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1、学习必备欢迎下载数列前 n 项和构成不等式证明方法与技巧安徽五河一中邢文举、杨梅玲由数列前 n 项和构成的不等式是一种非常重要的题型，常在高考题中出现，由于不等式证明本身就是一个难点，再加数列的各种变形应用， 不少学生对该题型束手无策， 不知从何处去分析寻求解题思路，该题型一般有三种解题思路：第一，若数列na是可求和数列，应先求和Sn，再证明不等式；第二，若数列na是不可求和数列，一般先将数列的通项放缩成可求和数列，再求和证明不等式；第三，若数列是不可求和数列， 对通项的放缩又有一定的困难可尝试用数学归纳法证明不等式， 当然有的可求和数列和构成的不等式也可用数学归纳法证明，下面以例说明。例 1
2、、各项均为正数的等差数列na，a1=3 前 n 项和为 Sn，等比数列nb中，b1=1，且 b2S2=64，nba是公比为 64 的等比数列。（1）求 an、bn；（2）证明4311121nSSS解： （1）设na的公差为 d，nb的分比为 q（d0,q0）则 an=3+(n-1)d bn=q n-16411111daaaannqqqqbabannnn又 b2S2=q(6+d)=64 可求得： d=2，q=8 an=2n+1，bn=8n-1（2）由（ 1）知 Sn=n(n+2) )211(21)2(11nnnnSn显然nS1是可求和数列，先求和，再证明不等式精选学习资料 - - - - - -
3、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载nSSS11121)211()5131()4121()311 (21nn=43)211(21)2111211(21nn原不等式对成立Nn例 2、等比数列na的前 n 项和为 Sn，已知对任意的Nn，点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b0 且 b1,b,r均为常数)的图象上。（1）求 r 的值；（2） 当 b=2 时设)(41Nnanbnn， 数列nb的前 n 项和为 Tn， 证明21nT解： （1）由已知有 Sn=bn+r，当 n2 时，Sn-1=bn-1+r an=Sn-Sn-1=(b-1) bn
4、-1又 a1=b+r a2=(b-1)b brbbbaa)1(12r=-1 （2）由 b=2，故（ 1）有： an=2n-1 bn=121nn由于nb是可求和数列，先求和后证明不等式Tn=b1+b2+b3+bn143221242322nnnT2143212232221nnnnnT- 得：21432212121212221nnnnT12323nnnTnT为递增数列211231TTn21nT对Nn成立例 3、证明不等式：)11(2131211nn（Nn）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载证明（一）数列n1
5、是不可求和数列，应先放缩再证明不等式。)1(21221nnnnnnn)1()34()23()12(2131211nnn=2（11n）)11(2131211nn对Nn成立（二）数学归纳法证明（1）当 n=1 时，) 12(21，即 n=1不等式成立。（2）假设当 n=k(Nn)时不等式成立即：)11(2131211kk当 n=k+1 时11) 11(211131211kkkk=2)1112(211122kkkk=24) 1(42114) 1(4kkk=) 11) 1(2k即 n=k+1 时，不等式成立。由（1） （2）知，原不等式对Nn均成立例 4、已知数列na前 n 项和为Sn，点 (n,Sn
6、)在函数y=3x-1 的图象上，bn=)1(n nan，nb前 n 项和为 Bn，证明： Bnn 3n解：由已知： Sn=3n-1 当 n=1 时，a1=3-1=2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载当 n2 时，an=Sn-Sn-1=23n-1an=23n-1（Nn）132) 1(nnnnb法（一） ，显然nb是不可求和数列，先放缩，再证明不等式。132) 1(nnnnb=12123) 12(344nnnnn=(2n+1) 3n-1Bn=b1+b2+b3+bn3 1+5 3+7 32+(2n+1)
7、3n-1令 Tn=3 1+5 3+7 32+(2n+1) 3n-1由错位相减法可求得Tn=n3nBn n 3n注：也可用均值不等式：2122) 1() 1(nnnnn对 bn进行放缩。法（二）用数学归纳法证明：Bn n 3n当 n=1 时，B1=b1=2222131=3 即 n=1 时，不等式成立假设当 n=k+1 时，不等式成立，即Bkk 3k当 n=k+1 时Bk+1=Bk+bk+1k 3k+kkk32)2(1）（ k 3k+kkk322)2()1(=(3k+3)3k=(k+1)3k+1即 n=k+1 时不等式成立由知： Bn n 3n对Nn均成立由以上例题可知，对于由数列na的前 n 项和 Sn构成的不等式证明，首先考查na是否可求和，若能求和，先求出Sn再证明不等式，若不可求和，要么先将 an进行放缩成可求和数列，再求和证明不等式；要么利用数学归纳法进行证明，当然还可构造函数来证明，在这就不说了，希望通过本文，对同学们解答这类题有一定的启发。2011.4.26 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页