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1、第一节不定积分的概念与性质第1页，共26页，编辑于2022年，星期一定义定义 1设函数设函数 y=f(x)在某区间上有定义在某区间上有定义，如果存在函数如果存在函数 F(x)，对于该区间上任一点对于该区间上任一点 x，使使F (x)=f(x)或或 dF(x)=f(x)dx，则则称称函函数数 F(x)是是已已知知函函数数 f(x)在在该该区区间间上上的的一一个个原函数原函数.一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分一、原函数与不定积分第2页，共26页，编辑于2022年，星期一(x3+C)=3x2(C 为为任任意意常常数数)，所以所以 x3 +1，x3+C 都都是是 3x2 在
2、在区区间间(,)内内的的原函数原函数.例例如如，因因为为在在区区间间(,)内内有有(x3)=3x2，所所 以以 x3 是是 3x2 在在区区间间(,)内内一一个个原原函函数数，又又 因因 为为(x3+1)=3x2，一般地，一般地，若若 F(x)是是 f(x)在在某某区区间间上上的的一一个个原原函数，函数，则函数族则函数族 F(x)+C(C 为任意常数为任意常数)都是都是 f(x)在该区间上的原函数在该区间上的原函数.第3页，共26页，编辑于2022年，星期一移项得移项得 (x)=F(x)+C.因因为为 (x)是是 f(x)的的任任一一个个原原函函数数，因为因为 (x)-F(x)=(x)F (x
3、)=f(x)-f(x)=0，由微分中值定理的推论得由微分中值定理的推论得 (x)-F(x)=C(C为常数为常数)，设设 F(x)是是 f(x)在在区区间间 I 上上的的一一个个确确定定的的原原函函数数，(x)是是 f(x)在区间在区间 I 上的任一个原函数，上的任一个原函数，F (x)=f(x)，(x)=f(x).所所 以以 F(x)+C 是是 f(x)在在区区间间 I 上上的的全全体体原原函函数数的的一一般般表表达达式式.即即第4页，共26页，编辑于2022年，星期一其中符号其中符号 称为积分号，称为积分号，f(x)dx 称为被积表达式称为被积表达式，或称被积分式或称被积分式，x 称称为为积
4、积分分变量变量，定定义义 2若若 F(x)是是 f(x)在在区区间间 I 上上的的一一个个原原函函数数，即即 则则 F(x)+C(C为任意常数为任意常数)称为称为 f(x)在该区间在该区间上的上的不定积分不定积分，记为记为f(x)称为被积函数称为被积函数，C 称为积分常数称为积分常数.第5页，共26页，编辑于2022年，星期一例例 1求下列不定积分求下列不定积分第6页，共26页，编辑于2022年，星期一解解根据不定积分的定义，只要求出被积函数一根据不定积分的定义，只要求出被积函数一个原函数之后，再加上一个积分常数个原函数之后，再加上一个积分常数 C 即可即可.(1)被积函数被积函数 f(x)=
5、2x，因为因为(x2)=2x，即即 x2 是是 2x 的一个原函数的一个原函数，所以，不定积分所以，不定积分(2)被积函数被积函数 f(x)=sin x，因为因为(-cos x)=sinx，即即-cos x 是是 sin x 的一个原函数，的一个原函数，所以，不定积分所以，不定积分第7页，共26页，编辑于2022年，星期一所以得所以得所以得所以得第8页，共26页，编辑于2022年，星期一当当 x 0 时，时，所以所以合并以上两种情况，当合并以上两种情况，当 x 0 时，得时，得例例 2求不定积分求不定积分解解第9页，共26页，编辑于2022年，星期一(2)或或二、不定积分的基本性质二、不定积分
6、的基本性质二、不定积分的基本性质二、不定积分的基本性质(1)第10页，共26页，编辑于2022年，星期一基本积分表基本积分表第11页，共26页，编辑于2022年，星期一第12页，共26页，编辑于2022年，星期一第13页，共26页，编辑于2022年，星期一例例 3求不定积分求不定积分解解先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，分公式，(1)(2)得得第14页，共26页，编辑于2022年，星期一例例 4求不定积分求不定积分解解第15页，共26页，编辑于2022年，星期一性质性质 1两个函数和的不定积分等于各个函数不定积两个函数和的不定积分等于各
7、个函数不定积分的和分的和，三、不定积分的性质三、不定积分的性质三、不定积分的性质三、不定积分的性质即即第16页，共26页，编辑于2022年，星期一性质性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情况，可推广到有限多个函数代数和的情况，即即性质性质 1 称为分项积分称为分项积分.证证根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数于左端的被积函数.第17页，共26页，编辑于2022年，星期一性质性质 2被积函数中的不为零的常数因子可以提被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外到积分号外，(k 为不等于零的常数为不等于零的常数)证证类似性质类似性质
8、 1 的证法，的证法，有有即即第18页，共26页，编辑于2022年，星期一例例 5求不定积分求不定积分即各积分常数可以合并即各积分常数可以合并.其中其中 C=C1-2C2+2C3，因此，求代数和的不定积分时，因此，求代数和的不定积分时，解解 只只需需在在最最后后写写出出一一个个积分常数积分常数 C 即可即可.第19页，共26页，编辑于2022年，星期一例例 6求求解解第20页，共26页，编辑于2022年，星期一例例 7求求解解第21页，共26页，编辑于2022年，星期一四、不定积分的几何意义四、不定积分的几何意义四、不定积分的几何意义四、不定积分的几何意义若若 y=F(x)是是 f(x)的一个
9、原函数，的一个原函数，则称则称 y=F(x)的的图形是图形是 f(x)的的积分曲线积分曲线.因为不定积分因为不定积分是是 f(x)的原函数的一般表达式，的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是所以它对应的图形是一一族积分曲线族积分曲线，称它为积分曲线族称它为积分曲线族.第22页，共26页，编辑于2022年，星期一积分曲线族积分曲线族 y=F(x)+C 的特点是：的特点是：当当 C 0 时，向上移动；时，向上移动；(1)积分曲线族中任意一条曲线，积分曲线族中任意一条曲线，可可由由其其中中某某一一条条(例例如如，曲线曲线 y=F(x)沿沿 y 轴平行移动轴平行移动|C|单位而得到单位而得到.当当
10、C 0 时，向下移动；时，向下移动；(2)由于由于 F(x)+C=F (x)=f(x)，即即 横横 坐坐 标标相同点相同点 x 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于都等于 f(x)，从而使相应点的切线相互平行从而使相应点的切线相互平行(如图如图)第23页，共26页，编辑于2022年，星期一xyOy=f(x)y=f(x)+C第24页，共26页，编辑于2022年，星期一例例 8已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标已知曲线上任一点的切线斜率等于该点处横坐标平方的平方的 3 倍，且过点倍，且过点(0,1)，求此曲线方程，求此曲线方程.按题意，得按
11、题意，得得得由条件由条件 y|x=0=1 得得 C=1，y=x3+1.解解设所求曲线为设所求曲线为 y=f(x).于是所求曲线为于是所求曲线为第25页，共26页，编辑于2022年，星期一例例 9设一质点以速度设一质点以速度 v =2=2cos t 作直线运动，开始作直线运动，开始时，质点的位移为时，质点的位移为 s0，求质点的运动规律，求质点的运动规律.解解质点的运动规律是指位移质点的运动规律是指位移 s 是时间是时间 t 的函数的函数 s=s(t)，按题意有按题意有得得由条件由条件 s|t=0=s0，代入上式中，得代入上式中，得 C=s0，s=2sin t+s0.于于是是质质点点运运动规律为动规律为第26页，共26页，编辑于2022年，星期一