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1、 浙南名校联盟浙南名校联盟 2022-2023 学年高三上学期第一次联考学年高三上学期第一次联考 数学试题数学试题 一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集=,集合=2 2 8 0”是“为递增数列”的充分不必要条件 B.“q1”是“为递增数列”的充分不必要条件 C.“q0”是“为递增数列”的必要不充分条件 D.“q1”是“为递增数列”的必要不充分条件 7.若=e0.1,=ln11e10,=1211,则()A.B.C.D.8.我国古代数学名著九章算术中记载的“刍”指底面为矩形.顶部只有一条棱的五面体.如图,五面体是一
2、个“刍”,其中 是正三角形,=2=2=2,则该五面体的体积为()A.223 B.233 C.5312 D.5212 二选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.下列命题中正确的是()A.函数=1 sin2的周期是 B.函数=1 cos2 的图像关于直线=4对称 C.函数=2 sin cos在4,上是减函数 D.函数=cos(2022 3)+3sin(2022+6)的最大值为1+3 10.拋物线2=4的焦点为,过的直线交拋物线于,两点,点在拋物线上，则下列结论中正确的是
3、()A.若(2,2),则|+|的最小值为 4 B.当 =3 时,|=163 C.若(1,0),则|的取值范围为1,2 D.在直线=32上存在点,使得=90 11.如图，是圆 O的直径，与圆 O 所在的平面垂直且=2，为圆周上不与点、重合的动点,，分別为点在线段、上的投影,则下列结论正确的是()A.平面 平面 B.点在圆上运动 C.当的面积最大时，二面角 -的平面角4 D.与所成的角可能为6 12.已知函数()=3 32+,其中实数 0,点(2,),则下列结论正确的是()A.()必有两个极值点 B.当=2时,点(1,0)是曲线=()的对称中心 C.当=3时.过点可以作曲线=()的 2 条切线 D
4、.当5 0)相切,则=_.14.(2)3(2)5(2)7的展开式中不含的各项系数之和_.15.已知偶函数()及其导函数()的定义域均为,记()=(),()不恒等于 0,且(+1)=(1),则(2023)=_.16.已知椭圆:22+2=1,点(2,1),过点(1,0)的直线与椭圆相交于,两点,直线,的斜率分别为1,2,则1 2的最大值为_.四解答题：本题共 6 小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.在1=2且2=(+2)2,1=2且+1+=2+3,正项数列满足2=2+2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答。问题:已知数列的前项和为，且_?(I)求数列的通项
5、公式:(II)求证:113+124+135+146+11+1+1+2 0)上.(I)求双曲线的渐近线方程;(II)设直线:=(1)与双曲线交于不同的两点,直线,分别交直线 =3于点,.当 的面积为2时,求的值.22.已知函数()=与函数g()=1ln,.(I)若()0,求的取值范围:(II)若曲线=()与轴有两不同的交点,求证:两条曲线=()与=()共有 三个不同的交点.高三数学学科 答案 第 1页 共 11页 高三年级数学学科参考答案 高三年级数学学科参考答案 选择题部分 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选择题部
6、分 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.题号 9 10 11 12 答案 AD BC ABC ABD 非选择题部分 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡
7、的横线上.非选择题部分 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的横线上.13.2 ；14.128 ；15.0 ；161.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（I）选择当2n时，()222nnSna=+，()11212nnSna=+因此()122(1)nnnanana=+，2 分 即11nnaann=+，所以1nan+为常数列，因此1112naan=+，所以1nan=+4 分 选择 得123nnaan+=+，2125n
8、naan+=+，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B C C A D 高三数学学科 答案 第 2页 共 11页 相减得22nnaa+=，即数列 na隔项差为定值2，2 分 令1n=，则215aa+=，所以23a=，211aa=.所以数列 na是公差为 1 的等差数列，得2(111nann=+=+）4 分 选择 当1n=时，211122aaa=+，即11(2)(1)0aa+=，又0na，得12a=当2n时，有222nnnSaa=+，211122nnnSaa=+，所以22112nnnnnaaaaa=+，即11()(1)0nnnnaaaa+=2 分 又因为0na，所以11nna
9、a=，故 na为公差为1 的等差数列，得2(111nann=+=+）4 分（II）可得211111()(1)(3)213nna annnn+=+7 分 当2n时13243546112111111nnnna aa aa aa aaaa a+1111112 43 54 65 7(2)(1)(3)n nnn=+1 1111()2 2323nn=+9 分 1 115()2 2312+=当1n=时，不等式显然成立 因此原不等式得证 10 分 补充说明：补充说明：（I）问 4 分 1111111111111()()()()()()224354657213nnnn=+高三数学学科 答案 第 3页 共 11页
10、 1.无论选择或或，递推关系的化简得 2 分（只要有作差过程都得 2 分），得到通项公式再得 2 分 2.若写出前几项得通项公式，无检验过程得 2 分，有检验过程得 4 分（II）问 6 分 1.写出裂项结果得 3 分（裂项错误得 1 分），写出求和结果得 2 分，写出放缩结果得 1 分2.若没有补充说明1n=的情况，不扣分18.解：（I）方法一：方法一：2 cos0abC+=sin2sin cos0ABC+=.2 分 sin()2sin cos0BCBC+=sin cos3sin cos0CBBC+=.4 分 tan3tan0CB+=.5 分方法二：方法二：由三角形的射影定理知：coscos
11、bCcBa+=，.2 分 2 cos0abC+=cos3 cos0cBbC+=sincos3sincos0CBBC+=.4 分 tan3tan0CB+=.5 分（II）方法一：方法一：tantan()ABC=+tantan1 tantanBCBC+=tan3tan1 tan(3tan)BBBB=22tan1 3tanBB=+.7 分 213tantanBB=+233123tantanBB=.9 分 当且仅当3tan3B=,即6B=时等号成立,此时A取到最大值6 .10 分 2b=2,2 3ac=111sin2 2 33222ABCAbcA=当 最大时，S.12 分 高三数学学科 答案 第 4页
12、 共 11页 方法二：方法二：2 cos0abC+=222202abcabab+=22220abc+=2222cba=.6 分 2222222()2cos22cbbcbcaAbcbc+=1 33()42bccb=+.9 分 当且仅当3cb=时等号成立,此时A取到最大值6 .10 分 2b=111sin2 2 33222ABCAbcA=当 最大时，S .12 分 补充说明：补充说明：（I）问 5 分 1.有正确结论，有过程，5 分（无过程，2 分）2.结论有误，找得分点（II）问 7 分 1.有正确结论，有过程，7 分（无过程，6A=得 1 分，3ABC=S得 1 分）2.结论有误，找得分点 1
13、9.解：（I）222ACCDAD+=ACCD又底面ABCD是平行四边形ABAC，面PAB 面ABCD，面PAB面ABCDAB=AC面PAB，3 分 故ACPA从而=622PA=，故PAD为正三角形.取AD中点O，连接PO，OC，则OPAD，高三数学学科 答案 第 5页 共 11页 OCAD，OPOCO=，从而AD 面.POC,PC 面POC 故ADPC。5 分 （II）（法一）：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则()0,2,0C,()2,2,0D,6 分 设(),0,P xz由22PAPD=得()22224224xzxz+=+=解得()2,0,2P 8 分()2,2,2PC=，()2,0,0
14、CD=设面PCD得法向量为(,)na b c=，则00n CDn PC=即，取(0,1,1)n=10 分 又面PAB的法向量是(0,1,0)m=12cos,22m n=202220aabc=+=故平面PAB与平面PCD的夹角为4.12 分 （法二）由（1）可知ADPC，/BCAD，故PCBC.又6=PC，2=BC，得10=PB.故222221042cos=+=PAB,即43=PAB.7 分 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，则()0,2,0C,()2,2,0D,()2,0,2P 8分 以下步骤同法一。OPBADC 高三数学学科 答案 第 6页 共 11页 PBAlHDC（法三）由（1）可知
15、ADPC，/BCAD，故BCPC.又6=PC，2=BC，得10=PB.故222221042cos=+=PAB,即43=PAB.7 分 设平面PAB平面PCDl=，/ABCD,AB 面PAB,CD面PAB，/CD面PAB，又CD面PCD，平面PAB平面PCDl=，/lCD 9 分 过点P作PHBA交BA的延长线于点H，连接HD，因平面PAB平面ABCD，故PH 面ABCD，且PHHD 2=CD,2=PD,6=PC,易得CDPD,又/lABCD,PDl,PHl DPH即为平面PAB与平面PCD的夹角。11 分 在Rt PHD中，2PH=,2PD=，得4DPH=.故平面PAB与平面PCD的夹角为4.
16、12 分 补充说明：补充说明：（I）问 5 分 1.有证明过程，5 分（无过程，不得分）2.证明有误，找得分点：AC 面PAB，3 分 AD 面POC，2 分（II）问 7 分 高三数学学科 答案 第 7页 共 11页 1.有正确结论4，有过程得 7 分（无过程有结论 2 分）2.无正确结论找得分点：向量法：有正确建系思想，1 分 写对()2,0,2P 或43=PAB，2 分 求出法向量，2 分（法向量计算错误但有法向量计算公式给 1 分）求出正确夹角4，2 分（结论错误但有法向量夹角计算公式给 1 分）综合法：43=PAB，2 分/lCD，2 分（作出交线无证明给 1 分）证明二面角的平面角
17、，2 分（找出未证明给 1 分）求出正确夹角4，1 分 20.解：（I）由已知得，当甲至少答对 1 题后，乙才有机会答题。所以乙有机会答题的概率()2151116Pp=，解得34p=；.3 分 （II）X的可能取值为 0，10，20，30，40；()2110416P X=.4 分 ()123111110443216P XC=.5 分 ()21231131211192043244323232P XC=+=.7 分 ()212321113121133043232443232P XC=+=.9 分 高三数学学科 答案 第 8页 共 11页()232134043216P X=.10 分 所以X的分布列
18、为：X 0 10 20 30 40 P 116 116 932 1332 316 119133415()010203040161632321616E X=+=.12 分 补充说明：补充说明：1.分布列中=20,30 对应的概率各 2 分，其余均 1 分.(只看答案)2.期望若答案正确直接给 2 分，若答案错误但有过程给 1 分 21解：（I）将点(2,1)A代入方程22212xyb=，解得21b=，1 分 所以双曲线C的方程为2212xy=，渐近线方程为22yx=；3 分（II）联立22(1)12yk xxy=，整理得2222(1 2)4220kxk xk+=，由题意21 200k ，得得22
19、112kk且,设 点,E F的 坐 标分 别 为1122(,),(,)x yx y，由 韦 达定 理得 221212224222121kkxxx xkk+=，6 分 直 线AE的 方 程 为1111(2)2yyxx=，令3x=，得11112yyx=+，即111(3,1)2yMx+，同理可得221(3,1)2yNx+8 分X 高三数学学科 答案 第 9页 共 11页()2212121222 2 1421kxxxxx xk=+=21122112212112112222(2)(2)yyx yx yxxyyMNxxxx+=1222211112(1)2(1)(1)2(1)(2)(2)kx xk xxkx
20、 xk xxxx+=12121212()4xxkx xxx=+222 111kkk=2121kk=，10 分 所以AMN的面积211212221kSMNk=，即22 11kk=，解得315kk=或，又22112kk且，所以k的值为35 12 分 补充说明：补充说明：1.若未21 200k 考虑扣 1 分 2.M,N 点坐标求对一个给 1 分 3.若12xx求对给 1 分 22.解：（I）解法一：()axf xex=()1axfxae=若0a，则()0fx恒成立，函数()yf x=单调递减，a(1)e10f=不满足条件.0a 2 分 令()0fx=，则11lnxaa=，()yf x=在11(,l
21、n)aa递减，在11(ln,)aa+递增，1lnmin1111()(ln)lnaf xfeaaaa=111lnaaa=4 分 高三数学学科 答案 第 10页 共 11页 由对任意的x，()0f x 恒成立 111ln0aaa，即1ln1a，解得1ae a的取值范围是1(,)e+5 分 解法二：()0axf xex=即eaxx 若0 x 则不等式恒成立 1 分 若0 x 由axex得ln xax 2 分 令ln()xh xx=则21 ln()xh xx=()yh x=在0)e（，单调递增，在)e+（，单调递减 4 分 1()()h xh ee=即1ae a的取值范围是1(,)e+5 分（II）若
22、曲线()yf x=与x轴有两不同的交点，即函数()yf x=有两个不同的零点12xx，不妨设120.xx且由（1）可得到1(0,)ae 111()e0axf xx=，则111lnxxa=，即1()0g x=，同理由2()0f x=得2()0g x=从而两条曲线()yf x=与()yg x=至少有两个交点12(0)(0)xx，7 分 下面证明这两条曲线还有一个交点：令1()()()2lnaxh xf xg xexxa=+，则121()2axaxa axeaxh xaeaxax+=+=令tax=,m(t)21tatet=+m(t)(1)2tat e=+关于 t 单调递增，m(1)220ae=令m(
23、t)(1)20tat e=+=，22(1)teata=+高三数学学科 答案 第 11页 共 11页 存在021lnta，使y()m t=在0(0,)t递减，在0()t+，递增，又(0)10,m=(1)10mae=2ln222(ln)ln2 ln()1 10ama eaaa=+=()ym t=有两个零点12tt，,不妨设12201lntta，令1324,tax tax=，即()yh x=有且只有两个极值点34.xx，从而 ()yh x=在30,x（）上单调递增，在34xx（，）上单调递减，在4,x+（）上单调递增 10分 又 1a111111()220 xh xaeaxaxax=+=+若1()0h x=，则11ax=，又由11-0axex=，1xe=得1ae=矛盾 1()0h x同理2()0h x且120.xx 又12()0,()0h xh x=故13420 xxxx，13420()(),()()0h xh xh xh x=故在34(,)x x间存在唯一的0 x使得0()0h x=即两条曲线()yf x=与()yg x=还有一个交点00()xf x，所以若曲线()yf x=与x轴有两不同的交点，则两条曲线()yf x=与()yg x=共有三个不同的交点.12 分