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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 二 次 根 式 复习课【学问点汇总】学问点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式；注：在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须留意：由于负数没有平方根,所以,是为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而等都不是二次根式；学问点二：取值范畴1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a0 时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可；2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a 0 时,没有意义；学问点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根,
2、 也就是说,（）是一个非负数,即0（）；注：由于二次根式（）表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根是 0,所以非负数（）的算术平方根是非负数,即 0（）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和肯定值、偶次方类似；这个性质在解答题目时应用较多, 如如,就 a=0,b=0 ；如,就 a=0,b=0 ；如,就 a=0,b=0 ；学问点四：二次根式（）的性质（文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论；上面的公式也可以反过来应用：如,就,如：,. 学问点五：二次根式的性质名师归纳总结 - - - -
3、 - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值；注：1、化简 时,肯定要弄明白被开方数的底数 a 是正数仍是负数,如是正数或 0,就等于 a 本身,即；如 a 是负数,就等于 a 的相反数 -a, 即；名师归纳总结 2、中的 a 的取值范畴可以是任意实数,即不论a 取何值,肯定有意义；3、化简时,先将它化成,再依据肯定值的意义来进行化简；a 的算术平方根的学问点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的,表示一个正数平方,而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中,而中 a可以是正实数,0,负
4、实数；但与都是非负数,即,；因而它的运算的结果是有差别的,而时,无意义,2、相同点： 当被开方数都是非负数,即时,=；而. 第 2 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【历年考点例析】考点 1、无理数 学问回忆：无限不循环的小数,叫做无理数；学问特点：常见的无理数：1、 以及 的有理数倍数；2、2 、3 、5 ；3、201001000100001 考查题型例 1、写出一个有理数和一个无理数,使它们都是小于1 的数；（08年自贡市）分析： -1 的肯定值是1,所以,小于1 的数的肯定值肯定要大于1,只要符合这一点,就可以了,所以,此题的答案
5、不是唯独的；解：小于 1 的有理数 -4 、-5 等等,小于 1 的无理数 -2 、-3 、-5 等等；例 2、从实数2 ,1 ,0, , 4 中,选择出的两个数都是无理数的为（）3A. 1 ,0 B. , 4 C. 2 ,4 D. 2 , （ 08 年湖北省宜昌市）3分析：依据常见的无理数,可以发觉只有-2 和 是无理数,因此,选项 D是正确的；解：选 D；例 3、如图 1 所示, A,B,C,D四张卡片上分别写有5 2, ,7四个实数,从中任取两张卡片A B C D （图 1）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - -
6、（1）请列举出全部可能的结果（用字母A,B,C,D表示）；（2）求取到的两个数都是无理数的概率（08 嘉兴市）、分析：用列表的方式,把全部的结果找出来,后依据无理数的定义,作出判定；解：（1）认真观看上面的四个数,不难发觉B、D是无理数, A 和 C是有理数,结果列表如下：2 认真观看上表,一共有12 种可能性,期中；都是无理数的可能性有2 种,为：21因此,两个数都是无理数的概率126考点 2、平方根学问回忆：一般地,假如一个数x 的平方等于a,即 x2=a,那么这个数x 叫做 a 的平方根；记作a ；读作“ 正负根号a”学问特点：1、 被开方数 a,满意的关系式是：a0；2、平方根 x 与
7、被开方数 a,满意的关系式是：x=a ；3、被开方数 a 与平方根 x,满意的关系式是：a= x 2= （a ）2= a 2= （-a ）2；4、两个平方根之间满意的关系式是：a +（-a ）=0,即两个平方根互为相反数,所以,他们的和为 0. 如下说法都是正确的：名师归纳总结 a的平方根是a ；第 4 页,共 16 页a 是a的平方根；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - -a 是a的平方根；a 是a的平方根；其中a是非负数；此外, 0的平方根是 0这个特例要记清晰；考查题型例 4、2 的平方根是（）A4 B2 C2 D2 （08 年南京市）分析：依据平
8、方根的特点,正数有两个平方根,且常用“ ” 来表达“ 两个”；解：选 D；例 5、9 的算术平方根是A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 （08 恩施自治州）分析：算术平方根是平方根中的正数根,只有一个,所以,选项由于, 32=9,所以, 9 的算数平方根是3；解：选 B. 例 6、化简：4 =（）A、C都是不正确的； A 2 B 2 C4 D 4（08 年甘肃省白银市）分析：懂得 4 的意义是解题的关键；4 的意义实际上就是求正数 4 的算术平方根,所以,应当只有一个,为正数,并且这个数的平方应当等于 4,这样只有选项 A符合要求；解：选 A；化简42=_；08 年安徽省 16 的算数平方
9、根,由于,分析： 由于,（-4 ）2=16,42的意义是求正数4 2=16,所以,42=4.考点 3、二次根式学问回忆：形如 a （a0）的式子,叫做二次根式；学问特点：名师归纳总结 1、被开放数a 是一个非负数；a 0；第 5 页,共 16 页2、二次根式a 是一个非负数,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、有限个二次根式的和等于0,就每个二次根式的被开方数必需是0. 考查题型例 7、如式子 x 5 在实数范畴内有意义 , 就 x 的取值范畴是A. x-5 B. x-5 C.x -5 D.x-5 08 常州市 分析：在这里二次根式的被开方数是 x
10、+5,要想使式子 x 5 在实数范畴内有意义 , 必需满意条件：x+5 0,所以, x-5 ,因此,选项 D是正确的；解：选 D；例 8、如a2b30,就a2b（08 年遵义市）分析：由于, |a-2|和b3都是非负数,并且它们的和是0,08 年宁波市 所以, |a-2|=0且b3=0,所以, a=2,b=3,所以, a2-b=4-3=1. 满意x2y320,就 xy 的值是例 9、如实数 x,y分析：由于,x2和 yy32都是非负数,并且它们的和是0,所以,x2=0 且32=0,所以, x=-2 ,y=3 ,3 . 所以, xy=-2考点 4、二次根式的化简与运算学问回忆：二次根式的化简,实
11、际上就是把二次根式化成最简二次根式,然后,通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算；学问特点：名师归纳总结 二次根式的加减运算：am +bm =（a+b）m ,（m0）；第 6 页,共 16 页二次根式的乘法运算：a .b =ab , a 0, b 0 ；a b =aab, a 0, b 0 ；二次根式的除法运算：bb二次根式的乘方运算：a2=a, a 0 ；二次根式的开方运算：a2=a ,a00a,a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 考查题型例 10、以下运算正确选项（）A 2 3 4 2 6 5 B8 4 2C27 3 3 D 3 2 3
12、（08 年聊城市）分析：这就是二次根式化简的综合题目,2 3 与 4 2 的被开方数不相同,所以,它们不是同类二次根式,所以,不能进行合并运算,所以,A 是错误的；2由于,8 4 2 2 2 2 2,所以, B 也是错误的；由于,27 3 = 27 3 9 3,所以, C是正确的；依据二次根式的开方公式,得到 D是错误的；解：选 C；例 11、如xabb,yaabb,就 xy 的值为 A2a B2 Cb Dab（ 08 年大连市）分析： xy=（ab）（a）=a2- b2=a-b ,所以, D是正确的；解：选 D；考点 5、最简二次根式学问回忆：满意以下条件的二次根式,叫做最简二次根式：1 被
13、开方数的因数是整数,因式是整式；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；学问特点：1、最简二次根式中肯定不含有分母；2、对于数或者代数式,它们不能在写成 an m的形式；考查题型例 12、以下根式中属最简二次根式的是（）27（08 年湖北省荆州市）A.a21 B.1 C.8 D.2分析：名师归纳总结 由于 B 中含有分母,所以B不是最简二次根式；第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而 8=22 2,27=32 3,所以,选项C、D都不是最简二次根式；所以,只有选项 A 是正确的；解：选 A；考点 6、估算例 13、估量32120
14、的运算结果应在（）2（ 08 年 芜 湖 市 ）分析：3212016204252由于, 45 9,所以,459,所以, 25 3, 所以, 425 6, 5 +410, 也就是在 8 到 9 之间 . 所以, 4+425 +46+4, 所以, 82解: 选择 C. 【考试题型归纳】一. 基本概念型例 1.二次根式a1 中,字母的取值范畴是（）D. a1a0 ；就二A. a1B. a1C. a1析解：形如a a0 的式子叫二次根式,其中被开方数a 的取值范畴是次根式a1 中, a10 ,即 a1,应选 C；说明：留意二次根式中被开方数是非负数这个隐含条件是解题关键；名师归纳总结 例 2.在以下根
15、式 45、2a3、b、8x 中,最简二次根式有（）第 8 页,共 16 页A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个析解：最简二次根式的概念是（1）被开方式的因数是整数,因式是整式；（ 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；而2a3a2a、8x2 2x；所以最简二次根式有 45、b 两个,应选C；例 3.以下根式中,与3 是同类二次根式的是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. 24B. 12C. 3D. 182析解：几个二次根式化成最简二次根式以后,假如被开方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式；而242 6、1223、36、183
16、2,所以与3 是同22类二次根式的是12 ,应选 B；二. 性质运用型x2例 4.已知 x2 ,就化简x24x4 的结果是（）, 所 以A. x2B. x2C. x2D. 2x析 解 ：x24x4x22|x2 | , 因 为x2,x204x42x；应选 D a例 5.化简4x24x12x32 得（）；（ 2）A. 2 B. 4x4C. 2D. 4x4析解：由于 2x30, x3,2x322x3,2所以 2x10,4x24x1| 2x1 |2x1故4x24x12x322x12x32；应选 A；说 明 ： 以 上 二例 主 要 应用 二 次 根 式 的性 质 ：（ 1）a2| |a a0a a02
17、a a0 ；正确应用二次根式的性质是解决此题的关键；三. 结论开放型例 6.先将x2x3xx2化简,然后自选一个合适的x 值,代入化简后的式子求x22值；名师归纳总结 析解：这是一道结论开放题,它留给我们较大的发挥和制造空间；但要留意x 的取值范畴是 x2 ；原式x2x212xx2x22xx2x2第 9 页,共 16 页x2xx2xx2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2,取 x4 ,原式2；四. 大小比较型2 2 2 2例 7. 用运算器运算 2 1 , 3 1,4 1 , 5 1, ,依据你发觉的规律,2 1 3 1 4 1 5 1判定 P n
18、2 1,与 Q n 1 1,（n 为大于 1 的整数）的值的大小关系为（）n 1 n 1 1A. P Q B. P Q C. P Q D. 与 n 的取值有关2 2 2 2析解：利用运算器运算得：2 1 3 1 4 1 5 1,从而可以推断2 1 3 1 4 1 5 1P n 2 1 Q n 1 21,应选 C；n 1 n 1 1例 8. 设 a 3 2 , b 2 3 , c 5 2,就 a, b,c 的大小关系是（）A. a b c B. a c b C. c b a D. b c a析解：1 1 3 2 3 2,同理1 2 3 1 5 2；a 3 2 3 2 3 2 b c由于 5 2
19、2 3 3 2 0 ,所以1 1 10 , c b a；应选 A ；c b a五. 判定正误型例 9. 化简32时,甲的解法是：53253 522,52 ,525乙的解法是：32525252 ,以下判定正确选项（）552A. 甲的解法正确,乙的解法不正确B. 甲的解法不正确,乙的解法正确C. 甲、乙的解法都正确D. 甲、乙的解法都不正确名师归纳总结 - - - - - - -析 解 ： 甲 是 将 分 子 和 分 母 同 乘 以52 进 行 分 母 有 理 化 , 乙 是 利 用35252 进行约分,所以二人都是正确的,应选C；例 10. 对于题目“ 化简并求值：11a22,其中 a1” ,甲
20、、乙两人的解答aa25不同；第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 甲的解答是：11a2211a211a49；aa2aaaa5乙的解答是：11a221a121a11；aa2aaaa5谁的解答是错误的？为什么？析解：乙的解答是错误的；a因 为 当 aa1时 ,15 ,a10, 所 以a12a1, 而 应 当 是5aaaa121；aa六. 规律探究型例 11. 细心观看图形,认真分析各式,然后解答问题；1212 ,1S1；22213 ,S 22；23214 ,S 33；2 （1）请用含有 n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出 OA10 的长；名
21、师归纳总结 （3）求出 S 1 2S 2 2S 3 2,S 10 2的值；1 ,S nn；第 11 页,共 16 页析解：（1）通过类比,可推知n21n2（2）OA 11,OA 22OA 33,OA 1010- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3） S 1 2S 2 2S 3 2S 10 2122223 221022221 13105544七. 运算说理型例 12. 有这样一道题,运算：x xx24xx24x2x2 的值,其中x24xx24x1005 ,某同学把“x1005 ” 错抄成“x1050 ” ,但他的运算结果是正确的；请回答这是怎么回事？试说
22、明理由；析解：这是一道说理型试题,既然x 的值取错,运算结果仍是正确；那么可以推测此二次根式化简后与 原式x 的值无关；这时应从二次根式的化简入手,掀开它神奇的面纱；x4x2x4224xx4x2x4224x2x2xx2xxx2x2442xx24x2x2442xx24x24x28x224八. 数形结合型例 13. 如图 1,正方形网格中, 每个小正方形的边长为1,就网格上的三角形ABC 中,边长为无理数的边数有（）D. 3 个A. 0 个B. 1 个C. 2 个图 1 名师归纳总结 析解：由题意知BC223213, AC32425,AB521226；所以边长为无理数的边数是2 个,应选 C；第
23、12 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 14.“ 数轴上的点并不都表示有理数,如图 2 中数轴上的点P 所表示的数是2 ” ,这种说明问题的方式表达的数学思想方法叫做（）图 2 A. 代入法 B. 换元法 C. 数形结合 D. 分类争论析解：此题“ 形”“ 数” 结合,所反映的正是数学中的一种思想方法“ 数形结合” 故选 C；九. 阅读懂得型例 15. 我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“ 三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积；用现代式子表示即为：s1a b 22a2b2c22 （其中 a、b、c 为三角形的三边长,s
24、 为面积）；42而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：sp papbpc （其中pabc）2（1）如已知三角形的三边长分别为 角形的面积 s；5、7、8,试分别运用公式和公式,运算该三（2）你能否由公式推导出公式？请试试；名师归纳总结 析解：（1） s1527225272822 210 3第 13 页,共 16 页4215272128 1053254810 32又 p157810,2s10 105 10710（2）1 4a b 22a2b2c 22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1aba2b2c2aba2b2c242211 16c2ab
25、2ab2c2abc pc1 16cabcab abc 1 162p2a2p2b2p2p2cpb apbpc p p2p paa2b2c22 2 a b42【解题策略】一、二次根式的定义例 1 函数 y2x1 的自变量 x 的取值范畴是（）A；）A x 1 B x 1 C x 1 D x 12 2 2 2解题策略：依据二次根式的定义,被开方数必需是非负数；答案为例 2 函数 y125x的自变量 x 的取值范畴是（xx3A.2x5B.2x5C.2x5 且x3D.2x5 且x3解题策略：依据二次根式的定义,被开方数必需是非负数,仍应特殊留意分式的分母 不能为零；答案为：C；二、二次根式的性质例 3
26、如 y24y4xy10,就 xy 的值等于（）y220, A. -6 B. -2 C. 2 D. 6 解题策略：紧扣二次根式a a0 是一个非负数的性质,可以得到：xy10故 x3,y2；答案为： A 例 4 假如x2 2x2,那么 x 的取值范畴是（）0；答案为 C；A x2B x2c x2D x2解题策略：运用二次根式a a0 是一个非负数的性质知,x2例 5 如 b0,化简ab3 的结果是（）A.b abB babC .babD bab解题策略：紧紧抓住二次根式被开方数必需是非负数,由二次根式的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - -
27、 - - - - - - a2| |a a0 知a a0 ab 3答案为： C ab b2b ab三、最简二次根式例 6 把二次根式 xyy0 化成最简二次根式为_；x例 7 以下各式中属于最简二次根式的是（）D.05A.x21B .x y 25C .12解题策略：最简二次根式必需满意以下两个条件：（1）被开方数的因数是整数,因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；例 6 的答案为：xy ,例 7 的答案为： A；四、同类二次根式例 8 在以下二次根式中与2 是同类二次根式的是（1）A.8B.10C.12D.27例 9 在以下各组根式中,是同类二次根式的是（A.3 和18B .
28、3 和13C .a b 2 和2 abD.a1 和a解题策略：紧扣定义：化成最简二次根式之后,被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式；例 8 的答案为 A,例 9 的答案为 B；五、二次根式的化简运算例 10 2 3 2 23 12 22 3 2 3 12 2 3 2 3 2 2 以上推导中错误在第（）步 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解题策略：紧扣二次根式的性质 a a 0 是一个非负数,第（2）步 2 3 是一个负2数, 2 3 是一个正数,答案为 B；例 11 运算 18 3 1 02 1解题策略：二次根式的有关概念是二次根式化简与运算的基础,二次根式的性质是二次根式化简与运算
29、的依据；2 1 与 2 1 互为有理化因式,8 2 2 ,答案为：2 ；六、二次根式的条件求值名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 12 已知 aB. 4 12,b12,就a 2b27 的值为（）55D. 6 A. 3 C. 5 解题策略：分母有理化是在进行二次根式的化简与运算经常用的方法；简解： a215225552b1 525原式ab 22 ab7答案为 C 例 13 先化简,再求值：ab2ab2其中 a=3,b=4 解题策略：合并同类二次根式是在进行二次根式的化简与运算经常用的方法；当 a=3,b=4 时,原式a2abb a2abb 4ab8 3七、二次根式的应用名师归纳总结 例 14 如图,数轴上表示1、2 的对应点分别为A、B,点 B 关于点 A 的对称点为C,第 16 页,共 16 页设点 C所表示的数为x,求 x2 的值；xC A B 0 x 1 2解题策略：看懂题意、图意,抓住“ 点B 关于点 A 的对称点为C” 解题ABAC21x121 22x2222224x- - - - - - -