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1、华北电力大学（保定）硕士学位论文一类动力系统实用稳定域的研究及在电力市场中的应用姓名：肖倩申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：杨玉华20081216华北电力大学硕士学位论文摘要摘要稳定性理论主要是研究在时间趋于无穷时微分方程解的性态。它不仅在研究某些系统的稳定性时发挥着重要的作用，而且在自然科学、工程技术、环境生态和社会经济等方面都有广泛的应用。本文的主要工作有以下几个方面：第一，介绍了实用稳定域，实用稳定域估计和关于设定时间实用稳定域估计的有关知识。第二，通过构造L y a p u n o V 函数与不等式相结合的方法，研究了一类非线性动力系统实用稳定域估计以及一类非线性时滞系统实用稳
2、定域估计，给出构造具体系统实用稳定域估计的具体方法。第三，利用L y a p u n o v 函数，讨论了一类差分方程及一类带时滞差分方程的实用稳定域估计，给出了系统存在实用稳定域估计的判别条件。文中所给出的条件简单，使用方便，改进了已有文献的结果。第四，从理论上讨论了电力市场的稳定性。关键词：实用稳定域，实用稳定域估计，电力市场A B S T R A C TS t a b i l i t yt h e o r yi sc o n c e m e dw i t ht h es t a t eo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h e nt i
3、m ea p p r o a c hi n f i n i t y N o to n l yi nr e s e a r c h，t h es t a b i l i t yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e，b u a l s oj nn a t u r a ls c i e n c e，e n g i n e e r i n g，e n v i r o n m e n ta n ds o c i o e c o n o m i c，i th a sb r o a da p p l i c a t i o n F b l l o w i n gr c s
4、 u n sa r co b t a i n e d：F i r s t l y，w ei n t r o d u c et h e 他l a t e d 蠹m o w l e d g eo fp r a c t i c a ls t a b i l i t yd o m a i n，t h ee s t i m a t eo fp r a c t i c a ls t a b i l i t yd o m a i na n dt h ee s t i I I l a t e so fp r a c t i c a ls t a b i l i t yd o m a i nw i t l lt
5、 i l l gt i I 鹏t S e c o n d l y b yL y a p u n o vm e t h o d 龃di n e q u a l i t i e s，t h ee s t i m a t eo fp r a c t i c a ls t a b i l i t yd o m a i n so nak i n do fn o n-l i n e a fd y n a m i c a ls y s“ma n dt h ee s t i m a l eo fp r a c t i c a ls t a b i l i t yd o m a i n so nak i n d
6、o fn o n-l i n e a ft i m ed e l a ys y s t e mw 嬲s t u d i e d，a n dt l l ew a yt 0c o n s t m c tt h ee s t i m a t eo fp r a c t i c a ls t a b i l i t yd o m a i n so fas y s t e mw a sg i V e n T h i r d l y，b yL y a p u n o vf u n c t i o n，d i s c u s s e dt h ep r a c t i c a ls t a b i l i
7、t yd o m a i n so nak i n do fd i s c f e t ee q u a t i o na n dt h ep r a c t i c a ls t a b i l i t yd o m a i n so nak i n do fd i s c r e t ee q u a t i o nw i t ht i m ed e l a y T h ec o n d i t i o n si se a s ya n dc o n V e n i e n t，a n di m p r o V e dt h er e s u l t si nt h ep f o c e
8、e d i l l gl i t e r a t u r e A tl a s t，t h es t a b i l i t yo fe l e c t r i c i t ym a r k e tm o d e lw a sd i s c u s s e di nI h eb a s eo ft h e o r i e s x i a o0 i a n(A p p l i e dm a t h e m a t i c s)D i r e c t e db yp r o f 1 Y h n gY u h u aI【E YW O R D S：P r a c t i c a Is t a b i
9、t y，e s t i m a t e so fp r a c t i c a Is t a b i U t yd o m a i n s，E I e c t r i c i t ym a r l e t华北电力大学硕士学位论文摘要摘要稳定性理论主要是研究在时间趋于无穷时微分方程解的性态。它不仅在研究某些系统的稳定性时发挥着重要的作用，而且在自然科学、工程技术、环境生态和社会经济等方面都有广泛的应用。本文的主要工作有以下几个方面：第一，介绍了实用稳定域，实用稳定域估计和关于设定时间实用稳定域估计的有关知识。第二，通过构造L y a p u n o v 函数与不等式相结合的方法，研究了一类非线性
10、动力系统实用稳定域估计以及一类非线性时滞系统实用稳定域估计，给出构造具体系统实用稳定域估计的具体方法。第三，利用L y a p u n o v 函数，讨论了一类差分方程及一类带时滞差分方程的实用稳定域估计，给出了系统存在实用稳定域估计的判别条件。文中所给出的条件简单，使用方便，改进了已有文献的结果。第四，从理论上讨论了电力市场的稳定性。关键词：实用稳定域，实用稳定域估计，电力市场A B S T R A C TS t a b i l i t yt h e o r yi sc o n c e m e dw i t ht h es t a t eo fd i f：f e r e n t i a le
11、 q u a t i o nw h e nt i m ea p p r o a c hi n f i n i t y N o to n l yi nr e s e a r c h，t h es t a b i l i t yp l a y sa ni m p o r t a n tr o l e，b u a l s oi nn a t u r a ls c i e n c e，e n g i n e e r i n g，e n v i f o n m e n ta n ds o c i o e c o n o m i c，i th a sb r o a da p p l i c a t i o
12、 n F b l l o w i n gr e s u n sa r co b t a i n e d：F i r s t l y w ei n t r o d u c et h e 他l a t e d 蛔o w l e d g eo fp r a c t i c a ls t a b i l i t yd o m a i n，t h ee s t i m a t eo fp r a c t i c a ls t a b i l i t yd o m a i na n dt h ee s t i I I l a t e so fp r a c t i c a ls t a b i l i t
13、 yd o m a i nw i t l lt i l l gt i I 鹏t S e c o n d l y b yL y a p u n o Vm e t h o d 龃di n e q u 拙i e s，t h ee s t i m a t eo fp r a c t i c a ls t a b i l i l yd o m a i n so nak i n do fn o n 1 i n e a fd y n a m i c a ls y s t e ma n dt h ee s t i m a t eo fp r a c t i c a ls t a b i l i t yd o
14、m a i n so nak i n do fn o n 1 i n e a ft i m ed e l a ys y s t e mw 嬲s t u d i e d，a n dt l l ew a yt 0c o n s t m c tt h ee s t i m a t eD fp r a c t i c a ls t a b i l i t yd o m a i n so fas y s t e mw a sg i V e n 1 1 1 i r d l y，b yL y a p u n o vf u n c t i o n，d i s c u s s e dt h ep r a c t
15、 i c a ls t a b i l i t yd o m a i n so nak i n do fd i s c r e t ee q u a t i o na n dt h ep f a c t i c a ls t a b i l i t yd o m a i n so nak i n do fd i s c I e t ee q u a t i o nw i t ht i m ed e l a y T h ec o n d i t i o n si se a s ya n dc o n V e n i e n t，a n di m p r o V e dt h er e s u l
16、 t si nt h ep f o c e e d i I l gl i t e r a t u r e A tl a s t，t h es t a b i l i t yo fe l e c t r i c i t ym a r k e tm o d e lw a sd i s c u s s e di nt h eb a s eo ft h e o r i e s x i a o0 i a n(A p p l i e dm a t h e m a t i c s)D i r e c t e db yp r o f 1 Y h n gY u h u aK E YW O R D S：P r a
17、 c t i c a ls t a b i l i t y，e s t i m a t e so fp r a c t i c a ls t a b i l i t yd o m a i n s，E l e c t r i c i t ym a r l e t声明尸明本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文一类动力系统实用稳定域的研究及在电力市场中的应用，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与
18、我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名：商j 蠢日期：关于学位论文使用授权的说明本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。(涉密的学位论文在解密后遵守此规定)作者签名：监日期：垫卑：!：j华北电力大学硕士学位论文1 1 课题背景第一章绪论“稳定性(s t a b i
19、l i t y)的概念起源于力学平衡状态的研究，十九世纪九十年代，俄国著名学者A M L y a p u n o v 对稳定性的一般理论和方法进行了一系列的开创性的工作，建立了稳定性理论严格的数学基础。时至今日，稳定性理论已得到了深入的发展和广泛的应用。随着现代科学技术的飞速发展，数学方法正日益广泛地应用于各种技术领域，通过数学模型描述各种现实个体，其中心问题是研究系统的性质，系统能否稳定工作的条件。李雅谱诺夫意义下的稳定性在很大程度上解决了这个问题。但是在实际工程中李雅谱诺夫稳定可能会因其瞬态运动超越实际所允许的界限而失去实际意义。而一个围绕李雅谱诺夫不稳定的运动状态作小幅振动的系统其性能却
20、可能被实际所接受。因为从应用的观点来看，如果在一定限度范围内的初始扰动作用下，系统的受扰运动能够保持在实际允许的范围内，则系统即认为是稳定的，如飞行器的飞行、机器人的运动等都是如此。对于这类情况，实用稳定(文献 1 ，2 ，3 )概念能给与恰当的描述，其特点就是直接利用所给的各种允许误差定量地评估系统受扰的轨线行为。因此实用稳定性的研究引起了广大学者兴趣。实用稳定性是近年来刚刚兴起的一门科学，其用处非常广泛。“实用稳定性(p r a c t i c a ls t a b i l i t y)是对系统运动稳定性态的一种定量描述。在实际问题中，系统的实用稳定性由一些特定的集合刻画，这些集合反映实际
21、扰动情况和在此扰动影响下，系统的预期运动状态。实用稳定既不弱于，也不强于L y a p u n o v 稳定。实用稳定性概念可以较好地解决L y a p u n o v 稳定概念的定性描述与实际中的定量要求不符合的矛盾。由于“稳态”是在运动时间充分大的时候才表现出的状态，这与一些过程短，变化剧烈的系统的情况不符合，即使对某些“长期”系统而言，其运动在“任意接近”稳态之前，仍有可能越出事先指定的“偏差范围”。何况，要求实际运动状态与稳态“任意接近是不可能的，也没有必要。在这些情况中，实用稳定性的概念可以更切合实际地反映出所研究过程的本质。另一方面，由于大量的工程系统都含有时滞，时滞的存在是系统不
22、稳定的一个重要因素，因而时滞系统的研究已成为控制理论研究的热门课题H 1。1 7 5 0 年，数学家E u l e r 提出一个问题：是否存在一种曲线，它经过平移、旋转以后能和其渐近线重合。在此基础上，C o n d o r c e t 于1 7 7 1 年导出了第一个时滞微分方程(泛函微分方程)。从那以后，时滞动力学系统随着人们研究的深入，在许多学科表现出了极大华北电力大学硕士学位论文的应用价值，如在核物理学、电路信号系统、生态系统、化工系统、遗传问题、流行病学、动物与植物的循环系统、社会科学等等。所以我们有必要深入研究时滞系统的稳定性。在研究物理或工程技术系统时，人们首先要利用某些物理定律
23、或公式建立相关系统的数学模型。自然界很多数学模型都是用差分方程来描述的，另外由于计算机容量的快速增长和微电子技术的不断进步，吸引系统分析与控制系统设计者尽可能采用数字计算机或微处理装置解决他们希望解决的问题。而利用计算机或微处理装置对系统进行实时控制或对系统进行模拟、分析或控制系统设计时，必须将时间变量考虑为离散变量。自二十世纪五十年代以来，离散控制系统的理论研究与实际应用工作，逐渐受到控制理论界的广泛重视，取得了很大成就，使离散控制系统的分析与设计成为控制理论的一个重要组成部分。实用稳定性理论是系统的定量分析理论，具有重要的理论与实际意义。近年来，常微系统，不连续系统以及时滞系统的实用稳定性
24、研究已有不少成果，但关于实用稳定域及实用稳定域估计的相应研究，还不多见，特别是在电力系统中关于实用稳定的讨论几乎没有。因此讨论动力系统的实用稳定域和实用稳定域估计并将其应用于电力系统中具有非常重要的理论与实际意义。1 2 国内外研究现状“实用稳定性(p r a c t i c a ls t a b i l i t y)一词最早出现于L aS a l l e 和L a f s c h a t e的专著 5 中，L aS a l l e 等将稳定性与某些特定的集合联系起来，这些集合规定了扰动的范围和运动状态的范围，“实用稳定性”被用来表示这种与L y a p u n o v 稳定性意义不同的概念。
25、类似的思想在C h a t a y e v(1 9 3 5 一1 9 6 0)等人的工作中已经有所体现。并且在M a l s a y e v(1 9 4 5)的工作中，估计区域是比专著中的更为一般的时变区域。实用稳定性概念的一个较为一般的表述可在A N M i c h a l 的文章 4 中找到。实用稳定性发展于二十世纪六十年代，由于实用稳定性的现实意义，许多学者对于它的理论及应用进行了大量的研究工作。切塔耶夫(1 9 4 6)，莫伊谢耶夫(1 9 4 5)，米里尼柯夫(1 9 5 6)，L as a l l e 与L e f s c h e t z(1 9 6 1)和其他学者的研究工作促进了
26、这一理论研究，使得运动实用稳定性理论得到进一步的发展。其中比较卓越的学者是：1 9 8 3 年俄国学者A A M a r t y n y u k 出版了专著运动的实用稳定性(苏联基辅科学知识出版社)，详细介绍了自C h a t a g e v(1 9 3 5 年)等人的早期工作以来，直到二十世纪八十年代初各国学者在实用稳定性方面的研究成果，其中也有许多M a r t y n y u k 自己的最新研究成果。所涉及的内容几乎包括了稳定性理论的所有方面，但几乎都是借助于比较方法，这就需要事先了解一个简单系统的实用稳定性，才能4华北电力大学硕士学位论文使用这些判别条件解决实际问题。这在实际工程中应用
27、非常不方便。M a r t y n y u k 是乌克兰科学院力学所的一名研究人员。他对实用稳定性的研究作出了大量的工作，是在此方面的代表人物。实用稳定性理论讲义 6 正是根据M a r t y n y u k 的新著作编辑的，从中可以了解实用稳定性方法的进展。2 0 0 5 年，A A S 0 1 i m a n 在扰动微分方程系统的实用稳定 1 一文中，推广实用稳定的概念到一种新的叫做一般扰动微分方程的系统的实用稳定，利用L y a p u n o v 函数的方法给出了一些判别条件。2 0 0 1 年，V L a k s h m i k a n t h a m 在微分方程的严格实用稳定性阳
28、1 一文中，推广了微分方程的严格实用稳定，并且给出了判定系统严格实用稳定的充分条件。2 0 0 3 年，张字、孙继韬在脉冲微分方程时滞系统最终实用稳定的两种测定法n 们中介绍了一种新的稳定，时滞微分方程的最终实用稳定，采用L y a p u n o v 函数和比较原理的相结合的方法，得到了一些关于时滞微分方程最终实用稳定，最终强实用稳定的判别条件。在研究方法上，实用稳定性问题的讨论大量吸取了L y a p u n o v 稳定性的各种卓有成效的方法。包括L y a p u n o v 第一、第二方法，比较方法，积分不等式法等。然而，由于实用稳定性的定量特点，设法获得系统运动的定量估计是实用稳定
29、性问题的主要任务。因此，L y a p u n o v 稳定性方法中的定性成分是不适合实用稳定性要求的。对于L y a p u n o v 直接方法在实用稳定性中的应用，M a r t y n y u k 曾在二十世纪八十年代初作了一系列专门的研究，结果表明，L y a p u n o v 直接方法是一种很有发展前途的方法。M a r t y n y u k 还采用二次型函数研究了线性系统的实用稳定性问题。选用二次型函数的好处是，可利用已有的B a r b a r s h i m 公式，缺点在于对实变函数系统，B a r b a r s h i m 公式不成立。另外，即使对常系数系统，由于实用
30、稳定性还要求对二次型矩阵的特征值进行定量估计，因此，在实际应用时有其不便之处，至于变系数系统则更为困难。此外，在M a r t y n y u k 的专著中还考虑了在实用稳定性定义下的系统镇定问题，最优控制问题，动力系统的等价性问题等等。特别地，目前我国国内研究实用稳定域及实用稳定域估计的理论的相关文献还相当少，在国外也不多见，只有少数外文专著中 8 有一些常微分方程实用稳定域以及实用稳定域估计的最基础研究。因此，把实用稳定域以及实用稳定域的估计的理论进行深入研究，讨论其比较简单、容易验证的判别条件，并应用于判别电力系统的稳定性，这是一项有意义的工作。描述离散控制系统的数学模型为差分方程(组)
31、。差分方程(组)是学习微分方程(组)、微分一差分方程(组)以及泛函微分方程(组)的理论基础。但差分方程(组)并不是微分方程(组)的特例，它具有自身的特殊性。文献 1 1 对差分方程稳定性等研究情况进行了详细总结，十九世纪末期，有许多数学家从事差分方程解的稳定性的5华北电力大学硕士学位论文研究工作，O P e r r o n 研究了P o i n c a r 6 型线性差分以及综合方程和P o i n c a r 6 型差分，并对差分方程零解的稳定性及渐近稳定性进行了研究。J A H e i n e n 应用差分不等式及比较原理对差分方程零解的稳定性进行了研究，从而把，l 维差分方程的零解的稳定
32、性化为纯量差分方程零解的稳定性。近年来，对差分方程的实用稳定性研究也取得了很大的进展n 3 H 剀，其中有很多也是应用L y a p u n o v 函数进行研究的，文献 9 给出了利用构造L y a p u n o v 函数来辨别差分系统x 槲一厂伍。)渐近稳定性的定理，且改进了 1 2 中结论，应用较为方便。但是对差分系统实用稳定性的研究，文献较少。1 3 论文的主要工作及意义本文利用数学分析理论和构造V 函数的方法，讨论了一类非线性动力系统的实用稳定域估计，以及一类非线性时滞系统实用稳定域估计。然后，把对微分方程的研究结果推广到差分方程上，讨论了一类差分方程实用稳定域估计以及一类带时滞差
33、分方程实用稳定域估计。最后结合A l v a r a d o 提出的动态市场模型，从理论上讨论了电力市场的实用稳定性。改进了已有文献的结果，所得条件简单实用。本文主要的研究内容包括：J V(1)对于一类非线性动力系统竿=厂(x)，利用L y a p u n o v 函数方法，借助于以rL y a p u n o v 函数正不变的性质，得到集合么的稳定域估计，实用稳定域估计；在工程应用中，很多情况下不需要在整个过程中满足实用稳定的条件，而只需要在某一个设定的时间段上满足实用稳定的条件即可解决实际问题，这使得我们对关于设定时间的实用稳定域估计的相关条件和结论比较感兴趣。接下来对于非线性动力系统J、
34、，等t 何(x)x，利用L y a p u n o v 函数方法，寻找狄尼导数在集合厄上的上界，得到口l了动力系统关于设定时间的实用稳定域的估计。以上讨论的结果改进了文献 8 中相应的判别条件，使得定理的判别条件更易于验证。，V(2)对于一类线性时滞系统竿=似1 3 f)+蹦O 一口)，利用L y a p u n o v 函数方法，口f找狄尼导数在集合无一s 上的上界，得到系统实用稳定域估计；在设定时间内找狄尼导数在集合磊上的上界，从而得到系统关于设定时间的实用稳定域的估计，得到了判别系统实用稳定域简便的条件，给出了实用稳定域的构造方法。这些条件仅与系统的系数有关，易于直接验证。推广和改进了现
35、有文献的相关结论。6华北电力大学硕士学位论文(3)通过构造L y a p u n o v 函数和不等式相结合的方法，讨论了差分方程的实用稳定域估计，得到一类差分方程X 蒯一，(x。)稳定域估计，实用稳定域估计的判别条件，给出的判别条件简单实用。对于E+。=日僻)以利用L y a p u n o V 函数方法，找狄尼导数在集合无上的上界，得到关于设定时间的实用稳定域的估计的判别条件。(4)利用L y a p u n o v 函数和不等式相结合的方法，讨论了带时滞的差分方程实用稳定域估计以及关于设定时间的实用稳定域的估计的问题。分析了线性时滞差分方程的实用稳定域估计和关于设定时问的实用稳定域估计，
36、得到简便的判别条件，这些条件仅与系统的系数有关，易于直接验证。(5)对于已有的电力市场模型讨论了电力市场实用稳定域的判别条件。7华北电力大学硕士学位论文第二章预备知识2 1 微分方程实用稳定性理论简介实用稳定性是对系统运动稳定性态的一种定量描述，在实际问题中，系统的实用稳定性由一些特定的集合刻画，这些集合反映实际扰动情况和在此扰动影响下系统的预期运动状态。具体的说，如果用集合表示系统的初始区域，用集合屁表示系统的随后扰动区域。一般情况下，与初始时刻气有关。实用稳定就是，对于系统的每一个从内出发的运动，其随后的整个运动过程都不离开集合屁，则系统关于已知的估计区域，是实用稳定的。2 1 1 微分方
37、程稳定域估计的基本概念考虑，l 维动力系统竺；厂(x)(2 一1)d f其中x 尺盯，厂：尺忍一，(x)=(x)，厂2(x)，厶伍)2，函数五(x)(f L 2，以)几乎处处连续。定义2 1 1 n 1(稳定域)如果对V R+，存在集合彳的邻域D，(，彳)，当x。见(s，彳)时，有p 陋O，X。)，爿】s，f R。称皿似)一u【皿(，彳)：占尺+】为系统(2 1)关于集合彳的稳定域。特别的，当彳一 o 时，砬。U【n(E)：E 尺+】为系统(2 一1)关于零解的稳定域。定义2 1 2 嘲(严格稳定域)令p。p)是xa0 的最大连通邻域，且对V 尺+，p。(F)是皿(s)的子集，则称吃一U【皿。
38、()：g R+】为系统(2 1)零解的严格稳定域。定义2 1 3 随1(稳定域的估计)如果集合S 是集合彳C F 的连通邻域，且S 是集合爿的严格稳定域玩0)的子集：s 皿。似)，则称集合S=g。即)是集合4 的严格稳定域优似)的估计。2 1 2 实用稳定域估计的基本概念定义2 1 4 旧(实用稳定)系统(2 1)如果对每个O，)R，有x O，石。)托，则称系统(2 一1)关于p，兄 是实用稳定的。其中，是以可8华北电力大学硕士学位论文以接受的初始状态的集合，毵是具有非空内部的集合，足；【o，f)=f：os f f)，苫尺+。定义2 1 5 阳1(实用稳定域)如果系统(2 1)满足当瓦D。p，
39、九)时，对每个f 足，有X O，)施且D 珊，九)的内部D 芦，)非空，则称D 彤0，屁)是系统(2 一1)关于p，如，丸】-的实用稳定域。其中D 册，乜)是集合彳关于p，托，的实用稳定域。定义2 1 6 姐1(实用稳定域的估计)如果集合S 满足：S 的内部S 非空且S 是D 芦0，九)的连通子集，则称集合s 一芦p，纥)是系统(2 一1)关于扣，施)实用稳定域的估计。定义2 1 7 疆1K0)是彳的最大连通邻域，且当蚓+时，对任意的x 屹，有矿(x)考；x a 匕，有y(x)=当。定义2 1 8 叫似)R“表示集合4 的连通邻域。2 1 3 关于设定时间实用稳定域估计的基本概念定义2 1 9
40、 阳1(关于设定时间的实用稳定域)设集合Sc 且S，如果系统(2 1)满足当戤S 时，对每个f R，有x O，K)甄；对每个f 正，有x O，K)，则称S 是系统(2 1)关于p，而，所)设定时间t 的实用稳定域，记为D p 如，t s，x A，x F。定义2 1 1 0 阳1(关于设定时间的实用稳定域估计)如果集合S 满足：S 的内部S非空且S 是D，p，t，纥，)的连通子集，则称集合s=P p，t，旎，施)是系统(2 1)关于扛，纥，所)对设定时间L 的实用稳定域估计。2 2 差分方程实用稳定性理论简介自二十世纪五十年代以来，离散控制系统的理论研究，逐渐受到控制理论界的广泛重视，取得了很大
41、成就，使离散控制系统的分析与设计成为控制理论的一个重要组成部分。描述离散控制系统的数学模型为差分方程(组)。差分方程(组)是学习微分方程(组)、微分一差分方程(组)以及泛函微分方程(组)的理论基础。但差分方程(组)并不是微分方程(组)的特例，它具有自身的特殊性。文献 2 4 对差分方程稳定性等研究情况进行了详细总结，十九世纪末期，有许多数学家从事差分方程解的稳定性的研究工作，0 P e r r o n 研究了P o i n c a r 6 型线性差分以及综合方程和P o i n c a r 6 型差分，并对差分方程零解的稳定性及渐近稳定性进行了研究。J A H e i n e n 应用差分不等
42、式9华北电力大学硕士学位论文及比较原理对差分方程零解的稳定性进行了研究，从而把万维差分方程组的零解稳定性化为纯量差分方程零解的稳定性。近年来，对差分方程稳定性的研究取得了重要成果 2 5 卜 3 4 ，其中很多结果是应用L y a p u n o v 函数方法得到的，文献 2 5 给出了利用构造L y a p u n o v 函数来判别差分系统瓦“=厂()渐近稳定性的定理，改进了文献 2 6 中结论，应用较为方便。关于差分方程实用稳定的文献较少，实用稳定域和实用稳定域估计的研究工作更少，基础研究可参加文献 1，1 1 。2 2 1 稳定域估计的基本概念考虑咒维系统E+。一厂(x O)，x 0。
43、)-凰其中x 尺d，厂：R。_ 尺矗且记x O)=瓦。(2 2)定义2 2 1(稳定域)如果对V 尺+，存在彳的领域q(，彳)，当x。皿(，彳)时，有纠x O，瓦)，爿】z 时D+y(x)5O，从而y(x O，x o)s 矿(x ，X o)考。所以x O，x o)0)。(ii)若X o【(爿)一彳】n 圪似)假设圪似)不是正不变的，则存在x。似)和z 使x p；x。)a k)，y(x p；x。)=亭。由x(f，x。)【c f(R)n c。(R)】，x。屹似)，匕(彳)=y f(彳)知，气 f f 时，矿(x p；石。)；。从而一定存在单调递增的数列乙，乙【0，f)，当，l 一时有气_ f，l
44、i mX 瓴，X o)=x p，x o)，并且y【X(f 川，x。)】y【x(0，x。)】(3 2)由条件2)，当x【(彳)一彳】时，D+y(x)50，即y(X)沿系统(3 一1)的解不增。x 也圳石。)】y【x 纯，x。)】，与(3 2)矛盾，从而屹口)是正不变的。由y(x O，甄)在【r 0)一彳】上不增，则石O，凰)】s 矿(X。)参，f R 就有华北电力大学硕士学位论文r(K)c 屹即)，那么r(戤)na(彳)=驴，所以屹似)是正准紧的。引理3 3 嬉1 设S 科，y：S 呻R 在集合S 上关于紧集Ac 彤是正定的，盯尺+是使得p，彳)s 的最大正数。令伊q。1 且满足：对任意的x p
45、，彳)有y(x)科p(x，么)】。记瑾t 妒p)，屹表示集合4 的最大连通领域，当x 圪时，y(x)o，取口R+，满足p，爿)，取驴气o 盯l，使得对切p，彳)有矿(z)科p(x，彳)】，且驴p)驴O)，令口=驴p)0，尺+和y 函数：，彳)_ R满足：1)S 是4 的连通开邻域且是忙，彳)的子集：彳cs 缸，么)；2)y 关于彳在似，彳)上是正定的：3)似)=s；4)K 似)对考(0，夕)是有界的；5 当X【o)一么】时，D+矿(x)0。1 3华北电力大学硕士学位论文则S 是彳的稳定域巩似)估计，即S g。似)。证明由条件2)、5)和定理3 1 1 知，集合彳是稳定的。取 O，；R+，使圪o
46、)【(，彳)ns 1，由条件2)一5)和引理3 2 知，屹似)是正不变的。任取甄屹似)，对f 尺+有x(f，x。)K 似)，即K 口)见。(，彳)且匕似)c 以o)，从而K 似)n 玩o)一妒。当；t 时，圪)=似)一s。因此，sn 比口)妒。令凰S，取)，(托)，】，由屹研)的定义和条件2)一4)知，当0 岛 0，取仃是使p，爿)成立的最大正数，由条件1)知，一定存在9 q。川，满足y)乏纠p 僻，彳)】且妒p)0，芦尺+和矿函数：(口，么)一尺+，满足：1)S 是彳的连通开邻域且是，彳)的子集：彳cS ，彳)；2)y 关于彳在陋，爿)上是正定的；3)一s；4)屹o)对；(o，卢)是有界的；
47、5)当X【似)一彳】时，D+y(X)sO。1 4华北电力大学硕士学位论文则称集合S=占芦，旎)是彳的实用稳定域占芦p，托)估计。证明系统(3 一1)有广义解x O，X。)C 0(R)，甄R”，爿c 是紧的连通集，条件2)，5)和定理3 2 1 知，集合4 是实用稳定的。由考R+和屹似)的定义知，屹似)似)。由条件2)一5)和引理3 1 知，当考(o，卢)时，屹似)是正不变的。由条件3)知，s 一似)正不变。所以对栅。s，有x O，x。)S。又S 是4 的连通开邻域，所以S D。，乜)。因此，S 是实用稳定域的估计。以上讨论的结果减弱了文献 8 中相应的判别条件，并将其推广到了动力系统的实用稳定
48、域的估计。3 3 关于设定时间的实用稳定域估计在工程应用中，很多情况F 不需要在整个过程中满足实用稳定的条件，而只需要在某一个设定的时间段上满足实用稳定的条件即可解决实际问题，这使得我们对关于设定时间的实用稳定域估计的相关条件和结论比较感兴趣。本节就利用数学分析理论和构造V 函数的方法，讨论了一类非线性动力系统对设定时间t 的实用稳定域估计。考虑系统譬。(x)工(3 3)出、7彪=x：矿l 习s 吐口彤，6 o其中6 一(岛6 2 吃)r，x，日僻)=(q 僻)，日2 僻)，以仁)丁，日：掣一尺“，函数僻)O=1，2，咒)几乎处处连续。令彳=甜)尺“”口=岛s u p【(x)：x(元一s)】+
49、(1 一岛)m a x o，s u p【(x)s 帆s 喀，优，：x(厄一s)】，引理3 3 1 设系统(3 3)有广义解x(f，x。)C(R 纥)，取州脚r 悱鲥舴(o 1】y2 毫m a x(叽毒)，c“6如果对V f 足，有(1 一；)口，则集合S 为系统(3 3)关于 f，Z 一)的实用稳定域估计，即S=。(f，z)。华北电力大学硕士学位论文令Q=(鳞)R“”Q=屯s u p【红；(x)：x(无一z，)】+(1 一岛)m a x o，s u p【(x)s 毗s 函仳：x(元一z F)】z。x：易rl x s 亭&)，亭(o，1)s 一 x：6 r I x Is 乡口)，考(0，1】定理
50、3 3 1设系统(3 3)有广义解x O，瓦)C(R 纥)，Q，烁，S 如上定义，如果s(1 一言，V f 足，其中)，=毫m a】【(o，噜)，cl(c 1c：乞)r，c=6，并鼻l正，。且(亭一；，k，f)，其中p m 尹x Q 等)，鼋2(吼口2 一吼厂；Q r 6，则集合s 是系统(3 3)关于p，t，乜，)对设定时间t 的实用稳定域估计，即5=占P(z，f，z 一，z，)。证明由己知，系统(3 3)有广义解x(f，墨)C f(尺f 乜)，Q，所，S 如上定义，如果)，fs(1 一考皿，R，其中)，2 毫m a x(0，a 毒)，c=(c lc z c，1)r，cl 彳r 6，弓理3