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1、第6章 动力学第1页，共38页，编辑于2022年，星期一 动力学是机器人控制的基础，本章主要从控制的角度来研究机械手的动力学问题。机械手通常是一种开链式多关节机构，是一种复杂的动力学系统，需要采用系统的分析方法来研究它的动态特性。本章我们运用拉格朗日力学原理来分析机械手的动力学问题，因为拉格朗日方法能以最简单的形式求得非常复杂的系统的动力学方程。本章的主要内容如下：运用拉格朗日力学原理分析和求取两自由度机械手的动力学方程；介绍六自由度机械手动力学方程的求取方法和步骤；推导出完整的动力学方程，然后根据有效性分析来简化这些方程。6.1 引言引言(Introduction)2第2页，共38页，编辑于
2、2022年，星期一 拉格朗日算子拉格朗日算子 L 定义为系统的动能定义为系统的动能 K 与势能与势能 P 的差的差 L=K P (6.1)系系统统的的动动能能和和势势能能可可以以用用任任何何能能使使问问题题简简化化的的坐坐标标系系统统来来表表示示，并并不不一定要使用笛卡尔坐标。一定要使用笛卡尔坐标。动力学方程通常表述为动力学方程通常表述为 其其中中，qi是是表表示示动动能能和和势势能能的的坐坐标标值值，是是速速度度，而而Fi是是对对应应的的力力或或力力矩矩，Fi是是力力还还是是力力矩矩，这这取取决决于于qi是是直直线线坐坐标标还还是是角角度度坐坐标标。这这些些力力、力力矩矩和和坐坐标标分分别别
3、称称为为广义力、广义力矩和广义坐标。广义力、广义力矩和广义坐标。(6.2)6.2 拉格朗日力学拉格朗日力学 一个简例一个简例(Lagrangian Mechanics A Simple Example)3第3页，共38页，编辑于2022年，星期一 为为了了说说明明问问题题，我我们们看看一一个个具具体体例例子子，假假定定有有如如图图6.16.1所所示示的的两两连连杆杆的的机机械械手手，两两个个连连杆杆的的质质量量分分别别为为m m1 1、m m2 2，由由连连杆杆的的端端部部质质量量代代表表，两两个个连连杆杆的的长长度度分分别别为为d d1 1、d d2 2，机机械械手手直直接接悬悬挂挂在在加加
4、速速度度为为g g的的重重力场中，广义坐标为力场中，广义坐标为1 1和和2 2。m2d1d2m1xy图图6.1 6.1 两连杆的机械手两连杆的机械手4第4页，共38页，编辑于2022年，星期一 动能的一般表达式为动能的一般表达式为 ，质量，质量m1的动能可直接写出的动能可直接写出 势能与质量的垂直高度有关，高度用势能与质量的垂直高度有关，高度用y坐标表示，于是势能可直接写出坐标表示，于是势能可直接写出 对对于于质质量量m2，由由图图6.1，我我们们先先写写出出直直角角坐坐标标位位置置表表达达式式，然然后后求求微微分分，以以便便得得到到速度速度(6.4)(6.4)(6.3)(6.3)(6.5)(
5、6.5)(6.6)(6.6)6.2.1 动能和势能动能和势能(The Kinetic and Potential Energy)5第5页，共38页，编辑于2022年，星期一速度的直角坐标分量为速度的直角坐标分量为 速度平方的值为速度平方的值为(6.8)(6.8)(6.7)(6.7)(6.9)(6.9)6第6页，共38页，编辑于2022年，星期一从而动能为从而动能为(6.10)(6.10)质量的高度由式质量的高度由式(6.6)(6.6)表示，从而势能就是表示，从而势能就是(6.11)(6.11)7第7页，共38页，编辑于2022年，星期一拉格朗日算子拉格朗日算子 L=K P 可根据式可根据式(6
6、.3)、(6.4)、(6.10)和和(6.11)求得求得(6.12)(6.12)6.2.2 拉格朗日算子拉格朗日算子(The Lagrangian)8第8页，共38页，编辑于2022年，星期一为了求得动力学方程，我们现在根据式为了求得动力学方程，我们现在根据式(6.2)(6.2)对拉格朗日算子进行微分对拉格朗日算子进行微分（6.136.13）（6.146.14）（6.156.15）6.2.3 动力学方程动力学方程(The Dynamics Equations)9第9页，共38页，编辑于2022年，星期一根据式根据式(6.2)(6.2)，把式，把式(6.14)(6.14)与与(6.15)(6.1
7、5)相减就得到关节相减就得到关节1 1的力矩的力矩（6.166.16）10第10页，共38页，编辑于2022年，星期一(6.17)(6.18)(6.19)用拉格朗日算子对 求偏微分，进而得到关节2的力矩方程 11第11页，共38页，编辑于2022年，星期一于是关节2的力矩为（6.20）将式(6.16)和(6.20）重写为如下形式（6.21）（6.22）12第12页，共38页，编辑于2022年，星期一 在方程（6.21）和（6.22）中各项系数 D 的含义如下：Dii 关节 i 的等效惯量（Effective inertia），关节 i 的加速度使关节 i 产生的力矩Dij 关节 i 与关节 j
8、 之间的耦合惯量（Coupling inertia）关节 i 或关节 j 的加速度分别使关节 j 或 i 产生的力矩 和Dijj 由关节 j 的速度产生的作用在关节 i 上的向心力 系数 （Centripetal force）Dijk 作用在关节 i 上的复合向心力（哥氏力 Coriolis force）的组合项 系数，这是关节 j 和关节 k 的速度产生的结果Di 作用在关节 i 上的重力（Gravity）13第13页，共38页，编辑于2022年，星期一 把方程(6.16)、(6.20)与(6.21)、(6.22)比较，我们就得到各项系数的值：等效惯量 D11=(m1+m2)d12 +m2d
9、22 +2m2d1d2cos(2)(6.23)D22=m2d22 (6.24)耦合惯量 D12=m2d22 +m2d1d2cos(2)(6.25)向心加速度系数D111=0 (6.26)D122 =-m2d1d2sin(2)(6.27)D211=m2d1d2sin(2)(6.28)D222=0 (6.29)14第14页，共38页，编辑于2022年，星期一 哥氏加速度系数D112=D121=-m2d1d2sin(2)(6.30)D212=D221=0 (6.31)重力项为D1=(m1+m2)gd1Sin(1)+m2gd2Sin(1+2)(6.32)D2=m2gd2Sin(1+2)(6.33)15
10、第15页，共38页，编辑于2022年，星期一 下下面面给给两两连连杆杆机机械械手手赋赋予予具具体体数数值值，并并且且对对于于静静止止状状态态（）和和在在无无重重力力环环境境中中的的机机械械手手求求解解方方程程(6.21)和和(6.22)。求求解解在在下下列列两两种种条条件件下下进进行行:关关节节2处处于于锁锁定定状状态态（）；关关节节2处于自由状态处于自由状态(T2=0)。在第一种条件下在第一种条件下,方程方程(6.21)和和(6.22)简化为简化为 在在第第二二种种条条件件下下，T2=0，我我们们可可以以由由方方程程(6.22)解解出出 ，再再把把它它代代入入方方程程(6.21)，得得到到T
11、1于是于是代入方程代入方程(6.21)(6.21)有有 (6.36)(6.36)(6.35)(6.35)(6.34)(6.34)16第16页，共38页，编辑于2022年，星期一 现现在在，取取定定 d1=d2=1，m1=2，而而对对于于三三个个不不同同的的 m2 值值，分分别别求求出出各各个个系系数数：m2=1，表表示示机机械械手手无无负负载载情情况况；m2=4，表表示示有有负负载载；m2=100，表表示示位位于于外外太太空空(无无重重力力环环境境)的的机机械械手手的的负负载载。在在外外太太空空，没没有有重重力力负负载载，允允许许非非常常大大的的工工作作负负载载。根根据据求求得得的的系系数数以
12、以及及方方程程(6.34)和和(6.35)，分分别别对对应应关关节节2的的四四种种不不同同的的锁锁定定状状态态 IL和和自自由由状状态态 If，计算关节计算关节1的惯量如下表所示（表中的惯量如下表所示（表中 IL 表示锁定状态，表示锁定状态，If 表示自由状态）。表示自由状态）。表表6.1 6.1 m m1 1=2,m=2,m2 2=1,d=1,d1 1=1,d=1,d2 2=1=1D D1111 D D1212 D D2222 I IL L I If f CosCos2 21 6 2 1 6 21 6 2 1 6 2 0 4 1 1 4 30 4 1 1 4 3-1 2 0 1 2 2-1
13、2 0 1 2 2 0 4 1 1 4 30 4 1 1 4 3217第17页，共38页，编辑于2022年，星期一表表6.2 6.2 m m1 1=2,m=2,m2 2=4 ,d=4 ,d1 1=1,d=1,d2 2=1=1D D1111 D D1212 D D2222 I IL L I If f CosCos2 21 18 8 4 18 21 18 8 4 18 2 0 10 4 4 10 60 10 4 4 10 6-1 2 0 4 2 2-1 2 0 4 2 2 0 10 4 4 10 60 10 4 4 10 6表表6.3 6.3 m m1 1=2,m=2,m2 2=100,d=100
14、,d1 1=1,d=1,d2 2=1=1D D1111 D D1212 D D2222 I IL L I If f CosCos2 21 402 200 100 402 21 402 200 100 402 2 0 202 100 100 202 1020 202 100 100 202 102-1 2 0 100 2 2-1 2 0 100 2 2 0 202 100 100 202 1020 202 100 100 202 1022218第18页，共38页，编辑于2022年，星期一 上上面面三三个个表表格格中中，靠靠右右两两列列表表明明关关节节1 1的的等等效效惯惯量量。表表6.16.1说
15、说明明，对对于于无无负负载载的的机机械械手手来来说说，2 2 从从 00变变为为 180180，在在锁锁定定状状态态情情况况下下，等等效效惯惯量量I IL L的的变变化化为为 3:13:1。同同时时，在在2 200时时，锁锁定定状状态态（I IL L）和和自自由由状状态态（I If f）等等效效惯惯量量的变化也为的变化也为 3:13:1。从从表表6.26.2可可以以看看出出，对对于于加加载载机机械械手手，2 2从从 00变变为为 180180，在在 锁锁定定状状态情况下，等效惯量态情况下，等效惯量I IL L的变化为的变化为 9 9:1:1。而自由状态等效惯量。而自由状态等效惯量I If f的
16、变化为的变化为 3 3:1:1。对对于于表表6.36.3所所示示的的负负载载为为100100的的外外太太空空机机械械手手，在在不不同同状状态态下下惯惯量量的的变化竟为变化竟为 201 201:1:1。这些关联的变化情况对于机械手的控制问题将有重要的影响。这些关联的变化情况对于机械手的控制问题将有重要的影响。19第19页，共38页，编辑于2022年，星期一6.3 机械手动力学方程机械手动力学方程(The Manipulator Dynamics Equation)推导机械手的动力学方程可按下述五个步骤进行推导机械手的动力学方程可按下述五个步骤进行首先计算机械手任意连杆上任意一点的速度首先计算机械
17、手任意连杆上任意一点的速度 ；再计算它的动能再计算它的动能 K；然后推导势能然后推导势能 P；形成拉格朗日算子形成拉格朗日算子 L=K P；对拉格朗日算子进行微分得到动力学方程对拉格朗日算子进行微分得到动力学方程 。20第20页，共38页，编辑于2022年，星期一假定机械手的连杆假定机械手的连杆 i 上有一个点上有一个点 ir，它在基坐标中的位置为，它在基坐标中的位置为于是，它的速度就是于是，它的速度就是速度的平方速度的平方或者用矩阵形式表为或者用矩阵形式表为（6.376.37）（6.396.39）（6.386.38）6.3.1 机械手上一点的速度机械手上一点的速度(The Velocity
18、of a Point on the Manipulator)z0ziyxiryixiTi21第21页，共38页，编辑于2022年，星期一 根据方程根据方程(6.38)(6.38)可得可得（6.406.40）22第22页，共38页，编辑于2022年，星期一 在连杆在连杆i上上 ir 处，质量为处，质量为 dm 的质点动能是的质点动能是 于是，连杆于是，连杆i的动能就是的动能就是(6.42)(6.42)(6.41)(6.41)6.3.2 动能动能(The Kinetic Energy)23第23页，共38页，编辑于2022年，星期一式式(6.42)(6.42)中的积分称为伪惯量矩阵，可由下式确定中
19、的积分称为伪惯量矩阵，可由下式确定 （6.436.43）=iiiiiiiiiiiiiiiiilinklinklinkilinkilinkilinkilinkilinkiilinkiilinkilinkiilinkilinkiilinkilinkiilinkiilinkiTiiidmzdmydmxdmzdmdmzzdmyzdmxydmzdmydmyydmxxdmzdmxydmxdmxdmrrJ22224第24页，共38页，编辑于2022年，星期一回顾一下转动惯量，惯量叉积和物体的一阶动量的定义为回顾一下转动惯量，惯量叉积和物体的一阶动量的定义为 25第25页，共38页，编辑于2022年，星期一从
20、而从而 (6.46)(6.46)(6.44)(6.44)(6.45)(6.45)26第26页，共38页，编辑于2022年，星期一 于是，于是，Ji 就能表示为就能表示为（6.476.47）机械手的总动能就是机械手的总动能就是（6.486.48）27第27页，共38页，编辑于2022年，星期一 上上面面这这个个方方程程表表示示了了机机械械手手结结构构的的动动能能，然然而而，动动能能还还有有另另外外一一个个重重要要组组成成部部分分，即即各各个个关关节节的的传传动动机机构构的的动动能能（对对非非直直接接驱驱动动机机械械手手而而言言）。我我们们通通过过传传动动机机构构的的惯惯量量以以及及有关的关节速度
21、表示这部分动能有关的关节速度表示这部分动能 把把TraceTrace运运算算和和求求和和运运算算相相互互交交换换一一下下，再再加加上上传传动动机机构构的的动动能能部部分分，最最后后得得到到机机械械手手的的总总动能为动能为在棱柱形滑动关节的情况下，在棱柱形滑动关节的情况下，I Ia a成为一个等价质量。成为一个等价质量。(6.49)(6.49)28第28页，共38页，编辑于2022年，星期一 在在重重力力场场g中中，一一个个物物体体的的质质量量为为m，位位于于某某个个参参考考零零点点之之上上的的高高度度为为h，它的势能为它的势能为 P=m g h (6.50)如如果果由由重重力力引引起起的的加加
22、速速度度表表示示为为矢矢量量g，物物体体质质心心的的位位置置表表为为矢矢量量 ，那那么么式式(6.50)就变为就变为 例例如如，在在重重力力场场中中，g=0i+0j 32.2k，=10i+20j+30k，位位于于r处处的的质质量量m就有势能就有势能 966 nm。(6.51)6.3.3 势能势能(The Potential Energy)29第29页，共38页，编辑于2022年，星期一 如果连杆如果连杆i的质心用矢量的质心用矢量 表示，它相对于坐标系表示，它相对于坐标系 Ti 的势能为的势能为其中其中从而，机械手的总势能就是从而，机械手的总势能就是(6.52)(6.52)(6.54)(6.54
23、)(6.53)(6.53)30第30页，共38页，编辑于2022年，星期一由式由式(6.49)(6.49)和和(6.54)(6.54)得到的得到的 K K 和和 P P，可计算拉格朗日算子可计算拉格朗日算子 L L=K-P K-P应用欧拉应用欧拉拉格朗日方程拉格朗日方程 我们就可求得动力学方程。我们就可求得动力学方程。(6.55)(6.55)(6.56)(6.56)6.3.4 拉格朗日算子拉格朗日算子(The Lagrangian)31第31页，共38页，编辑于2022年，星期一 先求方程先求方程(6.56)(6.56)第一项中的偏微分第一项中的偏微分 把上式第二项中的脚标把上式第二项中的脚标
24、 j 变为变为 k，把第一项中把第一项中Trace运算换成运算换成(6.57)(6.57)我们就得到我们就得到(6.58)(6.58)6.3.5 动力学方程动力学方程(The Dynamics Equations)32第32页，共38页，编辑于2022年，星期一 由于 (p i 时)，最后得到现在求式(6.59)对于时间t 的微分(6.59)(6.60)33第33页，共38页，编辑于2022年，星期一欧拉拉格朗日方程的第二项是 把式(6.61)第二项中求和运算的脚标 j 换成 k，再把第二项与第一项合并，就得到(6.61)(6.62)34第34页，共38页，编辑于2022年，星期一 按照方程(
25、6.56)，把式(6.60)减去(6.62)，再把式(6.62)中求和运算的脚标j换成m，这样，式(6.62)的第一项就与式(6.60)中的第三项抵消，可得到最后，把求和运算的脚标 p 和 i 换成 i 和 j，就得到动力学方程(6.63)(6.64)35第35页，共38页，编辑于2022年，星期一这些方程与求和的次序是无关的，所以可以把方程(6.64)重写为其中(6.65)(6.66)(6.67)(6.68)36第36页，共38页，编辑于2022年，星期一 上上面面这这些些式式子子与与在在第第6.2.3小小节节中中得得到到的的那那些些式式子子形形式式完完全全一一样样。其其中中形形式式为为 D
26、i 的的项项表表示示关关节节 i 的的等等效效惯惯量量；形形式式为为 Dij 的的项项表表示示关关节节i 和和关关节节 j 之之间间的的耦耦合合惯惯量量；形形式式为为 Dijj 的的项项表表示示由由于于关关节节 j 的的速速度度所所产产生生的的作作用用在在关关节节 i 上上的的向向心心力力；形形式式为为 Dijk 的的项项表表示示由由于于关关节节 j 和和关关节节 k 的的速速度度所所产产生生的的作作用用在关节在关节 i 上的上的哥氏向心力哥氏向心力；最后，形式为；最后，形式为 Di 的项表示关节的项表示关节 i 上的上的重力负载重力负载。惯惯量量项项和和重重力力项项在在机机械械手手的的控控制
27、制中中特特别别重重要要，因因为为它它们们影影响响到到伺伺服服稳稳定定性性和和位位置置精精度度。向向心心力力和和哥哥氏氏向向心心力力仅仅当当机机械械手手高高速速运运动动时时才才比比较较重重要要，通通常常情情况况下下，由由它它们们造造成成的的误误差差比比较较小小。比比较较而而言言，转转动动机机构构的的惯惯量量 Iai 往往往往很很大大，因因而而应应尽尽量减小等效惯量和耦合惯量与结构的相关性。量减小等效惯量和耦合惯量与结构的相关性。37第37页，共38页，编辑于2022年，星期一习题 用拉格朗日法推导如图所示两自由度机器人手臂的运动方程。连杆质心位于连杆中心，其转动惯量分别为I1和I2。38第38页，共38页，编辑于2022年，星期一