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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学 必修 1 学问点第一章 集合与函数概念【1.1.1 】集合的含义与表示（ 1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . （2）常用数集及其记法N 表示自然数集,N或 N表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集 .（3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 M 的关系是 aM ,或者 aM ,两者必居其一. （4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合 . 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 . 描述法： x | x 具有的性质 ,其中 x 为集合的代表元素 . 图
2、示法：用数轴或韦恩图来表示集合 .（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集. 【1.1.2 】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质n1示意图A非ABA 中的任一元素都属1AA ABB2A子集（或于 B 3如AB且 BC ,就 ACBA或4如AB且 BA ,就 ABAB AB,且 B 中至（1）A （ A 为非空子集）BA2真子集2如 AB且BC,就AC少有一元素不属于A （或 BA）A 中的任一元素都属AB集合AB1AB 于 B,B 中的任一元素相等2BA 都属于 A 个非空子集,它有2n（7）已知
3、集合 A 有 n nn 个子集,它有 2n1个真子集,它有 21个元素,就它有 2空真子集 . 【1.1.3 】集合的基本运算名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - （8）交集、并集、补集名称记号意义A （ 1） AA AUA性质e UA UA示意图Bx xA 且AB交集（ 2） ABAxB （ 3） AABB并集ABx xA 或（ 1） AAA2AAB（ 2） AABxB （ 3） AAABB1Ae U补集e UAx xU,且x痧 UAB A. UB 痧 UABUA. UB 【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式
4、的解法（1）含肯定值的不等式的解法|axb|不等式b0c c0把 ax解集x|a,x|a ax|axa |x|a a0x xa 或xa b 看 成 一 个 整 体 , 化 成 |c ax|x|a a0型不等式来求解（ 2）一元二次不等式的解法判别式b24ac000二次函数名师归纳总结 y2 axbxc a0x 1,2b2 b4 acx 1|x 2bO第 2 页,共 45 页的图象一元二次方程2 axbxc0 a02 a无实根2a2 ax的根0（其中x 1x 2xxRbbxc0 ax xx 或xx 22a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的解集2 axb
5、xc0 a0x x 1xx 2的解集1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（1）函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集合 B 中都有唯独确定的数f x和它对应,那么这样的对应（包括集合A,B以及A到B的对应法就f）叫做集合A到B的一个函数,记作f:AB函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法设 a b 是两个实数,且 a b ,满意 a x b 的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 , a b ；满意 a x b 的实数 x 的集合叫做开区间
6、,记做 , a b ；满意 a x b ,或 a x b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 , , , ；满 足 x , a x , a x , b 的 x 实 数 b x 的 集 合 分 别 记 做 , , a , , , , , b 留意： 对于集合 x a x b 与区间 , a b ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必需a b （3）求函数的定义域时,一般遵循以下原就：f x 是整式时,定义域是全体实数1f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量
7、时,底数须大于零且不等于ytanx 中,xk2kZ零（负）指数幂的底数不能为零如f 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知f x 的定义域为 , a b,其复合函数f g x 的定义域应由不等式ag x b解出对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值 求函数最
8、值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与 最值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值判别式法：如函数yf x 可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a y x2b y xc y 0,就在a y 0时,由于,x y为实数,故必需有b2 4 c y 0,从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最
9、值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值 问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法【1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法： 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法： 就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念设 A 、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就 f ,对于集合 A 中任何一个元素,在
10、集合 B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应 （包括集合 A ,B 以及 A 到 B 的对应法就 f）叫做集合A到B的映射,记作 f : A B给定一个集合 A到集合B的映射,且 a A b B 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素 b 叫做元素 a的象,元素 a 叫做元素 b 的原象1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性 定义及判定方法名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数的定义图象判定方法性 质函数的假如对于属于定义域I内某yy=fXfx xx（ 1）利用定
11、义个区间上的任意两个自变量（ 2）利用已知函数的的值 x 1、x2, 当 x1 x2时,都单调性o（ 3）利用函数图象 （在有fx1fx2, 那 么 就 说fx fx在这个区间上是 增函数某个区间图x1x2象上升为增）（ 4）利用复合函数单调性假如对于属于定义域I内某yy=fX（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的个区间上的任意两个自变量ofx 单调性的值 x1、 x2,当 x1fx2, 那 么 就 说某个区间图fx在这个区间上是 减函数x1x 2象下降为减）（ 4）利用复合函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为
12、减函数对于复合函数yf g x ,令ug x ,如yf u 为增,ug x 为增,就yf g x 为增；如yf u 为减,ug x 为减, 就yf g x 为增； 如yf u 为增,ug x 为减, 就yf g x 为减；如yf u 为减,ug x 为增,就yf g x 为减y（2）打“ ” 函数f x xaa0的图象与性质xf x 分别在 ,a、a,上为增函数, 分别在 a,0、0,a上为减函数（3）最大（小）值定义一般地,设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 M 满意：（ 1）对于任意的 xI ,都有f x o最大值,xf x M ；（ 2）存在0xI ,使得f x 0M 那么,
13、我们称 M 是函数f 的记作fmax M m；（ 2）一般地, 设函数yf x 的定义域为 I ,假如存在实数 m 满意：（1）对于任意的 xI ,都有存在0xI ,使得f x 0m 那么,我们称 m 是函数f x 的最小值,记作fmax m 【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性定义及判定方法名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数的定义图象判定方法性 质假如对于函数 fx 定义域内（ 1）利用定义（要先任意一个 x,都有 fx=判肯定义域是否关于fx,那么函数 fx 叫做 奇函原点对称）数（ 2）利用图象（图象
14、关于原点对称）函数的奇偶性假如对于函数fx 定义域内（ 1）利用定义（要先任意一个 x,都有 fx=fx,判肯定义域是否关于那么函数 fx 叫做 偶函数原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）如函数f x 为奇函数,且在x0处有定义,就f00奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问函数的图象（1）作图 利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质（奇偶性、单
15、调性）画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、 反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换yf x h0, 左移 个单位 h0, 右移 | h | 个单位yfxhyf k0, 上移0, 下移 |k 个单位k | 个单位yf x khk伸缩变换yf x 01, 伸1, 缩yfxyf x 0A 1, 缩A 1, 伸yAf 对称变换yf x x 轴yf x yf x y 轴yfx 1 yf x 直线y xyf原点yfx yf x yf x 去掉 轴左边图象 y保留 轴右边图象,并作其关于 yy 轴对称图象yf|x|yf x 保留
16、 轴上方图象 x将 轴下方图象翻折上去 xy|f x |（2）识图名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于给定函数的图象,要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,留意图象与函数解析式中参数的关系（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质,为争论数量关系问题供应了“ 形” 的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法其次章基本初等函数2.1 指数函数【 2.1.1 】指数与指数幂的运算（1）根式的概念假如 x n a a R x R
17、n 1,且 n N ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符号na 表示；当 n是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 n a 表示； 0 的 n次方根是 0；负数 a 没有 n次方根a式子n a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数当n 为奇数时, a 为任意实数；当 n 为偶数时,0根式的性质： n ana；当n为奇数时,nana；当n为偶数时,nan|a|aa a0 a0 （2）分数指数幂的概念m正数的正分数指数幂的意义是：annm aa0,m naN,且n10 的正分数指数幂等于0正数的负分
18、数指数幂的意义是：am1mn 1 ma0,m nN,且n10 的负分数指数幂nna没有意义留意口诀： 底数取倒数,指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质r as aarsa0, , r s0,R R r asars a0, , r sR r ab r a bra0,br【2.1.2 】指数函数及其性质（4）指数函数函数名称定义y1a函数yaax a指数函数1叫做指数函数a10且a图象10yyxyaxyy10,10,1名师归纳总结 OxOx第 7 页,共 45 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定义域 R值域0,0时,y1过定点图象过定点 0,1 ,即
19、当x奇偶性非奇非偶在 R 上是减函数在 R 上是增函数单调性函数值的ax1 x0ax1 x0ax1 x0ax1 x0变化情形a 变化对图象的影响ax1 x0ax1 x0在第一象限内, a 越大图象越高；在其次象限内,a 越大图象越低2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（1）对数的定义如axN a0,且a1,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作xlog aN ,其中 a 叫做底数, N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlogaNaxN a0,a1,N0（2）几个重要的对数恒等式log 1 a0, logaa1, logaabb （3）常用对数与自然对数名师归纳总结
20、 常用对数： lg N ,即log10N ；自然对数： ln N ,即 log e N （其中e2.71828, ） 第 8 页,共 45 页（4）对数的运算性质假如a0,a1,M0,N0,那么logaNlogaM加法： log aMlogaNlog aMN减法： logaMN数乘：nlogaMlogaMnnR aloga NN- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - loga bMnnlogaM b0,nR换底公式：logaNlogbNb0,且b1blogba【2.2.2 】对数函数及其性质（5）对数函数函数yx函数y对数函数1叫做对数函数11logax名称
21、定义logax a0且aa10a1ylogaxyxy图象 1,0定义域O1,0x0,Ox值域R1时,y0过定点图象过定点 1,0 ,即当x奇偶性非奇非偶在 0, 上是减函数在 0, 上是增函数单调性函数值的logax0 x1logax0 x1logax0 x1logax0 x1变化情形a 变化对图象的影响logax0 0x1logax0 0x1在第一象限内, a 越大图象越靠低；在第四象限内,a 越大图象越靠高6 反函数的概念设函数yf x的定义域为A,值域为C,从式子yf x 中解出 x ,得式子xxf 假如对于 y 在 Cy中的任何一个值,通过式子x , x 在 A 中都有唯独确定的值和它
22、对应,那么式子 表示 x 是 y 的函数,函数x 叫做函数yf x 的反函数,记作xf1 y ,习惯上改写成1 x （ 7）反函数的求法名师归纳总结 确定反函数的定义域,即原函数的值域；从原函数式yf x 中反解出xf1 y ；第 9 页,共 45 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 将xf1 改写成yf1 x ,并注明反函数的定义域（ 8）反函数的性质原函数 y f x 与反函数 y f 1 x 的图象关于直线 y x 对称函数 y f x 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 x的值域、定义域如 P a b 在原函数 y f x 的图象上,就
23、P b a 在反函数 y f 1 x 的图象上一般地,函数 y f x要有反函数就它必需为单调函数2.3 幂函数（1）幂函数的定义一般地,函数yx叫做幂函数,其中x 为自变量,是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限图象关于 y 轴对称 ；是奇函数时,图象分布在第一、三象限图象关于原点对称；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限 名师归纳总结 过定点：全部的幂函数在0,都有定义,并且图象都通过点1,10 ,就幂函数的图象在0,第 10 页,共 45 页单调性： 假如0 ,就幂函数的图象过原点,
24、并且在 0,上为增函数 假如- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与 y 轴奇偶性：当为奇数时,幂函数为奇函数, 当为偶数时,幂函数为偶函数 当xq（其中pp q互质,p和qZ ）,qq如 p 为奇数 q 为奇数时,就yxp是奇函数,如p为奇数q为偶数时,就yp是偶函数,如p为偶数q为奇数q时,就yxp是非奇非偶函数,当11 时,如 0x1,其图象在直线yx下方,如x1,其图图象特点：幂函数yx,x0,象在直线 yx上方,当1时,如 0x,其图象在直线yx上方,如x1yx下方,其图象在直线补充学问二次函数（1）
25、二次函数解析式的三种形式一般式：f x 2 axx 2bxc a0顶点式：f x a xh 2k a0两根式：f x a xx 1xa0（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时,宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时,常使用顶点式如已知抛物线与x轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求f x 更便利（3）二次函数图象的性质名师归纳总结 二次函数f x 2 axbxc a0的图象是一条抛物线,对称轴方程为xb,顶点坐标是时,第 11 页,共 45 页2ab,4 acab22 a4xb当a0时,抛物线开口向上,函数在,b上递减,在 b,上递增,当2 a2a2af
26、min 4acb2；当a0时,抛物线开口向下,函数在,b上递增,在 b,上递减,当4 a2a2axb时,fmax 4acab22a4二次函数f x 2 axbxc a0当b24ac0时,图象与 x 轴有两个交点M x 1 ,0, 1 M x 2 ,0,| 2 M M 1 2| |x 1x 2| |（4）一元二次方程ax2bxc0 a0根的分布- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分学问在中学代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用,下面结合
27、二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布设一元二次方程ax2bxc0a0的两实根为x x ,且x 1x 令f x 2 axbxc ,从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a对称轴位置：xb判别式：端点函数值符号2a kx1 x2fk0Oyxa0fkx 10Oyxbx2akx 1x 2xx 2bka02a x1x2ka0Oyxfk0ax 1ybx0x2ax2kxOkx 1x 2b0fk2a x1k x2Oykaf k 0 x 1yf k0a0x 1O kx 2x 2xxfk0a0 k1x1x2k2名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 45 页精选学习资料 -
28、- - - - - - - - yfk10fa00yxbk22aOk 11xx2k 2xOk 1x 1a00x 2k2x00,并同时考虑f k1=0 或 f k2=0 这有且仅有一个根xbfk1fk 22 af k1 fk2x1（或 x2）满意 k1 x1（或 x2） k2两种情形是否也符合yk 1fk10a0Oyfk10k20O1xk2x 2xx 1k 1x 2xfk20a0fk2 k1x1k2p1 x2 p2此结论可直接由推出（5）二次函数f x ax2bxc a0在闭区间 p q 上的最值pqbq,就mf q x设f x 在区间 p q 上的 最大值为 M ,最小值为 m ,令x 01
29、2（）当a0时（开口向上）b如如bp,就mf 如pbq,就mf2a2a2a2af如bx 0fxpfOqf pOxqOfp b2 afbfbfqffb2a2ax 0,就M,就Mf q 2a2 a名师归纳总结 O0x qfxp x 0ffObx第 13 页,共 45 页ffqf p b2 a2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当a0时 开口向下 如bp,就Mf 如pbq,就Mfb如bq,就Mf q x2a2a2a2afbfpffbqff b2a如2a2apOfxOfxfOqqpbx 0,就mf q bx 0,就mf 2a2apfOfbqfxx 0qff
30、bx2a2ax 0Opf第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念： 对于函数yfxxD,把使fx0成立的实数 x 叫做函数yfxxD的零点；yf x 的零点就是方程fx0实数根, 亦即函数yfx的图象与 x 轴交2、函数零点的意义： 函数点的横坐标；即：函数yfx的图象与 x 轴有交点函数yfx有零点方程fx0有实数根3、函数零点的求法：求函数yfx的零点：1 （代数法）求方程fx0的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数yfx的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：名师归纳总结 二次函数yax2bxc ac0 第 14 页,共 45 页0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零） ,方程ax2bx点） ,方程 ax 2bx有一个二重零点或二阶零点c0有两相等实根（二重根） ,二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数） ,方程ax2bxc0无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学 必修 2 学问点第一章 空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特点 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原就：