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1、第1讲矩阵的初等变换及线性方程第1页，共51页，编辑于2022年，星期一1 1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第2页，共51页，编辑于2022年，星期一 本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念的秩的概念,并提出求秩的有效法再利用矩并提出求秩的有效法再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法内容丰富，难度较大程组的方法内容丰富，难度较大.第3页，共51页，编
2、辑于2022年，星期一引例引例一、消元法解线性方程组一、消元法解线性方程组求解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程第4页，共51页，编辑于2022年，星期一解解第5页，共51页，编辑于2022年，星期一用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：第6页，共51页，编辑于2022年，星期一于是解得于是解得（2）第7页，共51页，编辑于2022年，星期一小结：小结：1上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换种变换（1）交换方程次序；）交换方程
3、次序；（2）以不等于的数乘某个方程；）以不等于的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的）一个方程加上另一个方程的k倍倍（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）（以替换）（以替换）第8页，共51页，编辑于2022年，星期一3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换是同解变换第9页，共51页，编辑于2022年，星期一因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知
4、量并未参与运算数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组方程组（1）的增广矩阵）的变换）的增广矩阵）的变换第10页，共51页，编辑于2022年，星期一二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换矩阵的初等矩阵的初等行行变换变换（i）对调两行）对调两行（i i）以数）以数 乘某一行中的所有元素乘某一行中的所有元素（i i i）把某一行所有元素的）把某一行所有元素的 倍加到另倍加到另 一行的对应元素上去一行的对应元素上去矩阵的初等矩阵的初等列列变换变换第11页，共51页，编辑
5、于2022年，星期一三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同 一一类型的初等变换类型的初等变换逆变换初等变换注：注：第12页，共51页，编辑于2022年，星期一二、几种特殊的矩阵二、几种特殊的矩阵1.等价矩阵等价矩阵行等价矩阵行等价矩阵如果矩阵如果矩阵 经过有限次经过有限次初等行变换初等行变换变成矩阵变成矩阵 ，则，则称称 与与 行等价行等价，记作：，记作：列等价矩阵列等价矩阵如果矩阵如果矩阵 经过有限次经过有限次初等列变换初等列变换变成矩阵变成矩阵 ，则，则称称 与与 列等价列等价，记作：，记作：第13页，共51页，编辑于2022年，星期一反身性反身性传递
6、性传递性对称性对称性等价矩阵等价矩阵如果矩阵如果矩阵 经过有限次经过有限次初等变换初等变换变成矩阵变成矩阵 ，则，则称称 与与 等价等价，记作：，记作：例如，两个线性方程组同解，例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价第14页，共51页，编辑于2022年，星期一用矩阵的初等行变换用矩阵的初等行变换 解方程组（解方程组（1）：）：第15页，共51页，编辑于2022年，星期一第16页，共51页，编辑于2022年，星期一第17页，共51页，编辑于2022年，星期一第18页，共51页，编辑于2022年，星期一特点：特点：（1）、可划出一）、可划出一条阶梯线，线的下条阶
7、梯线，线的下方全为零；方全为零；（2）、每个台阶）、每个台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元2.行行（列）（列）阶梯形矩阵阶梯形矩阵第19页，共51页，编辑于2022年，星期一b.b.这些非零元所在列的其它元素都为这些非零元所在列的其它元素都为0 03.行行（列）（列）最简形矩阵最简形矩阵特点：特点：a.a.非零行的第一个非零元为非零行的第一个非零元为1;1;分析分析B5，第20页，共51页，编辑于2022年，星期一注意：注意：行最简形矩
8、阵是由方程组唯一确定的，行阶行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的第21页，共51页，编辑于2022年，星期一左上角是一个单位矩阵，其余元素都为左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0 0如，如，4.矩阵的标准形矩阵的标准形特点：特点：第22页，共51页，编辑于2022年，星期一例如，例如，第23页，共51页，编辑于2022年，星期一注：注：5.增广矩阵增广矩阵系数矩阵系数矩阵常数项常数项第24页，共51页，编辑于2022年，星期一特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等
9、价类，标准形称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.第25页，共51页，编辑于2022年，星期一三、小结1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换初等变换第26页，共51页，编辑于2022年，星期一思考题已知四元齐次方程组已知四元齐次方程组 及另一及另一四元齐次方程组四元齐次方程组 的通解为的通解为第27页，共51页，编辑于2022年，星期一思考题解答解解第28页，共51页，编辑于2022年，星期一三种初等变换对应着三
10、种初等矩阵：三种初等变换对应着三种初等矩阵：三、初等矩阵的概念三、初等矩阵的概念定义：定义：由单位矩阵由单位矩阵 经过经过一次初等变换一次初等变换得到的方得到的方 阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵.第二节课：初等矩阵第二节课：初等矩阵第29页，共51页，编辑于2022年，星期一第30页，共51页，编辑于2022年，星期一性质：性质：第31页，共51页，编辑于2022年，星期一第32页，共51页，编辑于2022年，星期一第33页，共51页，编辑于2022年，星期一性质：性质：第34页，共51页，编辑于2022年，星期一第35页，共51页，编辑于2022年，星期一性质：性质：第36页，共51页，编辑于
11、2022年，星期一第37页，共51页，编辑于2022年，星期一初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵注：注：第38页，共51页，编辑于2022年，星期一 定理定理1 1：设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，四、主要结论四、主要结论（i i）对对 施行一次初等行变换，相当于在施行一次初等行变换，相当于在 的左边的左边乘以相应的乘以相应的 阶初等矩阵；阶初等矩阵；（iiii）对）对 施行一次初等列变换，相当于在施行一次初等列变换，相当于在 的右边的右边乘以相应的乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵.第39页，共51页，编辑于2022年，星期一定理定理2 2：存在有限个初等
12、矩阵存在有限个初等矩阵方阵方阵 可逆可逆推论推论1：第40页，共51页，编辑于2022年，星期一五、初等矩阵的应用五、初等矩阵的应用利用初等变换求逆矩阵利用初等变换求逆矩阵第41页，共51页，编辑于2022年，星期一解：解：例例第42页，共51页，编辑于2022年，星期一第43页，共51页，编辑于2022年，星期一注：注：10 本题也可用本题也可用初等列变换法初等列变换法求解，即：求解，即：构造构造，对，对实施初等实施初等列列变换，变换，20 用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换矩阵时，必须始终用列变
13、换，其间不能作任何行变换其间不能作任何列变换其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆同样地，用初等列变换求逆第44页，共51页，编辑于2022年，星期一即即初等行变换初等行变换2.第45页，共51页，编辑于2022年，星期一例例解：解：第46页，共51页，编辑于2022年，星期一第47页，共51页，编辑于2022年，星期一第48页，共51页，编辑于2022年，星期一列变换列变换行变换行变换注：注：第49页，共51页，编辑于2022年，星期一小结：小结：1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.行等价矩阵、列等价矩阵、等价矩阵；行等价矩阵、列等价矩阵、等价矩阵；2.2.初等变换初等变换行（列）阶梯形矩阵、行（列）最简形矩阵、行（列）阶梯形矩阵、行（列）最简形矩阵、矩阵的标准形。矩阵的标准形。第50页，共51页，编辑于2022年，星期一4.4.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换5.5.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:第51页，共51页，编辑于2022年，星期一