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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载向量学问清单一、向量的有关概念1.向量 :既有大小又有方向的量叫做向量 .向量的大小叫向量的模 也就是用来表示向量的有向线段的长度 . 2.向量的表示方法 : 字母表示法 :如 a b c , , , 等. 几何表示法 : 用一条有向线段表示向量 . 如 AB , CD 等 . 坐标表示法 : 在平面直角坐标系中 , 设向量 OA 的起点 O 为在坐标原点 , 终点 A 坐标为 ,x y , 就 ,x y 称为 OA 的坐标 , 记为 OA = ,x y . 注: 向量既有代数特点 , 又有几何特点 , 它是数形兼备的好工具
2、. 3. 相等向量 :长度相等且方向相同的向量 .向量可以自由平移 ,平移前后的向量相等 .两向量 a 与 b 相等 ,记为a b . 注:向量不能比较大小 ,由于方向没有大小 . 4. 零向量 :长度为零的向量叫零向量 .零向量只有一个 ,其方向是任意的 . 5. 单位向量 :长度等于 1 个单位的向量 .单位向量有很多个 ,每一个方向都有一个单位向量 . 6. 共线向量 : 方向相同或相反的非零向量 ,叫共线向量 . 任一组共线向量都可以移到同始终线上 .规定 :0 与任一向量共线 . 注:共线向量又称为平行向量 .7. 相反向量 : 长度相等且方向相反的向量 . 二、向量的运算一运算定义
3、向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积 ,这些运算的定义都是“自然的 ” ,它们都有明显的物理学的意义及几何意义 . 其中向量的加减法运算结果仍是向量,两个向量数量积运算结果是数量；讨论这些运算 ,发觉它们有很好地运算性质 ,这些运算性质为我们用向量讨论问题奠定了基础 ,向量的确是一个好工具 .特殊是向量可以用坐标表示 ,且可以用坐标来运算 ,向量运算问题可以完全坐标化 . 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言；主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加 法 与OA+ OB = OC记 OA =x1,y1, OB = x1,y2 减法OBOA = AB就 O
4、A OB= x1+x2,y1+y2 OB OA=（x2-x1,y2-y1）OA+ AB= OB实 数 与AB = acos , a b记 a =x,y 向 量 的 R 乘积就 a = x, y 两 个 向a ba b记ax y 1,bx y 2量 的 数量积就 a b =x1x2+y1y2二运算律名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载加法： a b b a 交换律 ; a b c a b c 结合律 实数与向量的乘积： a b a b; a a a; a a两个向量的数量积 : a b = b a ;
5、a b = a b = a b ; a +b c = a c + b c注：依据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满意实数多项式乘积的运算法就,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如 a b 2=a22a bb2三运算性质及重要结论平面对量基本定理 : 假如 e e 是同一平面内两个不共线的向量 , 那么对于这个平面内任一向量 a , 有且只有一对实数 1 , 2 , 使 a 1 e 1 2 e ,称 2 1 e 1 2 e 为 2 e e 的线性组合；1 2其中 e e 叫做表示这一平面内全部向量的基底 1 2 ; 平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 e e 的方向分解为两个向
6、量的和 , 并且这种分解是唯独的 . 这说明假如 a 1 e 1 2 e 且 a 1 e 1 2 e , 那么 1 1 2 2. 当基底 e e 是两个相互垂直的单位向量时 , 就建立了平面直角坐标系 , 因此平面对量基本定理实际上是平面对量坐标表示的基础 . 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即如A x,y,就 OA =（ x,y）；当向量起点不在原点时,向量AB 坐标为终点坐标减去起点坐标,即如A（x1,y1）,B（ x2,y2）,就 AB =x2-x1,y 2-y1 两个向量平行的充要条件符号语言：a / b a b b 0 坐标语言为：设非零向量 a
7、x y 1 , b x y 2 ,就 ab x1,y1= x2,y 2,x 1 x 2即 ,或 x1y2-x2y1=0, 在这里 ,实数 是唯独存在的 ,当 a与b同向时 , 0；当a与b异向时 , 0；y 1 y 2| |= | a | , 的大小由 a及b的大小确定；因此 ,当 a , b 确定时, 的符号与大小就确定了 .这就是实数乘向| b |量中 的几何意义；两个向量垂直的充要条件符号语言：abab0,bx2 ,y2,就abx 1x2y1y20坐标语言：设非零向量ax y 1 1两个向量数量积的重要性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 -
8、- - - - - - - - 2| a|2即|学习必备欢迎下载2aa|a求线段的长度 ; abab0垂直的判定 ; cosa b求角度 ；ab值. 以上结论可以 从向量角度 有效地分析有关垂直、长度、角度等问题 ,由此可以看到向量学问的重要价注 :两向量 a , b 的数量积运算结果是一个数abcos其中a b. ,这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. bcos叫做向量b在 a 方向上的投影（如图）. 数量积的几何意义是数量积a b 等于 a 的模与 b 在 a 方向上的投影的积假如P x y 1,P x2,y2, 就PP =x2x y2y 1, PP2x2x 12y2y 12,
9、 这就是平面内两点间的距离公式. 课前预习1在 ABCD 中, BC CD BA BC2.平面内三点 A 0, 3, B 3,3, C x , 1 ,如 AB BC ,就 x 的值为 1 3. 设 a , b , c 是任意的非零平面对量,且相互不共线,就： a b c ca b =0 | a |- | b | ab | 2 b =9| a |2- 4 b | 2 中, b c a ca b 不与 c 垂直3 a +2 b 3 a真命题是a b4. OAB 中, OA = a , OB = b , OP = p ,如 p = ,t R,就点 P 在 AOB 平分线所在直线上| a | | b
10、|5.已知 a x ,3 , b 2,4 , a b ,就实数 x=_6_. 6. 已知 a b 2, 8 , a b 6, 4 , 就 a _-2,-6_, b _4,-2_, a 与 b 的夹角的余弦值是名师归纳总结 _2_. OA2cos,2sin, OB5cos,5sin, 如OA OB5, 就SOAB= 107 在 O A B中 ,第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载AD,求点 D 和向量 AD 坐标；523.；8. 已知 ABC 中, A （2,- 1）,B（3,2）,C（- 3,- 1）,BC 边上的高
11、为D1,1 AD =-1,2 典型例题B A 一、平面对量的实际背景与基本概念例 1.如图,设 O 是正六边形的中心,分别写出图中与DAC O F 的模相等的向量以及方向相同的向量；解： AD ,BE ,EB ,CFD E CB,EF 二、平面对量的线性运算例 2.如图,在平行四边形ABCD 中, ABa , ADb ,C B D 你能用 a,b 表示向量AC , DB 吗？A AC =a+b, DB = a-b变式 1：如图,在五边形ABCDE 中, ABa , BCb ,E D C CDc , EAd ,试用 a ,b , c , d 表示向量 CE 和 DE . A B CE =a+b+
12、dDE =-a-b-c-d变式 2：已知 OA =a, OB =b, OC =c,OD =d, 且四边形 ABCD 为平行四边形,就 ab+cd=0变式 3：在四边形ABCD 中,如AB1CD ,就此四边形是梯形2变式 4：已知 a、b 是非零向量,就|a|=|b|是a+b与ab垂直的充要条件变式 5：在四边形 ABCD 中, AB =a+2b,BC =4ab,CD =5a3b,其中 a、b 不共线,就四边形 ABCD为梯形名师归纳总结 例 3如图,已知任意两个非零向量a 、b ,试作 OAa + b, OBa + 2b,第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - -
13、 - - - - - - 学习必备欢迎下载a b OCa + 3b,你能判定A、B、C 三点之间的位置关系吗？为什么？A、 B、 C 三点共线OAOC2OB变式 1：已知 OAa + 2b, OB2a + 4b, OC3a + 6b 其中 a 、 b是两个任意非零向量 ,证明： A 、B、C 三点共线证明： ABOBOAa + 2b, ACOCOA2a + 4b,m2a + 2b,OCn1a + 3b 其AC2AB所以, A、B、C 三点共线变式 2：已知点 A、 B、C 在同始终线上,并且OAa + b,OB中 a 、 b 是两个任意非零向量 ,试求 m、n 之间的关系n=2m-6 例 4.
14、已知四边形ABCD ,点 E、F、G、H 分别是 AB、 BC、CD 、DA 的中点,求证：EFHG变式 1：已知任意四边形ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为E、F,求证：ABDC2EF . D C E F 三、平面对量的基本定理及坐标表示A B 例 5.已知 a = 4,2, b = 6,y,且 a / b ,求y 3变式 1：与向量 a = 12,5 平行的单位向量为12,513 13或12,-51313变式 2：已知 a1,2 ,bx ,1,当 a+2b 与 2ab 共线时, x 值为1 2变式 3：已知 A0,3 、B2,0 、C1,3 与AB2AC方向相反的单位向量是0,1
15、 变式 4：已知 a = 1 ,0,b = 2 ,1 试问：当k 为何实数时,kab 与 a+3b 平行 , 平行时它们是同向名师归纳总结 仍是反向？k=-1 3反向P 的坐标分别为x,y 11,x ,y2第 5 页,共 7 页例 6.设点 P 是线段P P 上的一点,1P 、1 当点 P 是线段P P 上的中点时,求点P 的坐标；（x 1x2,y2y2）2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 当点 P 是线段P P 的一个三等分点时,求学习必备欢迎下载y2）3Q P 的坐标（2x13x 2,2y 13变式 1：已知两点M3,2,N5, 5,MP1MN
16、 ,就 P 点坐标是1,22B P 变式 2：如图,设点P、Q 是线段 AB 的三等分点,如OA a,A b OB b,就 OP b2a, OQ 2 b3a用 a、 b 表示 a 3O 四、平面对量的数量积例 7.已知 |a|6,|b| 4 且 a 与 b 的夹角为 60 ,求a + 2ba3b -72 变式 1：已知 a 3, b 4, a b a 2 b 23, 那么 a 与 b 夹角为 120变式 2：已知向量 a 和 b 的夹角为 60 , | a | 3,| b | 4,就（ 2a b） a 等于 12 名师归纳总结 变式 3：在 ABC中,已知 | AB |=4 ,| AC |=1
17、 ,S ABC=3 ,就 AB AC 等于2k=3第 6 页,共 7 页变式 4：设向量2 te 17e 2与向量e 1te 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范畴 . t0 且 t14 2例 8.已知 |a|3,|b| 4 且 a 与 b 不共线, k 为何实数时,向量a + kb 与 ak b 相互垂直？4变式 1：已知 ab ,|a|2,|b| 3,且向量 3a + 2b 与 kab 相互垂直,就k 的值为3 2变式 2：已知 |a|1,|b| 2 且（ ab） a,就 a 与 b 夹角的大小为4例 9.已知 a = 4,2,求与向量a 垂直的单位向量的坐标 （-1,2）（1,2）5555
18、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载25 6变式 1：如 i = 1,0, j =0,1 ,就与 2i+3j 垂直的向量是3i+2j 或 3i2j变式 2：已知向量a1,1,b2,3 ,如ka2b与 a 垂直,就实数 k =1 变式 3：如非零向量a,b相互垂直,就以下各式中肯定成立的是（ B ）A ababB|ab|ab|C abab 0Da2 b 0变式 4：已知向量a（ 3, 4）,b（ 2,x）, c（ 2,y）且 a b,ac求 |bc|的值例 10.已知 A 1,2,B 2,3,C 2 ,5,试判定ABC的外形,并给出证明直角
19、三角形变式 1： O 是ABC 所在的平面内的一点,且满意OBOCOCOA0,就ABC 肯定为直角三角形变式 2：已知 A、B、C 三点不共线, O 是 ABC 内的一点,如 OA OB OC 0,就 O 是 ABC 的重心2变式 3：已知 AB BC AB 0,就 ABC 肯定是直角三角形变式 4：四边形 ABCD 中,AB 6 1, , BC x , y , CD ,2 3 （1）如 BC / DA,试求 x 与 y 满意的关系式；x+2y=0 （2）满意（ 1）的同时又有 AC BD,求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积；x=-6 ,y=3,S=32 或 x=2,y=-1 ,S=32 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页