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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第五章 测量误差的基本学问本章要点1、测量误差概念（重点）2、评定精度的标准（重点）3、误差传播定律（重点）4、等精度直接观测平差（难点）在测量工作中,当对某一未知量进行多次观测,不论测量仪器多么精密,观测进行的多么认真,所得的观测值之间总是不尽相同；这种差异就是测量中存在误差的缘故； 5-1 测量误差概述一、测量误差及其来源误差存在的现象:观测值与理论值不符,如高差闭合差fh；测量误差：观测值与相应真值之差；观测值 : 测量所获得的数值；真误差 关系式：真误差 =观测值 L 真值 X ,即 = L X 或 = X L 观测误
2、差来源：来源于以下三个方面：1）观测者的视觉器官的鉴别才能和技术水平；2）仪器；3）工具的精密程度；观测时外界条件的好坏；l 、 观测条件 观测条件：观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变化这三个 方面综合起来称为观测条件；2、观测条件与观测成果精度的关系：1）如观测条件好,就测量误差小,测量的精度就高；2）如观测条件不好,就测量误差大,精度就低；3）如观测条件相同,就可认为观测精度相同；3、等精度观测：在相同观测条件下进行的一系列观测；不等精度观测 :在不同观测条件下进行的一系列观测；4、讨论误差理论的目的：由于在测量的结果中有误差是不行防止的,讨论误差理论不是为了去毁灭误差,而是要对误
3、差来源、性质及其产生和传播的规律进行讨论,以便解决测量工作中遇到的一些实际问题；5、讨论误差理论所解决的问题：（ 1）在一系列的观测值中,确定观测量的最牢靠值；（ 2）如何来评定测量成果的精度,以及如何确定误差的限度等；（ 3）依据精度要求,确定测量方案（选用测量仪器和确定测量 方法）；5.1.2、 测量误差的分类 测量误差按其性质可分为：系统误差；偶然误差；一、系统误差1、系统误差：在相同的观测条件下,对某一未知量进行一 系列观测,如误差的大小和符号保持不变,或依据肯定的规律变化,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - -
4、 学习必备 欢迎下载这种误差称为系统误差；2、系统误差产生的缘由：仪器工具上的某些缺陷；观测者的某些习惯的影响；外界环境的影响；3、系统误差的特点：具有累积性,对测量结果影响较大,应尽量设法排除或减弱它对测量成果的影响；例：水准测量中 LL/CC 产生的 i 角误差对尺读数的影响：即 = a a = S tgi 随着 S 的增长而加大 - 系统误差系统误差对观测值的精确度（偏离真值的程度）影响很大, 必需排除；4、系统误差消减方法1）在观测方法和观测程序上实行肯定的措施; h例：前后视距相等 水准测量中i 角误差对 h 的影响、 地球气差对的影响及调焦所产生的影响；盘左盘右取均值 经纬仪的 C
5、C 不垂直于 HH ；HH 不垂直于 VV ；度盘偏心差、竖盘指标差对测角的影响；水准测量来回观测取均值 仪器和尺垫下沉对h 的影响；2）找出产生的缘由和规律,对测量结果加改正数；例：光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等；3）认真检校仪器；例：经纬仪的 二、偶然误差LL 不垂直于 VV 对测角的影响；1、偶然误差：在相同的观测条件下,对某一未知量进行一系列观测,假如观测误差的大小和符号没有明显的规律性,即从表面上看,误差的大小和符号均出现偶然性,这种误差称为；2、产生偶然误差的缘由：主要是由于仪器或人的感觉器官才能的限制,如观测者的估读误差、照准误差等,以及环境中不能掌握的因素 如不
6、断变化着的温度、风力等外界环境 所造成；3、偶然误差的规律：偶然误差在测量过程中是不行防止的,从单个误差来看,其大小和符号没有肯定的规律性,但对大量的偶然误差进行统计分析,就能发觉在观测值内部却隐匿着统计规律；偶然误差就单个而言具有随机性,但在总体上具有肯定的统计规律,是听从于正态分布的随机变量；三、偶然误差分布的表示方法1、表格法2、直方图法3、误差概率分布曲线- 正态分布曲线图5-J11、表格法例如：在相同观测条件下观测了217 个三角形（见图 5-J1）的内角,每一个三角形内角和的真误差为三内角观测值的和减去 180,即： = + +-180 ；将全部三角形内角和的误差范畴分成如干小的区
7、间3）；d（如表 5-1 中的名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载统计出每一个小区间显现的误差个数 k 及频率,频率 = 个数 k/ 总数 n（n=217）,得出统计表；合计表 5-1 三角形内角和真误差统计表误差区间正误差负误差d个数频 率个 数 k频 率个 数k频 率 k/nkk/nk/n0 3300.138290.134590.2723 6210.097200.092410.1896 9150.069180.083330.1529 12140.065160.073300.13812 15120
8、.055100.046220.10115 1880.03780.037160.07418 2150.02360.028110.05121 2420.00920.00940.01824 2710.0050010.00527以上000000合计1080.4981090.5022171.000从表 5-1 中可以看出,该组误差的分布表现出如下规律：1）小误差显现的个数比大误差多；2）肯定值相等的正、负误差显现的个数和频率大致相等；3）最大误差不超过 27；2、直方图法 横坐标 以偶然误差为横坐标,纵坐标 以频率 d 频率 /组距 为纵坐标,在每一个区间上依据相应的纵坐标值画出一矩形,各矩形的面积 =
9、 误差出现在该区间的频率 K n ,全部区间的矩形构成了直方图,如图 5-1 所示统计表和直方图是偶然误差的实际分布；3、误差概率分布曲线-正态分布曲线；有斜线的矩形面积：为误差显现在+6+9 之间的频率 0.069名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3、误差概率分布曲线当直方图中： n ,d 各区间的频率也就趋于一个完全确定的数值 概率；如 d 0 时,就直方图成为误差概率曲线2 正态分布曲线；它听从于正态分布；f1e2正态分布曲线的方程式为：252 2式中： 为偶然误差； （0）称为标准差, 是
10、与观测条件有关的一个参数；它的大小可以 反映观测精度的高低；四、偶然误差的四个特性1、有限性： 在肯定的观测条件下,偶然误差的肯定值不会超过肯定的限值；2、集中性：即肯定值较小的误差比肯定值较大的误差显现的概率大；3、对称性：肯定值相等的正误差和负误差显现的概率相同；4、抵偿性： 当观测次数无限增多时,偶然误差的算术平均值趋近于零；即: nlim nn055 （12nii）在数理统计中,5-5 式也称偶然误差的数学期望为零,用公式表示：E =0. 五、不同精度的误差分布曲线：如图 5-3：曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线；曲线 较陡峭,即分布比较集中,或称离散度较小,因而观测精度
11、较高；曲线 较为平缓,即离散度较大,因而观测精 度较低；如图 5-3 中,曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布名师归纳总结 曲线；当=0 时,2f212第 4 页,共 10 页1f112- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载上式是两误差分布曲线的峰值；其中曲线的峰值较曲线的高,即 1 2 ,故第组观测的小误差显现的概率较第组的大；由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于 1,所以当小误差显现的概率较大时,大误差显现的概率必定要小；曲线I 表现为较陡峭,即分布比较集中,或称离散度较小,因而观测精度较高；曲线 II 相对来说较为平缓,
12、即离散度较大,因而观测精度较低；六、错误1、测量成果中除了系统误差和偶然误差以外,也称之为粗差） ；仍可能显现错误 （有时2、错误产生的缘由较多,可能由作业人员疏忽大意、失职而引起,如 大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；也可能是仪器自身或受外 界干扰发生故障引起；仍有可能是容许误差取值过小造成的；错误对观测 成果的影响极大,所以在测量成果中肯定不答应有错误存在；3、发觉错误的方法：进行必要的重复观测,通过余外观测条件,进行 检核验算；严格依据国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等；七、误差理论讨论的主要对象 偶然误差在测量的成果中：错误可以发觉并剔除,系统误差能够加以改正,偶 然误差
13、是不行防止的,它在测量成果中占主导位置,测量误差理论主要是 处理偶然误差的影响； 5-2 评定精度的指标 一、精度 是指一组观测值的密集与离散程度,也可说是一组观测 值的误差的密集与离散程度；例 :对 A 边三次丈量值为56.882, 56.885, 56.884 后对 A 边丈量了三次为 56.882, 56.883, 56.883,可以看出： 前者离散度大 ,精度低 ;后者离散度小,精度高；但为了精确评定观测结果的精度,需要有一些确定的指标；二、评定精度的指标:中误差、相对误差、极限误差和容许误差1、中误差 式（ 5-3）定义的标准差是衡量精度的一种指标,是理论上的表达式；在测量实践中观测
14、次数不行能无限多,因此实际应用中,以有限次观测个数 n 运算出标准差的估值定义为中误差m,作为衡量精度的一种标准,计名师归纳总结 算公式为：m.n56第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载显现的大小留意： 在一组同精度的观测值中,尽管各观测值的真误差和符号各异, 而观测值的中误差却是相同的,只要观测条件相同,就中误差不变；测值的误差分布；【例 5-1】由于中误差反映观测的精度：中误差代表的是一组观有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角,得三角形 的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：甲： +3、+1、
15、-2、-1、0、 -3；乙： +6、-5、+1、-4、-3、+5；试分析两组的观测精度；【 解 】用中误差公式（5-6）运算得：3232m 甲n2 32 1226122 0.2 0m 乙n6 2（5）1 2642524 3.从上述两组结果中可以看出,甲组的中误差较小（2.0）,所以观测精度高于乙组（ 4.3）；而直接从观测误差的分布来看,也可看出甲组观测的小误差比较集中,离 散度较小,因而观测精度高于乙组；在测量工作中,普遍采纳中误差来评 定测量成果的精度；2、相对误差 肯定误差： 有符号, 并且有与观测值相同的单位的误差,被称为肯定误差；（如真误差和中误差）用于衡量其误差与观测值大小无关的观
16、测值的精度；（如角度、方向等）相对误差：在某些测量工作中,肯定误差不能完全反映出观测的质量；相对误差 “K ” 等于误差的肯定值与相应观测值的比值；它是一个 不名数,常用分子为 1 的分式表示,即：相对误差 误差的肯定值 1 观测值 T 相对中误差：当误差的肯定值为中误差 m 的肯定值时, K 称为；相对较差：在距离测量中仍常用来回测量结果的相对较差来进行检核；相对较差定义为：D往D返DDD1D平均平均平均D相对较差是相对真误差,它反映的只是来回测的符合程度,明显,相对较差愈小,观测结果愈牢靠；三、极限误差和容许误差1极限误差 l 在肯定的观测条件下,偶然误差的肯定值不会超过肯定的限值；这个名
17、师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载限值就是极限误差；在一组等精度观测值中,（中误差）肯定值大于 的偶然误差,其显现的概率为 31.7%；肯定值大于 2 的偶然误差,其显现的概率为 4.5%；肯定值大于 3 的偶然误差,显现的概率仅为 0.3%；l 在测量工作中, 要求对观测误差有肯定的限值；大于 3m 的误差显现的机会只有 3,在有限的观测次数中,实际上不大可能显现；所以,可 取 3 作为偶然误差的极限值,称极限误差；32容许误差 在实际工作中,测量规范要求观测中不容许存在较大的误差,可由极限误差来
18、确定测量误差的容许值,称为容许误差,即：容 3 m容2m当要求严格时,也可取两倍的中误差作为容许误差,即假如观测值中显现了大于所规定的容许误差的偶然误差,就认为该观测值不行靠,应舍去不用或重测； 5-3 误差传播定律在测量工作中一般采纳中误差作为评定精度的指标；一、误差传播定律：说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律；求任意函数中误差的方法和步骤如下：列出独立观测量的函数式：Zfx 1,x 2,nx求出真误差关系式；对函数式进行全微分,得dZfdx 1fdx2fndxnx 1x 2x求出中误差关系式；只要把真误差换成中误差的平方,系数也平方,即可直接写出中误差关系式：2 f 2 fm z
19、 m 1x 1 x二、常用函数的中误差公式倍数函数 z kx m z22f2m n2m n2m 22x nkm x和差函数zx 1x 2xnmzm 12m 22m n2如m 1m 2k 1x 1m n2x 2mzmnm zk2m 12k22m 22k n2线性函数 z三、应用举例kknxn1例 5-2 在比例尺为1：500 的地势图上,量得两点的长度为d=23.4 mm ,其中误差md= 0.2 mm,求该两点的实际距离D 及其中误差mD；解：函数关系式：D=M d,属倍数函数,M =500 是地势图比例尺分母；DMd50023.411700mm117.mm DMmd5000 2.100mm0
20、.1 m两点的实际距离结果可写为：11.7 m 0.1 m；例 5-3 名师归纳总结 水准测量中,已知后视读数a =1.734 m ,前视读数b=0.476 m ,中误差第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分别为 ma= 0.002 m,mb= 0.003 m,试求两点的高差及其中误差；解：函数关系式为 h=a-b,属和差函数,得h a b 1 . 734 0 . 476 1 . 258 m2 2 2 2m h m a m b 0 . 002 0 . 0030 . 0036 m 0 . 004 m两点的高差结果可
21、写为 1.258 m 0.004 m；例 5-4 在斜坡上丈量距离,其斜距为L=247.50 m ,中误差 mL= 0.05 m,并测得倾斜角 =10 34 ,其中误差m = 3 ,求水平距离D 及其中误差 mD 解: 1）第一列出函数式2）水平距离 这是一个非线性函数,所以对函数式进行全微分,3）先求出各偏导值如下Dcos 103409.830. 50sin103445.3864LDLsin10342474）写成中误差形式：m DD2m L2D2m2232.0 063 mL5）得结果20 . 983020 . 0545 . 3864 3438 ：D=243.30 m 0.06 m；例 5-5
22、 在水准测量中,已知每次读水准尺的中误差为mi= 2 mm,假定视距平均长度为50 m,如以 3 倍中误差为容许误差,试求在测段长度为L km的水准路线上,图根水准测量来回测所得高差闭合差的容许值；名师归纳总结 解:1每站观测高差为：hab10 L38Lmm2每站观测高差的中误差：m h2 m i22mm因视距平均长度为50 m,就每公里可观测10 个测站, L 公里共观测 10L 个测站, L 公里高差之和为：hh 1h 2h 10LLkm高差和的中误差为：m10Lmh10L22f h4 h 往5Lh mm 返来回高差的较差（即高差闭合差）为：高差闭合差的中误差为：mfh2m410Lmmfh
23、容3 mhf12以 3 倍中误差为容许误差,就高差闭合差的容许值为：在其次章中, 取f h容40Lmm作为闭合差的容许值是考虑了除读数误第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的 i 角误差等）；三、留意事项1要正确列出函数式例： 用长 30 m 的钢尺丈量了10 个尺段, 如每尺段的中误差为ml= 5 l1010m l16mm,求全长 D 及其中误差mD ；1）函数式D10l1030300mm D10mD50mm2按倍数函数式求全长中误差,将得出l1l2）实际上全长应是
24、10 个尺段之和,故函数式应为用和差函数式求全长中误差,因各段中误差均相等,故得全长中误差m D为按实际情形分析用和差公式是正确的,而用倍数公式就是错误的；2在函数式中各个观测值必需相互独立,即互不相关；2 4 my2 c 如有函数式：zy 12y21a而：y13x；y22x2b如已知 x 的中误差为mx,求 Z 的中误差mz；2 m y 11）直接用公式运算,由（ a）式得：m z由（ b）式得：m y13 m x,m y22m x代入（ c）式得m z 3 m x24 2m x25 m x（上面所得的结果是错误）由于y1 和 y2 都是 x 的函数,它们不是互相独立的观测值,因此在（a）式
25、的基础上不能应用误差传播定律；正确的做法是：先把 b式代入 a式,再把同类项合并,然后用误差传播定律运算；四、最或然值：平差的结果是得到未知量最牢靠的估值,它最接近真值,平差中一般称这个最接近真值的估值为“ 最或然值 ” ,或 “ 最牢靠值 ” ,有时也称 “最或是值 ”,一般用 x 表示；一、等精度直接观测值的最或然值算术平均值 最或然值x L;真值：Xlim nn算术平均值：xLn二、评定精度（一）观测值的中误差1由真误差来运算 当观测量的真值已知时,可依据中误差估值的定义即由观测值的真误差来运算其中误差；名师归纳总结 mn2由改正数（最或然值误差v）来运算因此在第 9 页,共 10 页在
26、实际工作中, 观测量的真值除少数情形外一般是不易求得的；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载多数情形下,我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差；mvv ；n1该式称为白塞尔公式；等精度观测用改正数运算观测值中误差的公式（二）最或然值的中误差一组等精度观测值为L1、L2、 Ln,其中误差均相同,设为 L ）的中误差 M 为m,最或然值 x（算术平均值x5-nMvv 5-15Mm n14n n1例 5-6 对某角等精度观测6 次,其观测值见表5-3；试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或然值的中误差；解：观测值的最或然值: x=
27、75 3215.5.51.98 观测值的中误差: mvv17n161最或然值的中误差: Mm1. 98 0 .8 n6vv（ ）观测值改正数 v（ ）L 1=75 32132.56.25 L 2=75 3218-2.56.25 0.25 L 3=75 32150.52.25 L 4=75 3217-1.5L 5=75 3216-0.50.25 L 6=75 32141.52.25 x = L/n =75 3215.5v=0 vv=17.5 一般袖珍运算器都具有统计运算功能（运算（参考各运算器说明书）STAT）,能很便利地进行上述算术平均值的中误差是观测值中误差的 1 / n 倍 ,这说明算术平
28、均值的精度比观测值的精度要高,且观测次数愈多,精度愈高；所以多次观测取其平均值,是减小偶然误差的影响、提高成果精度的有效方法；当观测的中误差 m 肯定时,算术平均值的中误差 M 与观测次数 n 的平方根成反 mM比,观测次数与算术平均值中误差的关系 n观测次数 n 与 M 之间的变化关系：n 增加时, M 减小；当 n 达到肯定数值后,再增加观测次数,工作量增加,但提高精度的成效就不太明显了；不能单纯靠增加观测次数来提高测量成果的精度；偶然误差的减弱的方法名师归纳总结 如：使用精度较高的仪器、提高观测技能、 在较好的外界条件下进行观测；第 10 页,共 10 页2）进行多次观测：观测值个数大于未知量的个数,安排闭合差（超限重测） ; 求观测值的最牢靠值算术平均值或改正后平差值. - - - - - - -