《2023浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考数学试题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考数学试题（解析版）.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1 .设全集 U =R,集合 A=H f-2 x-8 0”是“4 为递增数列”的充分不必要条件B.“q 1”是“%为递增数列”的充分不必要条件C.“q0”是“4 为递增数列”的必要不充分条件D.“q 1”是“%为递增数列”的必要不充分条件【答案】C【分析】等比数列%为递增数列，有两种情况，4 0 应 1或4 0,0 4 0 国 1,或4 0,0 4 0,但 4 0 时，等比数列 不一定为递增数列所以q0”是 为 为递增数列”的必要不充分条件.故选：C7.若。=6,，6=111胃，c=F，则()A.ahc B.a c b C.c
2、a b D.b a c【答案】A【分析】首先将匕化简，然后分别对。，6 和。，。进行作差，构造函数，利用导数判断出构造函数的单调性，通过单调性对作差结果的正负进行判断，从而比较出大小.【详解】Vfe=ln =ln+lne=lnl.l+l10 10A a-Z=e0,-ln l.l-l令 f(x)=er-ln(l+x)-l则/(x)=e、易知/(x)在区间(0,+)单调递增，r(x)r(0)=e -l=0,/(X)在区间(0,+8)单调递增，X V /(0)=e -ln l-l=0/(0.1)=e 0-ln l.l-l/(0)=0,即a-b 0,/.ab,12 1 .0.1Z?-c=In 1.1+
3、1-=In 1.1-=In 1.1-11 11 1.1令 g(x)=lnx(1-)XI 1 r-1贝 1，。)=上一小二 ,当 工 (1,”)时，gQ)0,X X Xg(x)在区间(l,xo)单调递增,又 g(I)=lnl (l 1)=0g(Ll)=ln l.l-(l-：)=In l.l_*g(l)=O,gp/?-c0,b c,综上所述，a,b,c之间的大小关系为ac.故选：A.8.我国古代数学名著 九章算术中记载的“刍蹙”指底面为矩形.顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体A8C2犯尸是一个“刍蹙”，其中3CF是正三角形，AB=2BC=2EF=2,BF ED,则该五面体的体积为()A2/2 口
4、 26 0 5出 n 5V23 3 12 12【答案】D【分析】根据五面体特征利用线面平行的判定以及性质定理证明EF 平面ABC。,进而说明该几何体可以被分割为直棱柱F M N-7 和两个相同的四棱锥F -M C B N、E-D H L A，进而求得相关线段的长，根据体积公式即可求得答案.【详解】由题意知ABC O,A 3 i平面ABFE，C D(Z 平面.用，所以CD 平面A B F E，又平面ABFE Q平面C DEF=E F,C D u平面C D E F,所以CD所，而 CD u 平面ABCD,EF U 平面ABCD,故EF 平面ABCD,设 C。中点为 G,连接尸G,故QGEF，由于C
5、=AB=2防=2,.)G=F=1,则四边形EFGO为平形四边形，则 即 FG,因为3F_LEE,所以 3R_LFG,由已知可得B G =lBC2+C G2=A/1+I=血,而&B C F是正三角形，则F C =BF=B C =1 ,所以G F =4BG2-BF2=1,又GC=1,则尸GC为等边三角形,作 FM_LCG,垂足为M 则C M=g A E H L C D，垂足为H,则 AW=EF=1,.1W=；,则分别过点M,H作B C的平行线，交 A B 于 N,L，连接FN,E L,则，MV，又 H M FM,F M C M N =M,F M,M N e 平面 M N F,所以“M _L平面MV
6、F洞 理 MW _L平面EHL,由于3C F是正三角形，EF 平面ABCD,故五面体A B C D E F可分割为直棱柱F M N -E H L和两个相同的四棱锥尸-M C B N、E-D H L A ,由于4 B C F是正三角形，EF /平面ABC。,则E F处于过AD,B C的中点连线且和底面A8C）垂直的平面内，即五面体的两侧面所CREFBA是全等的梯形，故AF M C珏 FNB,:.F M =F N,由于 F N =F M =与，M N =1,:.S.FMN=；xlx卜与丫 一（$=兴，由于棱柱QWN-EHL为直棱柱，可知平面F M N _L平面B C M N,则四棱锥尸-M C B
7、 N的高即为AF M N的底边MN上的高，为卜争=等，所以该五面体的体积为力“W_EHL+2%_MCBN=曰 xl+2x；x l x g x#=,故选:D【点睛】本题考查了不规则几何体的体积的求法，考查了空间线面的位置关系，综合性强，解答时要充分发挥空间想象能力，明确线面的位置关系，进而进行相关计算.二、多选题9.下列命题中正确的是（）A.函数y=l-sin2x的周期是nB.函数y=l-cos?的图像关于直线”:对称C.函数y=2-sinx-cosx在 上 是 减 函 数4D.函数 y=cos(2022x-；)+6sin(2022x+少 的最大值为 1 +63 6【答案】AD【分析】A：根据正
8、弦型函数的周期公式进行求解即可；B：根据余弦型函数的对称性的性质进行判断即可C：利用导数的性质进行求解判断即可；D：根据诱导公式，结合余弦弦型函数的单调性进行求解判断即可.【详解】A：由正弦型函数的周期公式可知：该函数的周期为三=兀，故本命题是真命题；B：尸 1-8 人=1-3交=3生，令：2x=E(M Z)=x=(A eZ),-2 2 2g =g 任 Z),所以x=:不是该函数的对称轴，因此本命题是假命题；C：/=-cos x+sin x=/2 sin(x-),由 xw 二,兀 =%一二 E 0,包 ,4 4 4 4即y W O,所以该函数在。，汨上是增函数，所以本命题是假命题；4D：y=c
9、os(2022x)4-5/3sin(2022x+)=cos(2022x-)+/3sin(2022x+)3 6 3 2 3=/3cos(2022x-1)+cos(2022x-)=(1+)cos(2022x-,显然该函数的最大值为1 +6，因此本命题是真命题，故选：AD10.抛物线V=4x的焦点为尸，过下的直线交抛物线于A 8 两点，点P 在抛物线C 上,则下列结论中正确的是()A.若M(2,2),则的最小值为4B.当A尸=3F 8时，=C.若。(T O),则 爵 的取值范围为 1，及 3D.在直线*=-万上存在点N,使得Z/WB=90【答案】BC【分析】对 A,根据抛物线的定义转化求解最小值即可
10、；对 B,根据抛物线的定义，结合三角函数关系可得直线A 8倾斜角，再根据抛物线焦点弦长公式求解即可；对 C,根据 抛 物 线 的 定 义|可尸 Q得|鬲=1嬴 薪，再分析临界条件求解即可；对 D,【详解】对 A,如图，由抛物线的定义，的长度为尸到准线的距离，故|PM|+|PF|的最小值为|田即与 P 到准线距离之和，故归例|+|尸尸|的最小值为到准线距离2+1 =3,故 A 错误;对 B,不妨设A在第一象限,分别过A B作准线的垂线AM,BN,垂足M,N,作 B C,4W.则根据抛物线的定义可得BN=BF,AM=AF,故ACcos Z.AFx=cos NBAC=-ABAM-CMABAF-BN
11、_ AF-BF _ 3BF-BF _AB AF+BF 3BF+BF 2=W .故 B 正确;对 c,过 P 作 P”垂直于准线，垂足为“，则PQ晶=PQ渴=嬴1淘，由图易得。”。八 9。，故 正 随 NPQF的增大而增大，当“少=。时 P 在。点 处,此时需 取 最 小 值 1；当P。与抛物线相切时NPQF最大，此时设P。方程x=)-l,联立Pry2=4x有 y2-4ty+4=0,A=-42=0,此时解得，=1,不妨设r=1则 尸。方程PQ 1 r-y=/+l,此时倾斜角为45。，=2.PF cos 45故 需 的取值范围为 1，垃 ,故c正确;对D,设4（A乂）,现孙必），AB中点。七 三，
12、息 产），故C到准线x=l的距离。=七 +1,又4B=A,+W+2,故C=；A B,故以AB为直径的圆与准线x=-l相3切，又满足ZAN8=90的所有点在以AB为直径的圆上，易得此圆与*=-万无交点，故I I.如图，AC是圆。的直径，R4与圆。所在的平面垂直且F4=AC=2,8为圆周上不与点A、C重合的动点，M,N分别为点4在线段PC、P8上的投影，则下列结论正确 的 是（）A.平面AMN_L平面PBCB.点N在圆上运动T TC.当 AMN的面积最大时，二面角A-P C-8的平面角;4D.%与A/N所成的角可能为2【答案】ABC【分析】通过圆的性质和已知证明4V，平 面PBC,然后由面面垂直判
13、定定理可判断A：利用己知证明PCJ平面AMN,再由A N,平面PBC可得A N LM N,然后可判断B；利用A N 1 M N和基本不等式可得AAM N的面积最大时A N =N M =1,然后可判断C；利用线面角是直线和平面内任意直线所成角中最小角可判断D.【详解】因为R4_L平面ABC,BCu平面ABC,所以PAJ.3C,又AC为圆0的直径，所以A5J_BC又因为PA u平面B4B,A 8 i平面P ApAB=A,所以3C_L平面布B,又P8 u平面以8,所以8CJ.P8因为V_LPB,P B c B C =B,P 8 u平面8C,BCu平面 PBC,所以A N,平面PBC,因为4 V u平
14、面AVM,所以平面AMN_L平面P8C,A正确；因为4VJ平面P8C,PC u平面PBC,所以4V_LPC,又AA/_LPC,A M C A N A,AMu平面4MM 4 V u平面AMV,所以PC_L平面AM M所以点N在PC的中垂面内，因为M Nu平面4 M 0,所以A N LM N,所以点N在以AM为直径的圆上，故B正确；因为R4=AC=2,A M V PC,所以M为PC的中点，所以AM=：PC=&,AN?+NM2所以 4V2 +NA/2=2,所以 A N.N M S&Y=1,21 1 T T所以当且仅当AN=MW=1时等号成立，Z A M N =,由上知，PC_L平面AMN,MWu平面
15、AMM 所以NM_LPC,又4 W L P C,所以NAAW为二面角A PC B的平面角，故C正确；由上可知，直线以与平面AMN所成角为NB4A/,又MNu平面ANM,所 以 必 与 所 成 的 角 大 于 等 于NPAM,即 大 于 等 于 故D错误.故选：ABC1 2.己知函数/(必=以3-3奴2+6,其中实数。(),%e R,点A(2,a),则下列结论正确 的 是()A./G)必有两个极值点B.当b =2 a时，点(1,0)是曲线y=f(x)的对称中心C.当6=3。时，过点A可以作曲线y=/(x)的 2 条切线D.当5a 力 0,所以令/(X)(),得x 2,令/(x)0,得0 x-3(
16、vc2+3a,f(x)=g(x)=3ax2-6ax,g x)=6 a x-6 a,设切点为 8(%,3%,2-6”)，所以在8 点处的切线方程为：y-(3ar02-6 ar0)=(6ax0-6 a)(x-x0),又因为切线过点A(2,a),所以4-(3叫：_6也)=(6.-6 4)(2-%)，化简得：3XO2-1 2XO+1 3 =O,A =(1 2)2-4X3X1 3 0,所以过点A 不可以作曲线y=f(x)的切线，所以C 不正确;对于 D,f(x)-3ax2-6ax,设切点为c a，/。？也、匕)，所以在 C 点处的切线方程为：y-(ax03-3ax02+)=(3ax02-6ax0)(x-
17、x0),又因为切线过点 A(2,a),所以“-(or；-3ax(l2+b)=(3ax02-6ax0)(2-x(),解得：26fx03-9ax02+12ax0+a=h,g(x)=2ax-9ax2+2ax+a,y=b所以过点A可以作曲线，=/(x)的切线条数转化为了 =8(%)与丫=匕图象的交点个数.gx)=6ox2-18ar+12a=6t?(x2-3x+2)=6tz(x-l)(x 2),则g(x)在(,1),(2,例)上单调递增，在(1,2)上单调递减，g=6a,g(2)=5”，如下图所示，当5ab =x+l与圆C:(x-1)2+/=/(，0)相切，贝l=,【答案】0【分析】根据直线与圆相切，圆
18、心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】由点到直线的距离公式可得l2l.r9正一日五,故答案为：7 21 4 .(x-2 y)3(y-2 z)(z-2 x)7 的展开式中不含z 的 各 项 系 数 之 和.【答案】1 2 8【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开，展开后对每一项进行合并,合并后使得z 项幕次为0,确定项数后即可得到答案.【详解】(x-2 0(y-2 z)5(z-2 x)7 利用二项展开式的通项公式进行展开，设(“20项为k,(y-2 z)项为，(z-2 x)7 项为小.展开后得C 3 Y(_ 2 y)为 旷 G z)?/-?(-z P 对每一项进行合并得(：笑冥；
19、(-2)+*+产 ”产”+,7-研“，因为展开式中不含z,所以7-6+=0,又也得取值为 0,1 2 3,4,5,6,7 ,得取值为 0,1,2,3,4,5 ,故得，=7,=0.代入展开式得C；C；C；，-2)7“幺。-55+JC；(-2)7+A X,-*/+又上得取值为(M 2 3 ,分别带入后各项系数之和为C；(-2)7+&(一 2)8 +C；(-2)9 +C；(-2)=(-2)+3 (-2)8+3-(-2)9+(-2)=1 2 8.故答案为：1 2 81 5.己知偶函数八x)及其导函数/的定义域均为R,记 g(x)=/(x)J(x)不恒等于0,K/(x+l)=/(x-l),则g(2023
20、)=.【答案】0【分析】偶函数的导函数为奇函数，再根据周期性求解.【详解】因为八X)是偶函数，定义域为R,所以尸(x)为奇函数且定义域为R，又 g(x)=r(x),/(x+i)=/(x-i),所以r(x+i)=r(x i),即g(x+i)=g(x i),所以g(x)周期为2,所以 g(2 0 2 3)=g(2 x l 0 U+l)=g(l),所以 g 6 =-g（-l）=-g（。-l）=-g（O+l），所以g（l）=O,BPg（2023）=0.故答案为：01 6.已知椭圆C：+y=l,点 R 2,D,过点（1,0）的直线/与椭圆C相交于A 8 两点，直线 PA，PB的斜率分别为配他，则 k,-
21、k2的 最 大 值 为.【答案】1【分析】从直线斜率为o和不为。两个方面取讨论.斜率为o时，A,B分别为椭圆左、右顶点，可直接求勺出;斜率不为。时，设出直线方程，与椭圆方程联立，消去x,得到关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系、直线的斜率公式与直线方程化简J 网的式子，通过分析，的正负，再根据基本不等式即可得到 乂 的最值.【详解】当直线/的斜率为0时，A 8 分别为椭圆左、右顶点，则勺&1-0 1-0 _12+V2 2-V2-2当直线/的斜率不为。时，设直线/的方程为=冲+1,点A（X J,B（X2，%），x=my+由 二 2_ 消去龙，整理得（利,+2）/+2 阳一 1 =0.5+y
22、=2tn 1i+必=-工 乂 必=一 中.k、.k,=A z!,A z!=（乂-1）（必-1）=跖_（乂+%）+1-2 天-2 X2-2（心乂-1）（，佻-1）加 凶当一加（）|+必）+1=_n_i2_+_ _ 2_m_ _+_ 1 1 m 1 1=_ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _ _2m2+2 2 m2+l 2,1m当利0时，m+2 jm-=2,当且仅当?=,即机=1时取得等号.m v m m此时，此当?0时，/n+=-|+|-2 L n-=-2,当且仅当加=,即 z =T 时取得等m m）V m?号.此时，%.网.0.综上可知，匕的最大值为：1故答案为：1.四、解
23、答题1 7.在q=2且 2 s“=(+2)4-2,4=2且。用+,=2 +3,正项数列 4 满足2 S,=片+”“-2 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列 4 的前项和为S“，且_ _ _ _ _ _?(1)求数列 凡 的通项公式:求证:4 4 电4 3 5 4 6 4 l 4,+l aa,.+25 0,得 q =2.当 W 2 2 时，：2 S”=a；+an-2,2 S,”|=4+_ I -2两式相减得：2%=a；,-a；_1+an-%,即(q +的)(4 -的 -1)=().又因为q0,所以q-4-=1,故%为公差为1 的等差数列,得见=2 +(-1)x1
24、=+1.(2)证明：由(1)可得c inan+1(+1)(+3)2(+1 +31111 1 1所 以-+-+-+-+-+-%4%a&an_xan+x anan+2因为 N 51 2因此-J+.,.当 A 最大时，/ABC=csin A=2-2-73,=/31 9.如图，在四棱锥尸-A8CD+,平面平面ABC。，底面ABC。是平行四边形,AC=CD=-Ji,AD=PD=2,PC=R 求证：ADV PC（2）求平面A4B与平面PC。的夹角的大小.【答案】（1）证明见解析【分析】（1）由面面垂直的性质定理得AC,面 皿，再由线面垂直的判定定理证AQL面P O C,再由线面垂直的性质定理证明（2）建立
25、空间直角坐标系，由空间向量求解【详解】（1）：AC2+CD2=AD2二月CJ_CD又底面ABCD是平行四边形；.AB A.AC,面 以8_1面4 3 8,ffiP/IBn ABCD=AB.：.A C P A B,故AC-L PA从而PA=J6-2 =2,故 为 正 三 角 形.取AO中点。，连接PO,O C,则QPLAD,OC LAD,OPOC=O,OPu 面 POC,OCu 面 P O C,从 而 的 上 面/0/匚面POC故 AD_LPC.(2)(法一):如图，建立空间直角坐标系A-型，则C(0,夜,0),。(-0,0),(尸4 -2 x+z2=4设P(x,O,z)由 -得 2,解得尸(一
26、后,0,0),PD=2(x +j2)+2+z2=4P C =(7 2,7 2,-5/2),而=(-应,0,0),设面P C。得法向量为打=C),贝”,2=即n-PC=0取弁=(0,1,1)又面 的法向量是玩=(0,1,0)，,co s=-4=5/2 2故 平 面 与 平 面P C。的夹角为：.4U-41a=0+四-&c=0（法二）由（1）可知 AD_LPC,BC A,故 PC L BC.又 PC=B C =2,得 PB=.故co sNPAB=2+4!P,即 N P A B =个.2.2.V 2 2 4如图所示，建立空间直角坐标系A-x y z,则C（0,&0）,。（-正,0,0）,P（-0,0
27、,7 2）以下步骤同法一.（法三）由（1）可知 A O J,P C,3 C A D,故 BC1PC.又 PC=#,BC=2,得PB=x/iU.故cosNPAB=2=-也，即=亚.2-2-V2 2 4设平面R 4 3 c平面P 8 =/,/AB/CD,AB u 面 PAB,CO N 面 PAB,C D!P A B,又C D u面PC。，平面B ABc平面PCD=/,I/CD过点P作尸1 _ 8 4交5 4的延长线于点“，连接),因平面R4B_L平面ABCD,故 _1面4 8 8,且PHLHDV CD=y/2,PD=2,PC=y6,易得 PDLCD,又/488,PDLI,PHA.I/尸”即 为 平
28、 面 与 平 面PCD的夹角.在 RfAPHD 中,PH=y/2,PD=2,得 NDPH故平面PAB与平面PCZ)的夹角为f.2 0.甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为。，乙第一题答对的概率为|,第二题答对的概率为，若乙有机会答题的概率为称.求；(2)求甲，乙共同拿到小豆数量X的分布列及期望.3【答案】(l)P =94,415(2)分布列见解析，E(X)=-【分析】(I)用对立事件求概率公式进行求解;(2)求出X 的可能取值，及对应的概率，从而求出分布列，
29、计算出数学期望.【详解】(1)由已知得，当甲至少答对1题后，乙才有机会答题.所以乙有机会答题的概率为P=l-(l-p)2=,163解得p=4(2)X的可能取值为0,10,20,3 0,4 0；=i o)=c!?-x lx-x l=7 4 4 3 2 16P(X=20)=1-2X1-3XX1-4X93 2p(X=3 0)=133 2P(X=4 0)=g jx|xl =A所以X 的分布列为:X010203 04 0P11611693 2133 23161 1 9 13 3E(X)=0 x +10 x +20 x +3 0 x +4 0 x =16 16 3 2 3 2 164 157?2 22 1
30、.已知点A(2,D在双曲线C:工-与=Kb0)上.2 b2(1)求双曲线C的渐近线方程;(2)设直线/:y =Mx-D 与双曲线C交于不同的两点E,F,直线AE,A F 分别交直线x =3 于点用，N.当AAAW的面积为0时，求k 的值.【答案】(Dy =土 x(2)-|【分析】(1)由双曲线的性质求解，(2)由 尸 两点坐标表示|M N|,联立直线/与双曲线方程，由韦达定理化简，再由 AMN列方程求解2 2【详解】将点42,1)代入方程工一与=1,解得=1,2 b*2*5-2)(%2-2)_ 冗1 -X2_ ,&J-J2 信 I 1 一、I占一2(*+)+4|2-1|J1-所以 A4 W N
31、 的面积S=(x|M N|x l=*x 4 =/，即 2 =|1-幻，2 2 1一 匕Q1Q解得k=l或=-3,又 公 0,求。的取值范围；(2)若曲线y=f(x)与x轴有两不同的交点，求证:两条曲线y=f(x)与y=g(x)共有三个不同的交点.【答案】H，+0)(2)证明见解析所以双曲线C的方程为y-r =l,渐近线方程为y=土立x;f,2p ,0(2)联立J/2_，整理得(1一2公)必+以2 2公一2=0,由题意J A0，,2 y 一得/0化简得e x,然后采用分离常数的方法转化为求函数的最值求解即可.(2)根据题设先证两条曲线y=/(x)与曲线y=g(x)相交于&,(生0)两个交点，再构
32、造新函数(幻=/食)-8(尤)=6 -2+匕11 来证明这两曲线还有除这两交点外的第3个a交点，即证两条曲线y=/(x)与y=g(x)共有三个不同的交点.【详解】(D/CO uea，-x。即e m x若x w o则不等式恒成立若x 0由e x得a X人,/、In x E I,/、1-l n x令 h(x)=则(x)=7 X Xy=/2(x)在(O,e)单调递增，在(e,+8)单调递减/.h(x)0,.,.不妨设0占 ，由(1)可得到ae(0,3 1././(xI)=e w,-x=0,则 =,l n X ,即 g(x)=xl-In X j =0.a a同理：由 )=。得g(w)=。，从而曲线y=
33、/a)与曲线y=g 3)已经相交于a，o),(z，o)两个交点.下面证明这两条曲线还有一个交点：令h(x)=f(x)-g(x)=ea v-2 x+I n x,贝！jhx)=aeax+-2 =+la cix ax令 t=ax、rn(t)=ate1-2 1 +1nt(t)=a(+f)e 一2关于，单调递增，“(1)=2ae-2 02 2令 m(t)=(1 +r)er-2 =0,ez=-一a(l +f)a2，存在l fo0,m(l)=ae-1 02:.y 有两个零点由，不妨设()%1 马 0ax axx若“(%)=0,则 芈=1,又由广玉=0,%=e 得 与 题 设 矛 盾e二(%)0 同理”(%2)。且%Z.又可再)=0,A(X2)=0故0玉 x3,x4 x20 =力(玉)(毛),(4)V(/)=0故在(七,土)间存在唯一的/使得(%)=。即两条曲线y=f M与 y=g(x)还有一个交点(%,/(%)故若曲线y=f(x)与 x 轴有两不同的交点，则两条曲线y=f(x)与 y=g(x)共有三个不同的交点.【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，最值，函数的零点，考查了学生很强的运算能力和分析问题的能力，属于难题.