《2022年未知数比方程个数多的方程组解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年未知数比方程个数多的方程组解法.docx（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载中学数学竞赛专题选讲初三 .11 未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要在一般情形下, 解方程或方程组,未知数的个数总是与方程的个数相同的,但也有一些方程或方程组, 所含的未知数的个数多于方程的个数,包括在列方程解应用题时,引入的辅助未知数 . 解这类方程或方程组,一般有两种情形：一是依题意只求其特别解,如整数解, 或几个未知数的和 积 等,无需求出全部的解；二是在实数范畴内,可运用其性质, 增加方程或不等式的个数 . 例如,利用取值范畴,非负数的性质等 . 二、例题例 1. 在实数范畴内,解以下方程或方程组：2 2 x
2、1 1 x 2 y 0；x 2+xy+y 23x3y+3=0 ；x 1x y z 222 xy z 4解： 依据在实数范畴内,二次根式被开方数是非负数,分母不等于零 . 2x 1 02得不等式组 1 x 0x 1 0x 1解得 x 2=1 而 x 1, y 2 整理为关于 x 的二次方程,利用方程有实数根,就判别式 0. x 2+y 3x+y 2 3y+3=0. x 是实数, 0. 即 y3 24y 23y+3 0 . 解得 y1 2 0 . 而 y 1 20. y=1. x 1是原方程的解 . y 1消去一元后,利用实数平方是非负数性质 . 由得 z=2xy . 代入得 2xy 2xy 24
3、=0. 整理配方,得 x2 2+y2 2=0. 相加得 0 的两个数,只有是互为相反数 . 而 x, y 是实数,名师归纳总结 x22 0,y220. 第 1 页,共 4 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 满意等式的条件只能是：精品资料0. 欢迎下载x2y20x 2方程组的解是 y 2z 2此题在消去 z 后,也可以仿,写成关于 x 的二次方程,用判别式求解 . 例 2. 一个自然数除以 4 余 1,除以 5 余 2,除以 11 余 4,求适合条件的最小自然数 . 分析：此题有多种解法：交集法,设三元,消去一元,用二元一次方程求整数解,设二元,求二元
4、一次方程的整数解 . 解法一：除以 4 余 1 的自然数集合：1 ,5,9, 13,17,21, 37 ；除以 5 余 2 的自然数集合：除以 11 余 4 的自然数集合：2 ,7,12,17, 37 ；4 , 15,26,37, . 三个集合的公共元素中最小的自然数是 37. 解法二：设所求的自然数为 4a+1 或 5b+2 或 11c+4 a,b,c 都是自然数 . 名师归纳总结 得方程组4 a15 b2 1 第 2 页,共 4 页4 a111 c4 2 由1得 a=5 b1bb41. 4设b41kk 为正整数 ,那么 b=4k 1,a=5k1. 由2得c=4a34 5 k1 320 k7
5、k9 k7. 11111111要使9k7为整数, k 取最小正整数2. 11这时 c=3 也可求得 b=7, a=9, 所求自然数是 37. 解法三：设所求的自然数为x, 就x41,x52,x4都是自然数 . 11x41x52x 4 11. x41+x 4111 x 4+11x2也是自然数 . 5x5x2. 设 y=4去分母,得200y=31x 47. x=200y477y13y16. 3131y 取最小正整数5,能使3y16为整数 . 31x=37,即最小的自然数是37. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3. 有甲,乙,丙三种货物精品资料欢迎下
6、载4 件,.如购买甲 3 件,乙 7 件,丙 1 件共需 3.15 元；如购买甲乙 10 件,丙 1 件共需 4.20 元.问购买甲、乙、丙各 1 件共需几元？解：设甲,乙,丙每件分别为x,y,z 元. 1985 年全国中学数学联赛题依据题意,得3x7yz3 . 15 1 依题意只要求出x+y+z 的值 4x10yz.420 2 1 32 2：x+y+z=1.05 （元） . 答：买甲、乙、丙各 1 件共需 1.05 元. 例 4. 甲、乙两车分别从 A、B 两站同时动身,相向而行,当甲车走完全程的一半时,乙车距 A 站 24 公里；当乙车走完全程的一半时,甲车距B 站 15 公里 .求 A、
7、B 两站的距离 . 解：设 A、 B 两站的距离为x 公里,并引入帮助未知数V甲,V乙分别表示甲、乙两车的速度 . 依据题意,得x 这方程组可同时消去两个帮助未知数. 2x24 1 V 甲V 乙xx1522V 甲V 乙x 方程 2左、右不等于零1 2得x2x24. x15解得,x=40；或2x=12 不合题意舍去 . 答： A 、B 两站的距离为40 公里 . 三、练习1. 甲,乙,丙,丁,戊做一件工程,甲,乙,丙合作需 7.5 小时,甲,丙戊合作需 5 小时,甲,丙,丁合作需 6 小时,乙,丁,戊合作需 4 小时 .问五人合作需几小时？2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布,共付42.9 元
8、,售货员收款时发觉甲、乙两种布单价对调了,退给厂方1.6 元,厂方把这1.6 元又买了甲、乙两种布各1 尺.问服装厂共买布几尺？3. 两只船分别从河的两岸同时对开,速度保持不变,第一次相遇时,距河的一岸 700 米,连续前进到达对岸后立刻返回,其次次相遇时,距河的另一岸400 米,求河的宽 . 4. 游泳运动员自闽江逆流而上,在解放大桥把水壶丢失,连续前游 20 分钟才发觉,于是返回追寻,在闽江大桥处追到,已知两桥相距 1000 米,求水流的速度 . 5. 已知长方形的长和宽均为整数,且周长的数值与面积的数值相等 .问这长方形的长和宽各是多少？6. 有一队士兵,如排成3 列纵队,就最终一行只有
9、1 人；如排成5 列纵队,就最终一行只有 7. 人；排成 7 列纵队,就最终一行只有 7. 求以下方程的实数解：12x2x113y06 人.问这队士兵最少是几人？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 5x2+6xy+2y2 14x8y+10=0 x2+1y2+4=8xy 2 x y 1 3 x 2 y 5 08. 一件工程,假如甲单独完成所需的时间是乙,丙合做,完成这件工程所需时间的 a 倍；假如乙单独完成所需的时间是甲,丙合做, 完成这件工程所需时间的 b 倍.其中 ba1,那么丙单独完成所需的时间是
10、甲,乙合做,完成这件工程所需时间的多少倍？1990 年泉州市初二数学双基赛题 9. 甲,乙两车从东站,丙,丁两车从西站,同时相向而行.甲车行 120 公里遇丙车,再行20 公里遇丁车；乙车在离西站126 公里处遇丙车,在中途遇丁车.求东西两站的距离. 10. 三辆车 A,B,C 从甲到乙 .B 比 C 迟开 5 分钟,动身后20 分钟追上 C；A 比 B 迟开10 分钟,动身后 50 分钟追上 C.求 A 动身后追上 B 的时间 . 11. 同学如干人住宿,假如每间 4 人,有 20 人没房住；假如每间 8 人,就有一间不满也不空 .求同学人数 . 12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5 小时,由乙码头逆水航行到甲码头需7 小时；问一木排从甲码头顺水漂流到乙码头要用几小时？练习题参考答案名师归纳总结 1.3 小时,144,210.第 4 页,共 4 页2.53 尺,3.1700 米.4.时速 1.5 公里 .5.6,3；4,46.97 人8.ab2倍. ab19.引入各车的速度,解方程组10.250.11.44 人.12.35 小时 . - - - - - - -