中正确的有（）ABCD5、(20XX 年四川资阳 )二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图，给出下列四个结论：4acb20；4a+c2
13、b；3b+2c0；m（am+b）+ba（ m 1） ，其中正确结论的个数是（）A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个6、 （2014?舟山）当 2 x 1 时，二次函数y=（ xm）2+m2+1 有最大值4，则实数m 的值为（）AB或C2 或D2 或或7、如果函数y=（a1）x2+3x+的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a 的取值范围是（2）抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 1）a决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同 . 2 ）求抛物线的顶点、对称轴的方法：1) 公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是
14、），（abacab4422，对称轴是直线abx2. 2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为 (h,k) ，对称轴是hx. 3) 运用抛物线的对称性：当横坐标为x1, x2 ，其对应的纵坐标相等，那么对称轴122xxx1、.二次函数2365yxx的图像的顶点坐标是（）A （-1，8）B.（1，8）C（-1，2）D（1，-4）（3）增减性，最大或最小值当 a0 时，在对称轴左侧（当2bxa时） ，y 随着 x 的增大而减少；在对称轴右侧（当2bxa时） ，y 随着 x 的增大而增大；当 a0 时，函数有最小值， 并且当 x=ab2，2min44acbya；当 a0
15、 时，函数有最大值， 并且当 x=ab2，2max44acbya；1、若二次函数24yaxbx的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0） ， （ -2，0）知，此抛物线的对称轴为直线 x=1 ，此时121,2xx时，对应的y1 与 y2的大小关系是（）A y1 y2 D.不确定2. 如图，已知二次函数cbxxy2的图象经过点（1，0） ， （1， 2） ，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是3. 已知二次函数y=x22x3, 则函数值y0 时, 对应 x 取值范围是. 4. 二次函数522xxy有（）A 最大值5B 最小值5C 最大值6D 最小值6（4）几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数
16、解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0 x(y轴) (0,0) kaxy20 x(y轴) (0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) (5)图像的平移步骤：抛物线 yax2与 ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k 中|a|相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同它们之间的平移关系如下表：ABCD1111xo yyo xyo xxo y名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -
17、 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2()222)()()kkhhxx hxx hyaxkya xhyaxya xh上移后面加左移右移变为（变为（左加右减()2kkyaxk下移后面减上加下减例：二次函数y=ax2+bx+c 的图象向左平移2 个单位 , 再向上平移3 个单位 , 得二次函数y=x22x+1, 求 b 和c. 7.二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc是二次函数2yaxbxc当函数值0y时的特殊情况。二次函数图象与x轴的交点个数：（1） 当
18、240bac时，图象与x轴交于两点1200A xB x，12()xx，其中的12xx，是一元二次方程200axbxca的两根这两点间的距离2214bacABxxa（2） 当0时，图象与x轴只有一个交点；（3）当0时，图象与x轴没有交点 . 1当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2当0a时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y1. 二次函数cbxaxy2的值永远为负值的条件是a0，acb4202. 函数362xkxy的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A3kB03kk且C3kD03kk且3、二次函数的图象如图，对称轴为1x若关于x的一元二次方程02tbxx（为
19、实数）在41x的范围内有解，则的取值范围是( ) A1tB31tC81tD83t4、 （2013 呼和浩特）已知:M、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12yx上，点 N 在直线 y=x+3 上，设点M 的坐标为（ a,b） ，则二次函数y= abx2+(a+b)x A. 有最大值，最大值为92B. 有最大值，最大值为92C. 有最小值，最小值为92D. 有最小值，最小值为928. 用待定系数法求二次函数的解析式 (1) 一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式 . (2) 顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3) 交点式：
20、已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay1.二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴为x=3，最小值为2， ，且过（ 0，1） ，求此函数的解析式。2. 如图，抛物线y=21x2+bx2 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一 1，0） 求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断ABC的形状，证明你的结论；9. 代数与几何的综合例 1：已知抛物线cbxxy2与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、 C 两点，且BC=2 ，SABC=3，则b= ，c= 1、已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象经过点(10)A ，(2 0)B，(02)C，直线xm（2m）与x轴交于点
21、D（1）求二次函数的解析式；（2）在直线xm（2m）上有一点E（点E在第四象限） ，使得EDB、 、为顶点的三角形与以AOC、 、为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示） ；（3）在（ 2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由2、 （2014?黄冈）已知：如图，在四边形OABC中， AB OC ，BC x 轴于点 C，A（1， 1） ，B（3， 1） ，动点也可以关注顶点的位置变化，用顶点式重写解析式.即先写出原来的顶点，再写出移动后的顶点，根据a值不变，即可写名师归纳总结 精品学习资
22、料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载P从点 O 出发，沿着x 轴正方向以每秒2 个单位长度的速度移动过点P 作 PQ垂直于直线OA，垂足为点Q，设点 P 移动的时间t 秒（ 0t 2） ， OPQ 与四边形OABC重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B 三点的抛物线的解析式，并确定顶点M 的坐标；（2）用含 t 的代数式表示点P、点 Q 的坐标；（3）如果将 OPQ 绕着点 P 按逆时针方向旋转90 ，是
23、否存在t，使得 OPQ的顶点 O 或顶点 Q 在抛物线上？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）求出 S与 t 的函数关系式3、(20XX 年四川省绵阳市)如图，抛物线 y=ax2+bx+c （a 0）的图象过点M（ 2，） ， 顶点坐标为N （ 1，） ，且与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于 C点（1）求抛物线的解析式；（2）点 P为抛物线对称轴上的动点，当 PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）在直线AC上是否存在一点Q，使 QBM 的周长最小？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由4、如图，二次函数cxy221的图象经过点D29,3，与 x 轴交于 A、B
24、 两点求c的值；如图，设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分，试证明线段 BD 被直线 AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；设点 P、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使 AQPABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由（图供选用）5、如图，在平面直角坐标系中，二次函数cbxxy2的图象与x 轴交于 A、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（ 3，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点，点P 是直线 BC 下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式（2）连结
25、PO、PC，并把 POC 沿 CO 翻折，得到四边形POP/C， 那么是否存在点P，使四边形POP/C为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由（3） 当点 P 运动到什么位置时， 四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积 .6、 如图 12 已知 ABC 中， ACB 90 以 AB 所在直线为x 轴，过 c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系此名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页
26、 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载时， A 点坐标为（一1 ， 0） ， B 点坐标为（ 4，0 ）（1）试求点C 的坐标（2）若抛物线2yaxbxc过 ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式（3）点 D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线 y=x1 交（ 2）中的抛物线于点E，那么在x 轴上点 B 的左侧是否存在点P，使以 P、B、D 为顶点的三角形与ABE 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由。7、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧） . 已知A点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；
27、（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积 . 8、如图 , 已知抛物线cbxxy221与 y 轴相交于C，与 x 轴相交于A、B，点 A 的坐标为（2，0） ，点 C的坐标为（ 0，-1 ）. （1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点E 作 DEx 轴于点 D，连结 DC，当 DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P，使 ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由. D G H AxyBOCDABCEDxyoABCxyo备用图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -