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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案数列等差数列学问清单1、等差数列定义：一般地,假如一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示；用递推公式表示为 a n a n 1 d n 2 或 a n 1 a n d n 1；2、等差数列的通项公式：a n a 1 n 1 d ；说明：等差数列（通常可称为 A P 数列）的单调性： d 0 为递增数列,d 0 为常数列,d 0 为递减数列；3、等差中项的概念：定义：假如 a ,A,b成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差
2、中项；其中 A a ba , A , b 成等差数列 A a b；2 24、等差数列的前 n 和的求和公式：S n n a 1 a n na 1 n n 1d ；2 25、等差数列的性质：（1）在等差数列 a n 中,从第 2 项起,每哪一项它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列 a n 中,相隔等距离的项组成的数列是 AP ,如：a ,3a ,a ,a , ；a ,8a ,a ,a , ；（3）在等差数列 a n 中,对任意 m , n N ,a n a m n m d ,d a n a m m n ；n m（4）在等差数列 a n 中,如 m , n , p , q N 且 m n p q
3、 ,就 a m a n a p a ；说明：设数列 a n 是等差数列,且公差为 d ,（）如项数为偶数,设共有 2n项,就 S奇 S 偶 nd ； S 奇 a n；S 偶 a n 1（）如项数为奇数,设共有 2 n 1 项,就 S偶 S 奇 a n a中 ； S 奇 n；S 偶 n 16、数列最值（1）a 1 0,d 0 时,S 有最大值；a 1 0,d 0 时,S 有最小值；（2）S 最值的求法：如已知 S ,可用二次函数最值的求法（n N ）；如已知 a ,就 S na n 0 a n 0最值时 n 的值（ n N ）可如下确定 或；a n 1 0 a n 1 0课前预习1（01 天津理
4、, 2）设 Sn 是数列 an 的前 n 项和,且 Sn=n 2,就 an 是 等差 数列2设 a n 是公差为正数的等差数列,如 a 1 a 2 a 3 15,a a a 1 2 3 80,就 a 11 a 12 a 13 105 3（02 京）如一个等差数列前 3 项的和为 34,最终 3 项的和为 146,且全部项的和为 390,就这个数列有 13 项4设数列 an 是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,就它的首项是 2 5（06 全国 II）设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和,如 S 31,就 S 63S 6 3 S 12 106（00 全国）设 an为等差数列
5、, Sn 为数列 an的前 n 项和,已知 S77,S1575,Tn名师归纳总结 - - - - - - -为数列Sn 的前 n 项和,求 Tn；nn249n7（02 上海）设 an（nN*）是等差数列, Sn 是其前 n 项的和,且 S5S6,S6S7S8,就以下结论错误的是（C ）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn 的最大值第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案8（94 全国）等差数列 an的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,就它的前 3m 项和为 210 等比数列学问清单1等比数列定义一般地,假
6、如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q表示 q 0,即：a n 1：a n q q 0 数列（留意：“ 从其次项起” 、“ 常数”q 、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：a n a 1 q n 1 a 1 q 0 ；说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比 d 1 时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：如 a n 为等比数列,就 a m q m n；a n3等比中项假如在 a与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列, 那么 G
7、叫做 a与 b 的等比中项 （两个符号相同的非零实数,都有两个等比中项） ；4等比数列前 n 项和公式一般地,设等比数列 a a a 3 , , a n , 的前 n 项和是 S n a 1 a 2 a 3 a ,当 q 1 时,S n a 1 1 q n 或 S n a 1 a q；当 q=1 时,Sn na 1（错位相减法）；1 q 1 q说明：（1）a 1 , q , n , S n 和 a 1 , a n , q , S n 各已知三个可求第四个； （2）留意求和公式中是 q ,n通项公式中是 q n 1 不要混淆；（3）应用求和公式时 q 1,必要时应争论 q 1 的情形；5等比数列
8、的性质等比数列任意两项间的关系：假如 a 是等比数列的第 n 项,a 是等差数列的第 m 项,且m n,公比为 q ,就有 a n a m q n m；对于等比数列 a n,如 n m u v,就 a n a m a u a v . 如数列 a n 是等比数列,S n是其前 n 项的和,k N *,那么 S ,S2 k S k,S 3 k S 2 k 成等比数列；课前预习1在等比数列a n中,a 712,q32,就a 19_.192 1 3 284 2 23 和 23 的等比中项为13 在等比数列an中,a22,a 554,求a ,-1458 4在等比数列a n中,1a 和a 是方程 102x
9、25x10的两个根 ,就a 4a 71/2 5. 在等比数列an,已知1a5,a 9a 10100,求a 18.20 6（20XX 年北京卷）设f n 24 22710 23 2n10nN ,就f n 等于2 8 7n417（1996 全国文）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn,如 S3S62S9,求数列的公比 q；-8在各项都为正数的等比数列an 中,首项 a13,前三项和为 21,就 a3a4a5数列通项与求和学问清单1数列求通项与和名师归纳总结 （1）数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式： an=s ns n1n2；第 2 页,共 5 页s 1n1- - - - - - -
10、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案（2）求通项常用方法作新数列法；作等差数列与等比数列；累差叠加法；最基本的形式是：累商叠乘法；倒序相加法裂项求和 并项求和an=anan1+an1+an2+ +a2a1+a1；错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和,常用错项相消法；a n b n c n , 其中 nb 是等差数列,nc 是等比数列；课前预习1已知数列a n为等差数列,且公差不为0,首项也不为 0,求和：n11；1 a 1na11,1a ia ini2求111113121 1 , n N * ；2 n3 4 1 2 3 n n
11、1a,2a 2,3a 3, , na n, 的前 n 项和；22b na nlganN3设 a 为常数,求数列4已知a0 a1,数列a n是首项为 a,公比也为 a 的等比数列,令求数列b n的前 n 项和S ；典型例题一、有关通项问题S 1 n 11、利用 a n 求通项 S n S n 1 n 2例： 数列 a n 的前 n 项和 S n n 21（1）试写出数列的前 5 项；（2）数列 a n 是等差数列吗？（3）你能写出数列 a n 的通项公式吗？2n-1 变式题 1、（2005 湖北卷） 设数列 a n 的前 n 项和为 Sn=2n 2,求数列 a n 的通项公式； 4n-2 变式题
12、 2、（ 2005 北京卷） 数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,a n 1 1 S ,n=1,2,3, ,求 a2,a3,3,1 n 1a4的值及数列 an 的通项公式 a n = 4 n 1 n 23变式题 3、（ 2005 山东卷） 已知数列 a n 的首项 a 1 5, 前 n项和为 S ,且 n S n 1 2 S n n 5 n N *,证明数列 a n 1 是等比数列 n+52、解方程求通项：名师归纳总结 例：在等差 数列 a n中,（1）已知S 848,S 12168,求 和d；-5,3 S 17.340 第 3 页,共 5 页（2）已知a 610,S 55, 求a
13、 8 和S 8；16,44 3已知a 3a 1540, 求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式题 1、 a n是首项a 11,公差d名师精编精品教案2005,就序号 n 等于 669 3的等差数列,假如a n3、待定系数求通项：例：（20XX 年福建卷） 已知数列a n满意a 11,a n12 a n1.求数列a n的通项公式； 2n -1 二、有关等差、等比数列性质问题例： 一个等比数列前n 项的和为 48,前 2n 项的和为 60,就前 3 n 项的和为 63 log3a 10；36 变式 1、一个等差数列前n 项的和为 48,前 2n 项的和为
14、 60,就前 3 n 项的和为10 变式 2、等比数列 a n的各项为正数,且a a 5 6a a 4 718, 就log3a 1log3a 2三、数列求和问题例：已知an是等差数列,其中a 131,公差d8；（1）求数列an的通项公式； 39-8n （2）数列a n从哪一项开头小于0？ 4（3）求数列a n前 n 项和的最大值,并求出对应n 的值 172 变式题1、已知a n是各项不为零的等差数列,其中a 10,公差d0,如S 100,求数列an前 n 项和的最大值 5or6 变式题 2、在等差数列a n中,a 125,S 17S ,求S 的最大值 13 a 1b 11,例：求和：S n12
15、 x3x2n nx1变式题 1、已知数列a n4n2和b n21,设cnan,求数列c n的前 n 项和T n 4b n变式题2、（2007 全国 1 文 21）设a n是等差数列, nb是各项都为正数的等比数列,且a 3b 521,a 5b 313（）求 a n, b n的通项公式；2n-1,2n1（）求数列a n的前n 项和b nS 62n13a n的通项公2n例：（1）已知数列a n的通项公式为a n11,求前 n 项的和；nn1（2）已知数列n n式为ann1n1,求前 n 项的和n11实战训练 A 名师归纳总结 1（07 重庆文）在等比数列 an 中, a28,a564,就公比 q
16、为x32 3 2（07 重庆理）如等差数列 a 的前三项和S 39且a 11,就a 等于3设 a 为公比q1 的等 比 数列, 如a 2 0 04 和a2005是方程4x280的两根 , 就a20 06a 2 00 7_.9/2 第 4 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编精品教案4 81 4（07 天津理）设等差数列a n的公差 d 不为 0, 19 d 如ka 是a 与a 2k的等比中项,就 k5等差数列 an 中, a1=1,a3+a5=14,其前 n 项和 Sn=100,就 n= 10 6.等差数列 an的前 n 项和为 S
17、n,如S 22,S 410,就S 6等于247已知a n是等差数列,a 1010,其前 10 项和S 1070,就其公差 d238已知 a, , ,d成等比数列,且曲线y2 x2x3的顶点是 b,c,就 ad 等于2 9（07 辽宁理）设等差数列 a n的前 n 项和为S ,如S 39,S 636,就a 7a 8a 9实战训练 B 1（07 江西文）已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S ,如 S 12 21,就 a 2 a 5 a 8 a 117 2（07 湖南文）在等比数列 a （ n N * ）中,如 a 1 1, 4 1,就该数列的前 10 项和为 2 1108 223（07 广东
18、理）已知数列 a 的前 n 项和 S n n 9 n ,第 k 项满意 5 a k 8,就 k 824（07广东文）已知数列 a 的前 n 项和 S n n 9 n,就其通项 a n；如它的第 k 项满意 5 a k 8,就 k2n-10 ; 85等比数列 a n 中,a 4 4,就 a a 等于 2 6 16 6如数列 a n 的前 n 项和 S n n 210 n n 1 2 3,就此数列的通项公式为 2n-11 7（07 安徽文）等差数列 a n 的前 n 项和为 S 如 a 2 ,1 a 3 ,3 就 S 4108（07 辽宁文）设等差数列 a n 的前 n 项和为 S ,如 S 3 9,S 6 36,就 a 7 a 8 a 9 45 9数列 a n 中,a 1 2,a n 1 a n cn（ c 是常数,n 1 2 3, ）,且 a 1,a 2,a 3 成公比不为 1的等比数列（I）求 c 的值； 2 名师归纳总结 （II）求a n的通项公式 n2 -n+2 第 5 页,共 5 页- - - - - - -