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1、学习必备欢迎下载第五章 测量误差的基本知识本章要点1、测量误差概念（重点）2、评定精度的标准（重点）3、误差传播定律（重点）4、等精度直接观测平差（难点）在测量工作中,当对某一未知量进行多次观测,不论测量仪器多么精密,观测进行的多么仔细,所得的观测值之间总是不尽相同。这种差异就是测量中存在误差的缘故。 5-1 测量误差概述一、测量误差及其来源误差存在的现象:观测值与理论值不符，如高差闭合差fh。测量误差：观测值与相应真值之差。观测值 : 测量所获得的数值。真误差 ()关系式：真误差 =观测值 L 真值 X ，即= L X 或= X L 观测误差来源：来源于以下三个方面：1）观测者的视觉器官的鉴
2、别能力和技术水平；2）仪器；3）工具的精密程度；观测时外界条件的好坏。l 、 观测条件观测条件：观测者的技术水平、仪器的精度和外界条件的变化这三个方面综合起来称为观测条件。2、观测条件与观测成果精度的关系：1）若观测条件好，则测量误差小，测量的精度就高；2）若观测条件不好，则测量误差大，精度就低；3）若观测条件相同，则可认为观测精度相同。3、等精度观测：在相同观测条件下进行的一系列观测。不等精度观测:在不同观测条件下进行的一系列观测。4、研究误差理论的目的：由于在测量的结果中有误差是不可避免的，研究误差理论不是为了去消灭误差，而是要对误差来源、性质及其产生和传播的规律进行研究，以便解决测量工作
3、中遇到的一些实际问题。5、研究误差理论所解决的问题：（ 1）在一系列的观测值中，确定观测量的最可靠值；（ 2）如何来评定测量成果的精度，以及如何确定误差的限度等；（ 3）根据精度要求，确定测量方案（选用测量仪器和确定测量方法） 。5.1.2、 测量误差的分类测量误差按其性质可分为：系统误差；偶然误差。一、系统误差1、系统误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载这种误差称为系统误差。2、系统误差产生的原因
4、：仪器工具上的某些缺陷；观测者的某些习惯的影响；外界环境的影响。3、系统误差的特点：具有累积性，对测量结果影响较大，应尽量设法消除或减弱它对测量成果的影响。例：水准测量中LL/CC 产生的 i 角误差对尺读数的影响：即= a a = S tgi 随着 S 的增长而加大 - 系统误差系统误差对观测值的准确度（偏离真值的程度）影响很大， 必须消除。4、系统误差消减方法1）在观测方法和观测程序上采取一定的措施; 例：前后视距相等 水准测量中i 角误差对h 的影响、 地球气差对h的影响及调焦所产生的影响。盘左盘右取均值 经纬仪的CC 不垂直于 HH ；HH 不垂直于VV ；度盘偏心差、竖盘指标差对测角
5、的影响。水准测量往返观测取均值 仪器和尺垫下沉对h 的影响。2）找出产生的原因和规律，对测量结果加改正数。例：光电测距中的气象、加常数、乘常数与倾斜改正数等。3）仔细检校仪器。例：经纬仪的LL 不垂直于VV 对测角的影响。二、偶然误差1、偶然误差：在相同的观测条件下，对某一未知量进行一系列观测，如果观测误差的大小和符号没有明显的规律性，即从表面上看，误差的大小和符号均呈现偶然性，这种误差称为。2、产生偶然误差的原因：主要是由于仪器或人的感觉器官能力的限制，如观测者的估读误差、照准误差等，以及环境中不能控制的因素(如不断变化着的温度、风力等外界环境)所造成。3、偶然误差的规律：偶然误差在测量过程
6、中是不可避免的，从单个误差来看，其大小和符号没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行统计分析，就能发现在观测值内部却隐藏着统计规律。偶然误差就单个而言具有随机性，但在总体上具有一定的统计规律，是服从于正态分布的随机变量。三、偶然误差分布的表示方法1、表格法2、直方图法3、误差概率分布曲线- 正态分布曲线1、表格法例如：在相同观测条件下观测了217 个三角形（见图 5-J1）的内角，每一个三角形内角和的真误差为三内角观测值的和减去180 ，即： = + +-180 。将所有三角形内角和的误差范围分成若干小的区间d （如表 5-1 中的3 ） ；图5-J1精选学习资料 - - - - - - -
7、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载统计出每一个小区间出现的误差个数k 及频率，频率 = 个数 k/总数 n（n=217） ，得出统计表。表 5-1 三角形内角和真误差统计表误差区间d正误差负误差合计个数k频 率k/n个 数 k频 率k/n个 数k频 率 k/n0 33 66 99 1212 1515 1818 2121 2424 2727 以上3021151412852100.1380.0970.0690.0650.0550.0370.0230.0090.00502920181610862000.1340.0920.0830.0730.04
8、60.0370.0280.00900594133302216114100.2720.1890.1520.1380.1010.0740.0510.0180.0050合计1080.4981090.5022171.000从表 5-1 中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：1）小误差出现的个数比大误差多；2）绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率大致相等；3）最大误差不超过27 。2、直方图法横坐标 以偶然误差为横坐标，纵坐标 以频率 d(频率 /组距 )为纵坐标，在每一个区间上根据相应的纵坐标值画出一矩形，各矩形的面积= 误差出现在该区间的频率(K n )，所有区间的矩形构成了直方图，如图5-1
9、 所示统计表和直方图是偶然误差的实际分布。3、误差概率分布曲线-正态分布曲线。有斜线的矩形面积：为误差出现在+6+9 之间的频率 (0.069)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载3、误差概率分布曲线当直方图中：n ，d各区间的频率也就趋于一个完全确定的数值 概率。若 d 0 时，则直方图成为误差概率曲线 正态分布曲线。它服从于正态分布。正态分布曲线的方程式为：式中：为偶然误差； （0）称为标准差， 是与观测条件有关的一个参数。它的大小可以反映观测精度的高低。四、偶然误差的四个特性1、 有限性： 在一
10、定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；2、集中性：即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；3、对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同；4、抵偿性： 当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。即: 在数理统计中，(5-5)式也称偶然误差的数学期望为零，用公式表示：E()=0. 五、不同精度的误差分布曲线：如图 5-3：曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。曲线较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。曲线较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。如图 5-3 中，曲线、对应着不同观测条件得出的两组误差分布曲线。当 =0 时，)
11、25(21)(222ef）（niinnn21)55(0lim21)(11f21)(22f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载上式是两误差分布曲线的峰值。其中曲线的峰值较曲线的高，即 1 2 ，故第组观测的小误差出现的概率较第组的大。由于误差分布曲线到横坐标轴之间的面积恒等于1，所以当小误差出现的概率较大时，大误差出现的概率必然要小。曲线I 表现为较陡峭，即分布比较集中，或称离散度较小，因而观测精度较高。曲线II 相对来说较为平缓，即离散度较大，因而观测精度较低。六、错误1、测量成果中除了系统误差和偶然
12、误差以外，还可能出现错误（有时也称之为粗差） 。2、错误产生的原因较多，可能由作业人员疏忽大意、失职而引起，如大数读错、读数被记录员记错、照错了目标等；也可能是仪器自身或受外界干扰发生故障引起；还有可能是容许误差取值过小造成的。错误对观测成果的影响极大，所以在测量成果中绝对不允许有错误存在。3、发现错误的方法：进行必要的重复观测，通过多余观测条件，进行检核验算；严格按照国家有关部门制定的各种测量规范进行作业等。七、误差理论研究的主要对象 偶然误差在测量的成果中：错误可以发现并剔除，系统误差能够加以改正，偶然误差是不可避免的，它在测量成果中占主导地位，测量误差理论主要是处理偶然误差的影响。5-2
13、 评定精度的指标一、精度 是指一组观测值的密集与离散程度，也可说是一组观测值的误差的密集与离散程度。例 :对 A 边三次丈量值为56.882, 56.885, 56.884 后对 A 边丈量了三次为 56.882, 56.883, 56.883，可以看出： 前者离散度大 ,精度低 ;后者离散度小，精度高。但为了准确评定观测结果的精度，需要有一些确定的指标。二、评定精度的指标:中误差、相对误差、极限误差和容许误差1、中误差式（ 5-3）定义的标准差是衡量精度的一种指标，是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中，以有限次观测个数 n 计算出标准差的估值定义为中误差m，作为
14、衡量精度的一种标准，计算公式为：)65(?nm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载注意： 在一组同精度的观测值中，尽管各观测值的真误差出现的大小和符号各异， 而观测值的中误差却是相同的，因为中误差反映观测的精度：只要观测条件相同，则中误差不变。中误差代表的是一组观测值的误差分布。【例 5-1】有甲、乙两组各自用相同的条件观测了六个三角形的内角，得三角形的闭合差（即三角形内角和的真误差）分别为：甲： +3 、+1 、-2 、-1 、0 、 -3 ；乙： +6 、-5 、+1 、-4 、-3 、+5 。试
15、分析两组的观测精度。【 解 】用中误差公式（5-6）计算得：从上述两组结果中可以看出，甲组的中误差较小（2.0） ，所以观测精度高于乙组（ 4.3） 。而直接从观测误差的分布来看，也可看出甲组观测的小误差比较集中，离散度较小，因而观测精度高于乙组。在测量工作中，普遍采用中误差来评定测量成果的精度。2、相对误差绝对误差： 有符号， 并且有与观测值相同的单位的误差，被称为绝对误差。（如真误差和中误差）用于衡量其误差与观测值大小无关的观测值的精度。（如角度、方向等）相对误差：在某些测量工作中，绝对误差不能完全反映出观测的质量。相对误差 “ K ” 等于误差的绝对值与相应观测值的比值。它是一个不名数，
16、常用分子为1 的分式表示，即：相对中误差：当误差的绝对值为中误差m 的绝对值时，K 称为。相对较差：在距离测量中还常用往返测量结果的相对较差来进行检核。相对较差定义为：相对较差是相对真误差，它反映的只是往返测的符合程度，显然，相对较差愈小，观测结果愈可靠。三、极限误差和容许误差1极限误差l 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个3 .465341560. 26301213222222222222）（乙甲nmnmT1观测值误差的绝对值相对误差DDDDDDD平均平均平均返往1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，
17、共 10 页学习必备欢迎下载限值就是极限误差。在一组等精度观测值中，（中误差）绝对值大于的偶然误差，其出现的概率为31.7%；绝对值大于2的偶然误差，其出现的概率为4.5%；绝对值大于3的偶然误差，出现的概率仅为0.3%。l 在测量工作中， 要求对观测误差有一定的限值。大于 3m 的误差出现的机会只有3，在有限的观测次数中，实际上不大可能出现。所以，可取 3作为偶然误差的极限值，称极限误差。2容许误差在实际工作中，测量规范要求观测中不容许存在较大的误差，可由极限误差来确定测量误差的容许值，称为容许误差，即：当要求严格时，也可取两倍的中误差作为容许误差，即如果观测值中出现了大于所规定的容许误差的
18、偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用或重测。5-3 误差传播定律在测量工作中一般采用中误差作为评定精度的指标。一、误差传播定律：说明观测值中误差与其函数中误差之间关系的定律。求任意函数中误差的方法和步骤如下：列出独立观测量的函数式：求出真误差关系式。对函数式进行全微分，得求出中误差关系式。只要把真误差换成中误差的平方，系数也平方，即可直接写出中误差关系式：二、常用函数的中误差公式倍数函数和差函数若线性函数三、应用举例例 5-2 在比例尺为1：500 的地形图上，量得两点的长度为d=23.4 mm，其中误差md=0.2 mm，求该两点的实际距离D 及其中误差mD。解：函数关系式：D=M d
19、，属倍数函数，M=500 是地形图比例尺分母。两点的实际距离结果可写为：11.7 m0.1 m。例 5-3 水准测量中，已知后视读数a =1.734 m ，前视读数b=0.476 m ，中误差3极m3容m2容)(21nxxxfZ，nndxxfdxxfdxxfdZ221122222221212nnzmxfmxfmxfmkxzxzkmmnxxxz2122221nzmmmmnmmm21nmmznnxkxkxkz22112222222121nnzmkmkmkmmmmMmmmmmMdDdD1.0100)2 .0(5007 .11117004.23500精选学习资料 - - - - - - - - - 名
20、师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载分别为 ma=0.002 m，mb=0.003 m，试求两点的高差及其中误差。解：函数关系式为h=a-b，属和差函数，得两点的高差结果可写为1.258 m0.004 m。例 5-4 在斜坡上丈量距离，其斜距为L=247.50 m，中误差 mL=0.05 m，并测得倾斜角=1034，其中误差m=3，求水平距离D 及其中误差 mD解: 1）首先列出函数式2）水平距离这是一个非线性函数，所以对函数式进行全微分，3）先求出各偏导值如下4）写成中误差形式：5）得结果：D=243.30 m0.06 m。例 5-5 在水准测量中，
21、已知每次读水准尺的中误差为mi= 2 mm，假定视距平均长度为50 m，若以 3 倍中误差为容许误差，试求在测段长度为L km的水准路线上，图根水准测量往返测所得高差闭合差的容许值。解:1)每站观测高差为：bah2)每站观测高差的中误差：mm222ihmm因视距平均长度为50 m，则每公里可观测10 个测站， L 公里共观测 10L 个测站， L 公里高差之和为：Lhhhh1021L(km)高差和的中误差为：mm54221010LLmLmh往返高差的较差（即高差闭合差）为：高差闭合差的中误差为：以 3 倍中误差为容许误差，则高差闭合差的容许值为：在第二章中， 取作为闭合差的容许值是考虑了除读数
22、误mmmmmmbahbah004.00036.0003.0002.0258.1476.0734.122228643.453410sin50.2473410sin8309 .03410cosLDLDmmDmLDmLD063. 03438 3)3864.45(05.09830.022222222返往hhfhmm1042Lmmhfmm3810123LLmfhfh容mm40Lfh容精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载差以外的其它误差的影响（如外界环境的影响、仪器的i 角误差等）。三、注意事项1要正确列出函数式
23、例： 用长 30 m 的钢尺丈量了10 个尺段， 若每尺段的中误差为ml= 5 mm，求全长D 及其中误差mD。1）函数式按倍数函数式求全长中误差，将得出2）实际上全长应是10 个尺段之和，故函数式应为用和差函数式求全长中误差，因各段中误差均相等，故得全长中误差为按实际情况分析用和差公式是正确的，而用倍数公式则是错误的。2在函数式中各个观测值必须相互独立，即互不相关。如有函数式：而：若已知 x 的中误差为mx，求 Z 的中误差mz。1）直接用公式计算,由（ a）式得：由（ b）式得：代入（ c）式得（上面所得的结果是错误）因为y1 和 y2 都是 x 的函数，它们不是互相独立的观测值，因此在（
24、a）式的基础上不能应用误差传播定律。正确的做法是：先把(b)式代入 (a)式，再把同类项合并，然后用误差传播定律计算。四、最或然值：平差的结果是得到未知量最可靠的估值，它最接近真值，平差中一般称这个最接近真值的估值为“ 最或然值 ” ，或 “ 最可靠值 ” ，有时也称 “ 最或是值 ” ，一般用x 表示。一、等精度直接观测值的最或然值算术平均值 (最或然值x ) 二、评定精度（一）观测值的中误差1由真误差来计算当观测量的真值已知时,可根据中误差估值的定义即由观测值的真误差来计算其中误差。2由改正数（最或然值误差v）来计算在实际工作中， 观测量的真值除少数情况外一般是不易求得的。因此在m3003
25、01010lDmm5010lDmm1021lllD1610lDmm(a)1221yyz)(22321bxyxy；)(42122cmmmyyzxyxymmmm2321，xxxzmmmm5)2(4)3(22nLxnLXn;lim算术平均值：真值：nm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载多数情况下，我们只能按观测值的最或然值来求观测值的中误差。该式称为白塞尔公式。等精度观测用改正数计算观测值中误差的公式。（二）最或然值的中误差一组等精度观测值为L1、L2、 Ln，其中误差均相同，设为m，最或然值 x（算术平
26、均值）的中误差M 为例 5-6 对某角等精度观测6 次，其观测值见表5-3。 试求观测值的最或然值、观测值的中误差以及最或然值的中误差。解：观测值的最或然值: x=753215.5观测值的中误差: 最或然值的中误差: 观测值改正数 v（）vv（）L1=7532132.56.25 L2=753218-2.56.25 L3=7532150.50.25 L4=753217-1.52.25 L5=753216-0.50.25 L6=7532141.52.25 x = L/n =75 3215.5v=0 vv=17.5 一般袖珍计算器都具有统计计算功能（STAT） ，能很方便地进行上述计算（参考各计算器
27、说明书）算术平均值的中误差是观测值中误差的倍 ,这说明算术平均值的精度比观测值的精度要高，且观测次数愈多，精度愈高。所以多次观测取其平均值，是减小偶然误差的影响、提高成果精度的有效方法。当观测的中误差m 一定时，算术平均值的中误差M 与观测次数n 的平方根成反比，观测次数与算术平均值中误差的关系观测次数n 与 M 之间的变化关系：n 增加时， M 减小；当n 达到一定数值后，再增加观测次数，工作量增加，但提高精度的效果就不太明显了。不能单纯靠增加观测次数来提高测量成果的精度。偶然误差的削弱的方法如：使用精度较高的仪器、提高观测技能、在较好的外界条件下进行观测。2）进行多次观测：观测值个数大于未知量的个数，分配闭合差（超限重测） ; 求观测值的最可靠值(算术平均值或改正后平差值). 1nvvmnLx14)-(5nmM15)-(5) 1(nnvvM98.1165.171nvvm8.0698.1nmMn/1nmM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页