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1、第二节行列式的性质1现在学习的是第1页，共43页一 行列式的性质性质性质 1 将行列式的行与列互换，行列式的将行列式的行与列互换，行列式的 值不变。即值不变。即该性质表明：行列式的该性质表明：行列式的行行与与列列具有同等地位。具有同等地位。2现在学习的是第2页，共43页例如例如行列交换后有行列交换后有3现在学习的是第3页，共43页性质性质2 2 行列式中的某一行（列）若有公因行列式中的某一行（列）若有公因子，则可将公因子提到行列式外，即子，则可将公因子提到行列式外，即证明证明 左边按第左边按第i i 行展开行展开左边左边4现在学习的是第4页，共43页性质性质3 3 若行列式中的某一行（列）的每
2、个元素都是两数之和，若行列式中的某一行（列）的每个元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和则此行列式可以写成两个行列式之和,这两个行列式除该行这两个行列式除该行（列（列)以外其余行（列）全与原来行列式对应的行（列）一样，以外其余行（列）全与原来行列式对应的行（列）一样，即即例如例如5现在学习的是第5页，共43页性质性质4 4 交换行列式中两行（列）的位置，行列交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。即式反号。即6现在学习的是第6页，共43页例如例如二、三两行交换后有二、三两行交换后有7现在学习的是第7页，共43页性质性质5 5 若行列式中两行（列）相同，则行列式的若行列式中两行（列
3、）相同，则行列式的值等于零。即值等于零。即由于交换两行后行列由于交换两行后行列式没变，因此式没变，因此8现在学习的是第8页，共43页性质性质6 6 若行列式中两行（列）对应元素成比例，若行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式的值等于零。即则行列式的值等于零。即例如例如9现在学习的是第9页，共43页性质性质7 7 若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以同若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以同一数一数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变，即变，即k10现在学习的是第10页，共43页11现在学习的是第11页，共43页性质性质8 8 行
4、列式的某一行（列）的元素与另一行列式的某一行（列）的元素与另一(列列)的对应的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。即元素的代数余子式的乘积之和等于零。即12现在学习的是第12页，共43页比较等式两边，可得比较等式两边，可得总结总结按第按第i 行展开行展开按第按第i 列展开列展开13现在学习的是第13页，共43页 为了便于以后的计算过程更清楚，现引入一些为了便于以后的计算过程更清楚，现引入一些记号，其中：记号，其中：r 表示表示 row row，c c 表示表示 column column：14现在学习的是第14页，共43页例例1 1 计算行列式计算行列式解解-8 0 4 -6-8 0 4 -
5、62 0 1 -12 0 1 -116 0 -2 716 0 -2 715现在学习的是第15页，共43页例例2 2 计算行列式计算行列式解解该行列式的特点是：该行列式的特点是：各行（列）的元素之和为各行（列）的元素之和为6 616现在学习的是第16页，共43页例例3 3 解方程解方程解解 因为因为17现在学习的是第17页，共43页D 例4 计算 解 r4r3r3r2r2r1abcd0aababc0a2ab3a2bc0a3ab6a3bca bcd0 a ab abc0 0a2ab0 0a3abr4r3r3r2a bcd0 a ab abc0 0a2ab0 00 ar4r3a4 下页18现在学习的
6、是第18页，共43页 对D1作运算rikrj 把D1化为下三角形行列式 设为 证 例5 证明DD1D2 其中 对D2作运算cikcj 把D2化为下三角形行列式 设为 于是 对D的前k行作运算rikrj 再对后n列作运算cikcj 把D化为下三角形行列式 故Dp11 pkk q11 qnnD1D2 下页19现在学习的是第19页，共43页 把D2n中的第2n行依次与2n1行、第2行对调(作2n2次相邻对换)再把第2n列依次与2n1列、第2列对调 得根据例4的结果 有 D2nD2D2(n1)(adbc)D2(n1)以此作递推公式 即得 D2n(adbc)2D2(n2)(adbc)n1D2 (adbc
7、)n 解 例6 计算2n阶行列式 其中未写出的元素为0 结束20现在学习的是第20页，共43页 证证用数学归纳法用数学归纳法例例4证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式21现在学习的是第21页，共43页22现在学习的是第22页，共43页 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式23现在学习的是第23页，共43页 现在学习的是第24页，共43页现在学习的是第25页，共43页小结小结（1 1）行列式的性质）行列式的性质（2 2）行列式的基本计算方法）行列式的基本计算方法26现在学习的是第26页，共43页性质性质 1 将行列式的行与列互换，行列式的值不变。将行列式的行与列互换，
8、行列式的值不变。性质性质2 2 行列式中的某一行（列）若有公因子，则可行列式中的某一行（列）若有公因子，则可将公因子提到行列式外。将公因子提到行列式外。性质性质3 3 若若行列式行列式中的某一行（列）的每个元素都是中的某一行（列）的每个元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和,这这两个行列式除该行（列两个行列式除该行（列)以外全与原来行列式对应的以外全与原来行列式对应的行（列）一样。行（列）一样。性质性质4 4 交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。交换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。27现在学习的是第27页，共43页性质性质5 5
9、 若行列式中两行（列）相同，则行列式的值若行列式中两行（列）相同，则行列式的值等于零。等于零。性质性质6 6 若行列式中两行（列）对应元素成比例，则若行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式的值等于零。行列式的值等于零。性质性质7 7 若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以若行列式中的某一行（列）的各元素都乘以同一数同一数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。变。性质性质8 8 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。应元素的代数余子式的乘积之和等于
10、零。28现在学习的是第28页，共43页小结小结（1 1）行列式的性质）行列式的性质二二 小结、小结、练习练习（2 2）行列式的基本计算方法）行列式的基本计算方法29现在学习的是第29页，共43页1 1、计算行列式计算行列式练习练习2 2、解方程解方程30现在学习的是第30页，共43页3 3、计算行列式计算行列式4 4、计算行列式计算行列式0 031现在学习的是第31页，共43页克拉默(Cramer)法则由于求解量巨大由于求解量巨大,没有实际应用价值没有实际应用价值,一般用于理论上推导一般用于理论上推导定理定理 3 如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即32
11、现在学习的是第32页，共43页其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为33现在学习的是第33页，共43页证明证明在把在把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得34现在学习的是第34页，共43页由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,于是于是当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解35现在学习的是第35页，共43页由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价,故
12、故也是方程组的也是方程组的 解解.逆否命题逆否命题 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零的解，则它的系数行列式必为零.36现在学习的是第36页，共43页例例 4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式37现在学习的是第37页，共43页同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:38现在学习的是第38页，共43页齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理推论推论1 1 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 只有零解只有零解.三、重要定理39现在学习的是第39页，共43页推论推论2 2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解有非零解,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零.40现在学习的是第40页，共43页 例例1010 下列齐次方程组中的参数下列齐次方程组中的参数 为何值时，方为何值时，方程组有非零解程组有非零解41现在学习的是第41页，共43页例例 5 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？解解42现在学习的是第42页，共43页齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.43现在学习的是第43页，共43页