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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 （ 1）排列 组合公式（ 2）加法和 乘 法 原理（ 3）一些 常见排列（ 4）随机 试 验 和 随机大事第一章随机大事及其概率n P mm .n .从 m个人中挑出n 个人进行排列的可能数；mCnn .m .n.从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数；mm加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,其次种方法可由n种方法来完成,就这件事可由m+n 种方法来完成；乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由
2、m种方法完成,其次个步骤可由n 种方法来完成,就这件事可由m n 种方法来完成；重复排列和非重复排列（有序）对立大事（至少有一个）次序问题 假如一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它显现哪个结果,就称这种试验为随机试 验；试验的可能结果称为随机大事；在一个试验下, 不管大事有多少个,总可以从其中找出这样一组大事,它具有如下性质：每进行一次试验,必需发生且只能发生这一组中的一个大事；（ 5）基本 大事、样本 空 间 和 事件任何大事,都是由这一组中的部分大事组成的；这样一组大事中的每一个大事称为基本领件,用来表示；基本领件的全体,称为试验
3、的样本空间,用表示；一个大事就是由中的部分点（基本领件）组成的集合；通常用大写字母A,B,C, 表示大事,它们是的子集；为必定大事,.为不行能大事；不行能大事 （.）的概率为零,而概率为零的大事不肯定是不行能大事；同理,必定大事（ ）的概率为1,而概率为1 的大事也不肯定是必定大事；关系：（ 6）大事 的 关 系 与 运算假如大事 A 的组成部分也是大事B的组成部分, （A发生必有大事B 发生）：AB假如同时有AB,BA,就称大事A 与大事 B 等价,或称A 等于 B：A=B；A、B中至少有一个发生的大事：AB,或者 A+B；属于 A而不属于 B 的部分所构成的大事,称为A与 B的差,记为A-
4、B,也可表示为 A-AB或者AB,它表示 A 发生而 B不发生的大事；A、B同时发生： AB,或者 AB；AB=.,就表示A与 B 不行能同时发生,称大事 A 与大事 B 互不相容或者互斥；基本领件是互不相容的；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 -A 称为大事 A的逆大事,或称A 的对立大事,记为A ；它表示 A不发生的大事；互斥未必对立；运算：结合率： ABC=ABC A BC=A BC 安排率： AB C=AC BC A BC=ACBC Ai1AiABAB,AB
5、ABPA ,如满德摩根率：i1i设为样本空间,A 为大事,对每一个大事A 都有一个实数足以下三个条件：1 0 PA 1,（ 7）概率2 P =1 1A ,A , 有3对于两两互不相容的大事的 公 理 化定义PA iPAiii1常称为可列（完全）可加性；就称 PA 为大事 A 的概率；（ 8）古典11,2n,Pm2 P1P2Pn1；n设任一大事A ,它是由1,2m组成的,就有概型PA=12m =P1P 2mA所包含的基本领件数同时样本空n基本领件总数如随机试验的结果为无限不行数并且每个结果显现的可能性匀称,（ 9）几何间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述,就称此随机试验为几何概型；对任
6、一大事 A,概型PALA；其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）；（10）加法LPA+B=PA+PB-PAB 公式当 PAB 0 时, PA+B=PA+PB PA-B=PA-PAB （11）减法当 BA时, PA-B=PA-PB PA0 ,就称PAB为大事 A 发生条件下,事公式当 A= 时, P B =1- PB 定义 设 A、B是两个大事,且（12）条件PA概率件 B 发生的条件概率,记为PB/APAB；P A1 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 条件概率是概率的
7、一种,全部概率的性质都适合于条件概率；（13）乘法例如 P /B=1P B /A=1-PB/A An|A 1A2乘法公式：PABPA PB/A更一般地,对大事A1,A2, An,如 PA1A2 An-1 0 ,就有PA 1A2AnPA 1PA2|A 1 PA3|A 1A2 P公式An1 ；两个大事的独立性设大事A、B满意PABPAPB,就称大事A、B是相互独立的；如大事 A 、 B 相互独立,且P A0,就有PBPBPB|A PABP APAPA 如大事 A 、 B 相互独立, 就可得到 A 与 B 、 A 与 B 、 A 与 B 也都相互独（14）独立立；必定大事和不行能大事. 与任何大事都
8、相互独立；性. 与任何大事都互斥；多个大事的独立性设 ABC是三个大事,假如满意两两独立的条件,PAB=PAPB ；PBC=PBPC ； PCA=PCPA 并且同时满意 PABC=PAPBPC 那么 A、B、C相互独立；对于 n 个大事类似；（15）全概设大事B1 ,B2,Bn,Bn满意PBi0 i,12 ,n ,1B1 ,B2 ,两两互不相容,Ani,B公式2i1就有PAPB1 P A|B 1PB2P A|B2PBiPBnPA|Bn；设大事B ,B , ,B 及 A 满意0, i1,2, ,n,1B ,B , ,B 两两互不相容,n2Ai1iB,P A0,就（16）贝叶P B i/A jnP
9、B iP A/B ij,i=1 ,2, n；斯公式P BjP A/B1此公式即为贝叶斯公式；P B i ,（i 1,2 , ,n）,通常叫先验概率；P B i / A ,（i 1,2 , ,n ）,通常称为后验概率；贝叶斯公式反映了“ 因果” 的概率规律,并作出了“ 由果朔因” 的推断；（17）伯努我们作了n次试验,且满意A 发生或 A 不发生；每次试验只有两种可能结果,利概型1 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 n 次试验是重复进行的,即A 发生的概率每次均一样；（1
10、）离散 型 随 机 变量 的 分 布 律每次试验是独立的,即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的；这种试验称为伯努利概型,或称为n 重伯努利试验；用p表示每次试验A 发生的概率,就A 发生的概率为1pq,用Pnk表示n重伯努利试验中A 显现k0kn次的概率,PnkCkpkqnk,k2,1,0,n；n其次章随机变量及其分布设离散型随机变量X 的可能取值为Xkk=1,2, 且取各个值的概率,即事件X=Xk 的概率为 PX=xk=p k,k=1,2, ,就称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律；有时也用分布列的形式给出：PXXx k|x 1 ,x2 ,xk,；p 1 ,p2
11、 ,p k明显分布律应满意以下条件：（2）连续 型 随 机 变 量 的 分 布 密度（1）p k0,k,12,（2）k1pk1；设Fx 是随机变量 X 的分布函数, 如存在非负函数fx,对任意实数x,有Fxxfx dx,就称X为连续型随机变量；fx称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度；（3）离散密度函数具有下面4 个性质：PXxkpk在离1fx0；2fx dx1；PXxPxXxdxfxdx与 连 续 型随 机 变 量积分元fx dx在连续型随机变量理论中所起的作用与的关系散型随机变量理论中所起的作用相类似；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 28 页精选学习资料
12、 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 （4）分布设 X 为随机变量,x 是任意实数,就函数a,b 的概率；分布函数FxPXx 称为随机变量X 的分布函数,本质上是一个累积函数；PaXb Fb Fa可以得到X 落入区间函数Fx表示随机变量落入区间（, x 内的概率；分布函数具有如下性质：10Fx1 ,x；Fx1 1Fx2；2Fx是单调不减的函数,即x 1x2时,有3Flim xFx 0,Flim xFx；4Fx0Fx,即Fx 是右连续的；5PXxFxFx0 ；对于离散型随机变量,Fx pk；xkxx（5）八大对于连续型随机变量,Fx fx dx；0-
13、1 分布PX=1=p, PX=0=q 分布二项分布在 n 重贝努里试验中,设大事A发生的概率为p ；大事 A 发生的次数是随机变量,设为X ,就 X 可能取值为0,1,2 ,n；其中PXkP nkCkpkqnk,nq1p,0p,1k0,1,2,n,就 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 n , p 的 二 项 分 布 ； 记 为XBn,p；Xkpkq1k,k0 1.,这就是（ 0-1 ）分当n1时,P布,所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全
14、）2022-1-1 泊松分布 设随机变量 X 的分布律为kPXkk.e,0 ,k0,1,2,X或就称随机变量X 听从参数为的泊松分布,记为者 P ；泊松分布为二项分布的极限分布（np= ,n）；超几何分布几何分布匀称分布P XkCkCnk,lk,1,0 2,lMNMminMn Cn N随机变量 X听从参数为n,N,M 的超几何分布,记为Hn,N,M ；PXkqk1p,k1 2, ,3,其中 p0,q=1-p ；随机变量 X听从参数为p 的几何分布,记为Gp ；设随机变量 X 的值只落在 a ,b 内, 其密度函数f x在a ,b上为常数b1a,即fxb1a,axb其他,0 ,就称随机变量X 在
15、 a ,b 上听从匀称分布,记为XUa,b ；分布函数为0,x 1, x2xb；当 ax1x2b 时, X 落在区间（）内的概率为Px 1Xx2x2x 1；ba1 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 指数分布fxex,x0, 的指数分布；0, x0, 其中0 ,就称随机变量X 听从参数为X的分布函数为F x 1,ex,x0, 0x0；记住积分公式：xnexdxn .0正态分布设随机变量 X 的密度函数为 x 2f x 1e 2 2,x2其中、0 为常数,就称随机变量,X
16、听从参数为；、的正态分布或高斯（Gauss）分布,记为XN,2fx 具有如下性质：1fx的图形是关于x对称的；2当x1 ,时,f 1为最大值；2 2 x,就 X 的分布函数为e 2 2dt如 FXNx 2；参数0 、1时的正态分布称为标准正态分布,记为X N01, 1,其密度函数记为e 2 22,x,x分布函数为x t 2 x 1e 2 dt；2 x 是不行求积函数,其函数值,已编制成表可供查用； -x1- x 且 0 1 ；2N0 1, ；假如 X N,2,就XP x 1Xx 2x 2x 1；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 28 页精选学习资料 - - - - -
17、 - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 （6）分位 数（7）函数 分布（ 1）联合 分布下分位表：P X；上分位表：P X；离散型已知 X 的分布列为PXxix 1,x2,xn,Xp1 ,p2,pnYgX的分布列（yigxi互不相等）如下：Yi gg ixx1 ,gx2,gx n,gix的概率；PYyp 1 , p 2 , , p 相等,就应将对应的n ,ip 相加作为如有某些连续型先利用 X 的概率密度f Xx 写出 Y 的分布函数FYy PgX y ,再利用变上下限积分的求导公式求出fYy ；第三章二维随机变量及其分布离散型假如二维随机向量（X,Y）的全部可能取值为
18、至多可列个有序对（ x,y ）,就称为离散型随机量；设=（X,Y）的全部可能取值为x i,yji,j,12,且大事 =xi,yj 的概率为 pij, , 称PX,Yx i,yjpiji,j,1,2为=（X, Y）的分布律或称为X 和 Y 的联合分布律；联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：X Y y1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pij这里 pij具有下面两个性质：（1） pij 0（ i,j=1,2, ）；（2）p ij 1 .i j1 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与
19、数理统计 公式（全）2022-1-1 连续型对 于 二 维 随 机 向 量X,Y, 如 果 存 在 非 负 函 数fx,yx,y,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D=X,Y|axb,cyx1时,有 F（ x2,y ） Fx 1,y;当 y2y 1时,有 Fx,y2 Fx,y1; （3）F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的,即（ 4）离散（4）F,FFx ,yFxx0 ,y,Fx,yFx,y0;x,ydxdyF,yFx,0,F,1.（5）对于x 1x2,y1y2,1,y2Fx1,y10. fFx2,y2x2,y1FPXx,YyPxXxdx,yYydy 型 与 连 续型的
20、关系1 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 （ 5）边缘离散型X 的边缘分布为p ij i,j,1 ,2；分布P iP Xx ij Y 的边缘分布为连续型PjP Yyjp iji,j1 2,；X 的边缘分布密度为if Xxfx,ydy；Y 的边缘分布密度为（ 6）条件离散型f Yyfx,ydx .在已知 X=xi 的条件下, Y取值的条件分布为分布P Yyj|Xx ip ij；p i在已知 Y=yj 的条件下, X取值的条件分布为连续型PXx i|Yyjpijj,p在已知
21、 Y=y 的条件下, X 的条件分布密度为fx|y fx,y；fYy在已知 X=x 的条件下, Y 的条件分布密度为（ 7）独立一般型fy|x fx,yfXxFX,Y=F XxF Yy性离散型pijpipj有零不独立连续型fx,y=fXxfYy 直接判定,充要条件：可分别变量 正概率密度区间为矩形二维正态分fx ,y21112e2 112x1122x1y2y222,布1220 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 随机变量的 如 X1,X2, Xm,Xm+1, Xn
22、相互独立, h,g 为连续函数,就：函数 h（X1,X2, Xm）和 g（Xm+1, Xn）相互独立；特例：如 X与 Y 独立,就： h（X）和 g（Y）独立；例如：如 X与 Y 独立,就： 3X+1 和 5Y-2 独立；（ 8）二维设随机向量（ X,Y）的分布密度函数为X,Y）匀称分布fx ,y1x ,y DS D,0其他其中 SD为区域 D的面积,就称（ X,Y）听从 D上的匀称分布,记为（U（D）；例如图 3.1 、图 3.2 和图 3.3 ；y 1 O D11 x 图 3.1 y 1 D2O 1 2 x 图 3.2 y d D3c O a b x 图 3.3 1 名师归纳总结 - -
23、- - - - -第 11 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 （ 9）二维 正态分布设随机向量（ X,Y）的分布密度函数为fx ,y212112e2 112x1122x1y2y222,21其中1,2,10 ,20 |,|1是 5 个参数,就称（ X,Y）听从二维正态分布,记为（ X,Y） N（1,22,2,.12由边缘密度的运算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分 布,（10）函数即 XN（1,2,YN2,2.2）；12但是如 X N（1,2,YN,22,X,Y未必是二维正态分布；12Z=X+Y 依据定
24、义运算：F ZzPZz PXYz分布对于连续型, f Zz fx ,zx dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,212n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍听从正态分布；Z=max,min如Cix 2i,n2C22iiiXiX1,X2相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为X 1,X 2, X n Fx 1x,Fx Fx nx,就Z=max,minX 1,X 2, X n的分布函数为：Fmaxx Fx 1xFx2x Fx nxx 1FxnxFminx11F x1x 1Fx21 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 28 页精选学习资料 - - - - -
25、- - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 2 分布设 n 个随机变量X1,X2,Xn相互独立,且听从标准正态分布,可以证明它们的平方和WinX21i的分布密度为f1un1eu2 n ,22u0,u2nn22我们称随机变量,0n的u0.2 分布,记为 WW听从自由度为其中n0xn1exdx .22所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量 分布中的一个重要参数；2 分布满意可加性：设Y i2ni,就ZikY i2n 1n2nk.11 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公
26、式（全）2022-1-1 t 分布设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,且2 n,XN01, ,Y可以证明函数TXnY/的概率密度为F 分布n1n1ftn2n1t22t.n2我们称随机变量T 听从自由度为n 的 t 分布,记为Ttn ；t1ntn设X2n 1,Y2n2,且X 与 Y 独 立,可 以 证明FX/n1的概率密度函数为Y/n2fyn 12n22n 1n 1yn 111n1yn12n 2,y022n 1nn2n2（1）220n1,其次个自由度为n20,y我们称随机变量F 听从第一个自由度为的 F 分布,记为Ffn1, n2. 连续型F1n 1,n2F1,n 1n2第四章随机变量的数字特
27、点离散型1 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 概率论与数理统计 公式（全）2022-1-1 一 维期望设 X 是离散型随机变量, 其分布设 X是连续型随机变量, 其概率密随 机期望就是平均值律 为PXxk pk,度为 fx,变 量的 数k=1,2, ,n ,EXxfx dx字 特n（要求肯定收敛）征EXxkpkk1（要求肯定收敛）函数的期望Y=gX Y=gX nE Yk1gxkpkE Ygxfx dx方差DX=EX-EXX2,DXx kEX2pkDXxE X2fx dx标准差kXD,对于正整数k,称随机变量X对于正整数k,称随机变量X 的矩的 k 次幂的数学期望为X 的 kk 次幂的数学期望为X的 k 阶原点阶原点矩,记为v k, 即矩,记为 vk, 即k=EXk=xk ipi, k=EX k=xkfxdx ,ik=1,2, .