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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 22.6 三角形的中位线教学目标1、明白三角形的中位线的概念；2、明白三角形的中位线的性质“ 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半” 3 、能应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和运算4、通过定理证明及一题多解, 逐步培育同学的分析问题和解决问题的才能；教学重点、难点：三角形的中位线定理探究与证明,由于其中添加帮助线的方法和思想同学不易把握,是本节教学的难点；教学设想：中位线是三角形与梯形中的一条重要线段,由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连, 因此,它在几何图形的运算及证明中有着广泛的应用；
2、三角形中位线定理不但给出了三角形线段的位置关系,而且给出了线段的数量关系,为平面几何中证明线段平行和线段相等供应了新的思路；结合教材编写思路, 第一要制造性使用教材中的问题情形,把教材中不动的问 题情形转化为同学互动的问题情形, 使同学在互动中去感受； 而有关的一些学问,都是在老师的引导下, 经过同学充分的摸索、 争论,由同学自己归纳、 总结发觉；此外,仍要依据实际情形, 对不同的同学进行有针对性的指导,使不同的同学都 老师只是学 有进展,真正把课堂仍给同学, 使同学真正地变为课堂学习的主人,生学习的引导者和组织者；教学过程 一、创设情境,引入新课如图,为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平
3、地上选一点 A,再分别找出线段 AB、AC的中点 D、E,如测出DE的长,就可以求出池塘的宽BC,你知道这是为什么吗？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -二、合作学习,进展才能：1、动手操作：我们知道将一个三角形怎样分割成一个三角形和一个梯形,只要剪的那条直线平行于三角形的一边就可以提出新的问题： 剪一刀,将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形 纸片求剪得的两张纸片能拼成平行的四边形（1）怎
4、样剪？剪痕的位置有什么要求？（2）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形,可将其中的三角形做怎 样的图形变换？同学动手操作,按“ 中位线” 位置剪开三角形,并拼出平行四边形（留意提示：在拼之前标好各点名称,并且想好大致怎样拼）2、引导同学概括出中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形 的中位线；问题：（1）三角形有几条中位线？ （2）三角形的中位线与中线有什么区分？启示同学得出： 三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点,而三角形中线只有一个端点是边中点, 另一端点上三角形的一个顶点； 并结合三角形中线的定义,让同学明确两者区分,可做一练习,在ABC中,画出中线、中位线3、猜想： DE
5、与 BC的关系？（位置关系与数量关系）依据刚才的操作猜想三、师生互动,探究新知 1、证明你的猜想（引导同学写出已知,求证,并启示分 析）已知： ABC中, D、E 分别是 AB、AC的中点,求证： DE1BC；2同学独立摸索,师生共同完成推理过程,板书证明过程,强调有其他证法；依据刚才操作, 同学简洁想到： 如图,以点 E 为旋转中心, 把ADE绕点 E,按顺时针方向旋转 180,得到 CFE,就 D,E,F 同在始终线上, DE=EF,且ADE CFE；所以证明：延长点 E 至 F, 使 EF=DE,连接 CF 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -
6、- - 第 2 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -易证 ADECFE ADE=F, AD=CF, AB CF；又 BD=AD=CF,四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）,DF BC（依据什么？）, DE1BC；22、进行题后小结：对于一些没能直接进行证明的问题, 我们通常采纳的思想是将它转化为我们 熟识的图形,如上面的证明方法,就是将三角形 的中位线（新学问）转化为平行四边形和全等三角形（旧学问）,进行证明的,当然这个定理的证明方法许多, 关键在于如何添加帮
7、助线； 可以引导同学用不同的方法来证明以活跃同学的思维,开阔同学思路, 从而提高分析问题和解决问题的才能；但也应指出, 当一个命题有多种证明方法时,要选用比较简捷的方法证明；如右图中的帮助线等；我们可以发觉：主要思路仍是进行适当的转化；（l ）延长 DE到 F,使 EF=DE,连结 CF,由 ADE CFE,可得 AD FC；（2）延长 DE到 F,使 EF=DE,利用对角线相互平分的四边形是平行四边形,可得 AD FC；（3）过点 C 作 CF AB,与 DE延长线交于 F,通过证 ADE CFE,可得AD FC；（这个部分由于同学的实际情形准时间关系,复习三角形中位线证明时给以补充）上课时
8、未讲解, 放在其次节课3、启示同学归纳定理,并用文字语言表达：三角形中位线平行于第三边且 等于第三边的一半三角形中位线定理；用符号语言表达：点 D、E 是 AB、AC的中点（或 DE是三角形的中位线）DE1BC（三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半）2为便于同学对定理能更好的把握和应用,可引导同学分析三角形中位线定理的特点,即同一个题设下有两个结论, 第一个结论是说明中位线与第三边的位置关系,其次个结论是说明中位线与第三边的数量关系,在应用时可依据需要来选细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 18 页 - - - - -
9、- - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -用其中的结论（也可以单独用其中结论） ；四、学以致用、落实新知练习 1、课本 P98练习第一题在原题的基础上,（1）在 BC取中点 F,连接 DF,由三角形的中位线定理得DF ,DF= , 就四边形 ADFE是（2）连接 EF,就 EF ,EF= , 可以看出图中的四个三角形用符号标出相等的线段,（3）如 AB=10cm,AC=6cm,就四边形 ADFE的周长为 _cm （4）如 ABC周长为 6cm,面积为 12cm 2, 就 DEF的周长是 _cm, 面积是 _cm 摸索：从今题的练习我们
10、可以看到任意一个三角形有三条中位线假如要 将任意一个三角形分成四个全等三角形,只需要画出三角形的三条中位线 练习 2、请回答引例中的问题（ 1）例题及分析：例 1、如图 ,DE 是ABC的中位线 ,AF 是 BC边上的中线 ,DE 和 AF 交于点 O.求证 :DE 与 AF相互平分； 留意证明的书写, 让同学挑选简洁却严谨的理由书写 A EH D 小结：为什么想到连接B F G C DF,CE 从要证明的结论看可以证明它是一个平行四边形,所以改造平行四边形成为必需；从条件看有两边中点可考虑添加三角形的中位线；练习 3：已知 D为 ABC内一点,点 E、F、G、H分别为 AB、BC、DC、AD
11、的中点；求 证：四边形 EFGH是平行四边形 变式一：如将 AC线段取消,仍能得到刚才的结果吗？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -变式二：如取消 AC,而 D在 BC的另一侧 , 仍能得到同样的结果吗？证明：如图,连接AC； EF是 ABC的中位线,1 2EF1AC（三角形中位线平行于第三边, 且等于第三边一半）；同理,HG2AC； EF HG；四边形 EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的
12、四边形是平行四边形）我们称四边形四个中点连接得到的四边形为 中点四边形 由变式二,我们知道任意四边形得到的中点四边形是平行四边形,如原先的 四边形为矩形, 就得到的中点四边形是什么特别的四边形？如是菱形,正方形？总结得到的四边形关键和原先四边形的什么量有关？（由于时间关系课堂上没有更多的时间争论变式二,放置第三课时总结）五、小结回忆,反思提高1、三角形中位线及三角形中位线与三角形中线的区分；2、三角形中位线定理及证明思路；3、中点四边形的特点小结 六、作业布置：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 18 页 - - - - -
13、- - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -课后反思 本节课基本达到预期的成效, 通过本节课的学习, 同学能懂得三角形中位线 的概念,能通过操作探究三角形中位线的性质定理并且能由操作过程,领悟三角形中位线的性质定理的证明思路和证明过程,能在不同的图形背景下比较快速地找到三角形的中位线, 并运用其性质定理运算和证明有关结论；在教学过程中为便于同学的懂得和提高同学的学习成效,的：我认为课堂上的几个处理是合理且有效（1） 让同学自己操作, 将一个三角形剪成一个梯形和三角形并拼成一个平行四边形,让同学动手, 便于同学直观感受且形成证明定理的添加
14、帮助线的思路,使这一较难的定理证明不至于太难,从而无从下手,也达到了动态几何与静态的平面几何的结合；但在操作中也产生了预期没有想到的问题,由于预期估量同学对于在哪里剪不会有什么问题,也期望同学能自己动脑而不是老师说同学无摸索的操作,所以剪之前提示较少, 有的同学在剪的时间花费较多； 仍有操作中同学尽管知道要从边的中点剪开,但动手 才能不足, 真正剪时却不是中点, 从而导致拼不出平行四边形； 也有同学 将图形剪开之后, 对于如何拼有困惑, 没有多少思维指导, 只是凭借试出 结果；仍有同学对于操作关于关注, 操作完成了仍有的同学不能从中转移 到后面的学习, 这与 1 班孩子对于新奇事物易关注有关,
15、也和平常教学涉 及动手机会少有肯定的关系； 为防止以上情形, 第一让同学做好一个三角 形,将其中两边涂成不同颜色,上课时让同学摸索如何剪并且达成共识,应当从两边的中点处剪开,剪开之前先考虑如何拼,先有肯定的预见性,当操作完成, 对于简洁沉迷于操作的同学, 可以让他们展现自己的劳动成 果,之后让全部同学将剪刀及纸片全保藏好；（2）对于三角形的中位线的性质定理应用练习及例题支配比较合理：第始终接应用,做书本98 页练习 1,对三角形中位线定理的直接应用,让同学数学三角形中位线数量关系熟识,之后将此题延长, 三边中点连成的三角形的讲解我认为仍是不错的：细心整理归纳 精选学习资料 （1）在 BC取中点
16、 F,连接 DF,由三角形的中位线定理得DF ,DF= , 第 6 页,共 18 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -就四边形 ADFE是,并说明理由；（2）连接 EF,就 EF ,EF= , 四个三角形用符号标出相等的线段,可以看出图中的（3）如 AB=10cm,AC=6cm,就四边形 ADFE的周长为 _cm （4）如 ABC周长为 6cm,面积为 12cm 2, 就 DEF的周长是 _cm, 面积是_cm 其中（ 1）（2）的支配,让同学熟
17、识在三角形中位线不是水平放置时,能娴熟地看到三角形的中位线并直接应用它的性质定理,同时可以很清晰地看到三边中位线连成的三角形与原三角形在周长及面积上的关系；在小结时可以加一问：任意三角形的任意一条中位线将原三角形分成面积 之比为 的两部分,也就是说我们刚才的操作所得到的两部分面积比是一个 确定的数；其次,例题 1 支配是沿袭第一题的体会,目的培育同学说理的才能,能将 直观结论通过规律演绎证明, 这对于初学三角形中位线定理是很有必要,在练习中果真有许多同学不知如何表达,会将题中的条件分别写出； 鉴于这个缘由, 教学中这题只需同学有大体摸索之后,老师将正确合理的理由书写板书,以防止学生的先入为主的
18、错误习惯形成, 养成好的证明的方法, 此题证明平行四边形方法 可以多种；练习 2 支配主要让同学在图形比较复杂的情形下敏捷娴熟地使用三角形的 中位线定理, 而后的变式练习是进一步让同学把握使用三角形中位线定理,让学 生知道在解题中牢牢抓住查找中位线并找出第三边,必要的时候要添加帮助线；这样的逐步加深, 利于同学的思维进展, 既让同学学会明白决问题的方法,也提 高明白决问题的才能；在教学中由于自己的紧急心情,从而影响到同学的投入状态,尽管在教与 学的过程中没有失误, 也基本落实了教学目的, 但总体感觉同学的学习热忱与平 时比较有所欠缺, 这仍需要自己在教学中提高自己的临场教学状态,引领同学全 力
19、投入,上出自己和同学都认为特别出色的公开课；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -部分补充习题：（网上下载）典型例题例、如图,已知：在中,D、E、F 分别为 BC、AD和 AB的中点,已知的周长为. 求：的周长 . 分析：由于 D、E、F 分别是三角形三边的中点, 所以 DE、DF、EF都是的中位线 . 那么依据三角形的中位线的性质,可知它们的长度分别为第三边的一半,所以的周长为的一半 . 第 8
20、页,共 18 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解答： D、E是 BC和 CA的中点,DE是的中位线,. 同理,. 的周长为. 说明三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段,它不同于三角形的中线,要分清晰三角形的中位线和中线的区分和联系那么三角形的中位线定理提供了三角形中的线段的关系,解题时要留意运用这一关系选题角度：主要侧重两点：一、有助于训练同学思维；二、有助于同学参加 习题精选 一、挑选题 1顺次连结平行四边形
21、各边中点所得的四边形肯定是（）A菱形 B矩形 C梯形 D平行四边形2一个梯形的中位线长为,两对角线相互垂直,就这梯形的高为（）A BCD不能确定其大小（）3已知三角形的三条中位线分别为,就这个三角形的周长是ABCD4如等腰梯形两底角为,腰长为,高和上底相等,那么梯形中位线长为（）ABCD（）5（北京市昌平区）假如梯形一底长为 6,中位线长为 8,那么另一底长为A14B10C8D4 6（南通市）假如,梯形 ABCD中,EF是中位线,就 BC的长是（）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 18 页 - - - - - - - - -
22、 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ABCD7（威海市）下面有三种说法：任意四边形两组对边中点的连线相互平 分；任意三角形的一条中位线与第三边上的中线相互平分；梯形的两条对角线可能相互平分；正确选项（）A B C D 二、填空题 1（山东省菏泽地区）直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形,其中一个是等边三角形,假如它的中位线长为 2（泉州市）已知梯形上、下底长分别为,那么它的下底长是 _. 3 和 5,就中位线长为 _. 3（北京市石景山区）假如梯形的上底长与下底长的比为,中位线的长为 24,那么梯形的下底长为 _. 4（江西省）如图,等腰梯
23、形 ABCD中,于点 E,就这个梯形的中位线长为 _ . 5（龙岩市、宁德市）如图,EF是 的中位线, BD平分 交 EF于 D,如,就_. ABCD中,中位线 EF交对6（北京市石景山区）如图,在梯形角线 BD于点 O,且,就_. 第 10 页,共 18 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -7（青海省）等腰梯形中,已知一个底角是,高为,中位线长为,就梯形的上底长是 _. 8（绍兴市）如图,梯形ABCD中,F. 如,就
24、,点 E在 DC上, AE、BC的延长线相交于点的值是 _. 9（天津市）如图,梯形 ABCD中,对角线,且,就该梯形的中位线的长等于_. ,就该梯形10（徐州市）如图,在梯形ABCD中,的中位线长为 _,如,且,就 EF的长为 _. 第 11 页,共 18 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -11（安徽省）如图,在中,是 AB边的五等分点,是 AC边的五等分点,就_. 12（江西省）如图,要测量A,B两点间距离,在
25、O点设桩,取 OA中点 C,OB中点 D,测得 米,就 _米. 13（湖州市）如图,已知直角梯形 ABCD的中位线 EF的长为,垂直于底的腰 AB的长为,就的面积等于 _. 三、解答题1如图,等腰梯形 ABCD中,中位线 EF交 AC于 G,且 AC平分,. 求梯形 ABCD的周长 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2如图,在梯形 ABCD中,的中点 . ,E,F 分别是对角线 AC,BD
26、求证：四边形 ADEF是平行四边形 . 3（哈尔滨市） 如图,已知 MN是梯形 ABCD的中位线, AC,BD与 MN交于 F,E,4已知：如图,求 EF的长. ,中, C是 DB上一点,且 . 求证：且5已知：如图,中, AD为中线,过 B 的直线交 AD于 F,交 AC于 E,. 求证：. 6已知：如图,中, E 是 BC的中点, D是 CA的延长线上的一点,DE交 AB于 F. 求证：. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -
27、 - - - - - - - - -7（泰州市）求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线相互平分（如图）8如图,梯形 ABCD中,的平分线 CE交 AB的中点 E. 求证：. 9如图,四边形 ABCD中,对角线 AC,BD交于 O,已知,M,N分别是 AD,BC中点, MN与 AC,BD分别相交于 E,F. 求证：. ,中线AD延长线交于,10如图,和形外直线细心整理归纳 精选学习资料 ,为垂足 ., 第 14 页,共 18 页 求证：. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -
28、- - - - - - -11如图,中,BM,CN平分,的外角,于 M,于 N. 求证：. ,且12（黄冈市）如图,在梯形ABCD中,BD平分,如梯形的周长为中,求此梯形的中位线长 . 13（济南市）如图,. 如,分别是 AB,AC的中点,就如,；分别是、的中点,就；如,分别是、的中点,就； 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如,分别是、的中点,就_（,且为整数）14（绍兴市）如图,某斜拉桥的
29、一组钢索共五条,它们相互平行,钢索与桥面的固定点,中,每相邻两点等距离 . （1）问至少需知道几条钢索的长,才能运算出其余钢索的长？（2）请你对（ 1）中需知道的几条钢索长给出详细数值,并由此运算出其余钢索的长 . 提高：如图,已知：在四边形 ABCD中,AD、BC不平行, E、F 分别是 AB、CD的中点；求证： EFEF,1 BC+1 ADEF,即 EF1（AD+BC）2 2 2说明：构造中位线的方法如能恰当使用,能使证题走上捷径 . 参考答案：一、 1D2A3B4C5B6C7B 二、 1243324452616 11127830,489102,13细心整理归纳 精选学习资料 - - -
30、- - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -三、 12先证,就,又,故结论成立 . 3解： MN是梯形 ABCD的中位线,就. . 同理. . 在中,；在中,4解法 1：延长 AC至 G,使,连结 DG；解法 2：取 AD的中点 E,连结 CE 5解法 1：取BE中点M,连结DM,解法 2：取 EC中点 M,连结 DM 6证法 1：如图,取 AC的中点 G,连结 EG. ,. . 又 E,G分别是 BC,AC的中点,即证法 2：如图,过点 E
31、作与 AB交于 H. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页,共 18 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -E是BC中点,H是AB的中点 . 又,. ,7证8连 DE,取 CD中点 F,连 EF,先证是,就,而,9取 AB中点 G,连 MG,NC 10作 于 11延长 AM,AN分别交 CB,BC的延长线于 E,F,证 MN是 的中位线 1213细心整理归纳 精选学习资料 14（ 1）2 条；（ 2）取,就 第 18 页,共 18 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -