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1、2009年8月第3期吉林师范大学学报(自然科学版)Journal of Jilin Normal University(Natural Science Edition).3Aug.2009Logistic模型的模型的Matlab计算与可视化计算与可视化张双红(吉林师范大学 数学学院,吉林 四平136000)摘摘要要:探讨了Logistic模型的Matlab计算及其可视化问题,尤其是迭代收敛过程蛛网图形的可视化,将Logistic模型差分形式从收敛、分叉到混沌的过程直观的展现出来.关键词关键词:Logistic模型;差分方程;Matlab;可视化中图分类号中图分类号:O242文献标识码文献标识码
2、:A文章编号文章编号:1674238732(2009)03200972030 0引言引言Logistic模型(1)在种群系统中有着广泛的应用.实际问题若涉及时间段时则其差分形式(2)比连续时间更符合实际.dxx=rx(1-)dtNxk+1-xk=rxk(1-xk),k=0,1,N(1)(2)取N=1,x0=0.1,r=0.3,1.8,2.5,按照迭代方程(2)利用Matlab计算xk并画图(如图1),可以看到序列 xk并不是总收敛的,并且对初值具有敏感性1.图图1 1LogisticLogistic模型差分形式的模型差分形式的MatlabMatlab模拟模拟1 1LogisticLogisti
3、c模型的简化差分形式与迭代可视化模型的简化差分形式与迭代可视化若令b=r+1,yk=(x,则(2)式简化为如下非线性差分方程r+1)Nkyk+1=byk(1-yk),k=0,1,r(3)取初始值为0.2,并选取不同的b值利用Matlab进行数值计算,结果我们可以看到当b=3.3,b=3145,b=3.55时迭代序列分别收敛到2个,4个,8个极限点(如表1),呈现2n倍周期收敛的情形.对于Logistic模型简化差分形式(3)的收敛性,可以利用计算机直接进行模拟2,也可以通过蛛网图形来直观展现这一过程.编写Matlab程序对于相同初始值,不同的b和迭代次数进行蛛网迭代(如图2).显然图2中(a)
4、和(b)迭代序列收敛到一个不动点,(c)收敛到两个不动点,(d)收敛到4个不动点,(e)收敛到8个不动点,与数值计算结果是一致的.收稿日期收稿日期:2009206223基金项目基金项目:四平市科技发展计划项目(200922010)()作者简介作者简介:张双红19782,女,吉林省四平市人,现为吉林师范大学数学学院讲师,硕士.研究方向:数学研究与教学.97表表1 1LogisticLogistic模型简化差分形式的数值计算模型简化差分形式的数值计算kb=1.7b=2.6b=3.3b=3.45b=3.5501230.200 00.272 00.336 60.379 60.200 00.416 00
5、.631 70.604 90.200 00.528 00.822 40.482 00.200 00.552 00.853 20.432 20.200 00.568 00.871 10.398 79192939495969798991000.411 80.411 80.411 80.411 80.411 80.411 80.411 80.411 80.411 80.411 80.615 40.615 40.615 40.615 40.615 40.615 40.615 40.615 40.615 40.615 40.479 40.823 60.479 40.823 60.479 40.823 6
6、0.479 40.823 60.479 40.823 60.432 70.846 90.447 40.853 00.432 70.864 90.447 40.853 00.432 70.864 90.354 80.812 70.540 50.881 70.370 30.827 80.506 00.887 40.354 80.8127图图2 2不同不同b b值迭代蛛网图形和迭代序列极限点值迭代蛛网图形和迭代序列极限点983 3分叉与混沌现象的可视化分叉与混沌现象的可视化当b=3.9时,迭代8次,迭代序列既不收敛也不呈现周期性(如图2(f),即便迭代多次(如图2(g)也不再具有任何有规律的行为,即
7、产生混沌(Chaos)现象,蛛网图形轨道不再是任何稳定的周期轨道,在区间中跳来跳去,在区间的任何一个子区间都会出现无数次,这就是混沌的遍历性.对不同的b值画出迭代序列的极限点,或者加密b的取值生成Feigenbaum图3(如图3),可以直观地看到迭代序列收敛性呈一分二,二分四,分岔直至混沌的现象.图图3 3不同不同b值对应的迭代极限和加密值对应的迭代极限和加密b值得到值得到FeigenbFeigenb aumaum图图参参考考文文献献1 姜启源等.大学数学实验M.北京:清华大学出版社,2005.2 郑洲顺等.Logistic阻滞增长模型的计算机模拟J.计算机工程与应用,2002,(23),37
8、39.3 周晓阳.数学实验与MatlabM.武汉:华中科技大学出版社,2002.4 阎慧臻.Logistic模型在人口预测中的应用J.大连工业大学学报,2008.5 杨喜庆,王迎春,于继杰.Logistic模型在黑龙江总人口预测中的应用J.黑龙江生态工程职业学院学报,2009.6 潘龙.现阶段我国城市人口规模预测方法探讨J.安徽建筑工业学院学报,2001.7 陈兰荪.数学生态学模型与研究方法M.北京:科学出版社,1988.C Calculationalculation andand VisualizationVisualizationofof LogisticLogistic ModelMod
9、el byby usingusing MatlabMatlabZHANG Shuang2hong(Collegeof Mathematics,Jilin NormalUniversity,Siping 136000,China)AbstractAbstract:Thispaper discusses the calculation and visualizationof Logistic model by using Matlab,in particular thespiderwebvisualizationprocessof iteration dem onstrated intuitivelythe differenceformsofLogisticmodel fromthe con2vergenceto bifurcationand chaos.K Keyey w wordsords:Logisticmodel;differenceequation;Matlab;visualization99