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1、第二节行列式的基本性质与计算现在学习的是第1页，共51页定义定义3 设设 一、一、行列式的基本性质行列式的基本性质 性质性质1.1.行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等,即即 现在学习的是第2页，共51页因为因为性质性质2 2.互换两行互换两行(列列),),行列式改变符号行列式改变符号.注注：由性质由性质1可知可知,行列式中行与列具有同等地位行列式中行与列具有同等地位,行列行列式的性质凡是对行成立的式的性质凡是对行成立的,对列也成立对列也成立,反之亦然反之亦然.所以所以现在学习的是第3页，共51页注注:换行换行:换列换列:即即例如例如:现在学习的是第4页，共51页又如又如:推论
2、推论1.1.若行列式若行列式 中某一行中某一行(列列)的所有元素均的所有元素均为零为零,则则 证明证明:当第一行元素全为当第一行元素全为0 0时时,即即由行列式定义知由行列式定义知 D=0;现在学习的是第5页，共51页若第若第 i 行行(i1)的元素全为的元素全为0,即即(第第 i 行行)=0.证毕证毕.现在学习的是第6页，共51页推论推论2.若行列式若行列式D 中有两行中有两行(列列)完全相同完全相同,则则D=0.=0.证明证明:将相同的两行互换将相同的两行互换,有有 性质性质3.若行列式中某行若行列式中某行(列列)的所有元素是两个数的和的所有元素是两个数的和,则则D可表示成两个新行列式之和
3、可表示成两个新行列式之和.即即 现在学习的是第7页，共51页现在学习的是第8页，共51页证明证明:当当i=1时，由行列式的定义知时，由行列式的定义知现在学习的是第9页，共51页当当i1时，把第时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第i行与第行与第一行互换即可一行互换即可现在学习的是第10页，共51页性质性质4.行列式中某一行行列式中某一行(列列)所有元素的公因子可以提所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面到行列式符号的外面.即即证证:当当i=1时，由行列式的定
4、义知时，由行列式的定义知现在学习的是第11页，共51页当当i1时，把第时，把第i行与第一行互换，根据上面的结论，可把第行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一行和第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一行和第i行，行，即得该命题即得该命题现在学习的是第12页，共51页(第第 j 行行)推论推论20.(第第 i 行行)也就是也就是 推论推论3.若行列式若行列式 D 中有某两行中有某两行(列列)对应元素成比例对应元素成比例,则则 D=0.现在学习的是第13页，共51页 性质性质5把行列式中某一行把行列式中某一行(列列)的各元素乘以常数的各元素乘以常数k 后加
5、到后加到另一行另一行(列列)对应的元素上去对应的元素上去,行列式保持不变行列式保持不变,即即现在学习的是第14页，共51页又又注意注意:注注:利用上述性质和推论可以简化行列式的运算利用上述性质和推论可以简化行列式的运算,即可把即可把行列式化成上三角行列式化成上三角(或下三角或下三角)行列式来计算行列式来计算.现在学习的是第15页，共51页例例1.计算计算解解:D现在学习的是第16页，共51页现在学习的是第17页，共51页例例2.计算计算解解:从第四行开始从第四行开始,后行减去前行后行减去前行,得得现在学习的是第18页，共51页现在学习的是第19页，共51页例例3.计算计算n 阶行列式阶行列式
6、解解:此行列式的特点是各行此行列式的特点是各行 n 个数之和均为个数之和均为a+(n-1)b,故把第二列至第故把第二列至第 n 列都加到第一列上去列都加到第一列上去:现在学习的是第20页，共51页现在学习的是第21页，共51页解法二解法二(镶边法镶边法)当当a,b相等时，行列式为相等时，行列式为0,当当a,b不等时不等时现在学习的是第22页，共51页现在学习的是第23页，共51页例：计算例：计算解：解：现在学习的是第24页，共51页现在学习的是第25页，共51页现在学习的是第26页，共51页 引理引理 一个一个n阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第i行行(或第或第j列列)所所有元素除有元素
7、除 外都为零，那末此行列式等于外都为零，那末此行列式等于 与它的代与它的代数余子式的乘积，即数余子式的乘积，即 二、行列式按任一行二、行列式按任一行(列列)展开展开 根据行列式的定义和性质根据行列式的定义和性质1,我们知道行列式等于它的我们知道行列式等于它的第一行第一行(列列)的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和.事实上可以证明更一般的结论事实上可以证明更一般的结论.为此先证明以下引理为此先证明以下引理.例如例如现在学习的是第27页，共51页也就是也就是:若若则则现在学习的是第28页，共51页(1).当当 位于第一行第一列的情形位于第一行第一列的情形
8、,即即证明证明:先证先证由定义由定义,按第一行展开得按第一行展开得 (2).再证一般情形再证一般情形(第第 i 行除行除 外外,其它元素全为零其它元素全为零),此时此时现在学习的是第29页，共51页得得现在学习的是第30页，共51页其中其中得得现在学习的是第31页，共51页现在学习的是第32页，共51页于是于是证毕证毕.定理一定理一.行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与它们对的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即行列式按行（列）展开法行列式按行（列）展开法或或 证明证明:把行列式把行列式 D 的第的第 i 行的每个元素按下面的方式行的每个元素
9、按下面的方式拆成拆成 n 个数的和个数的和,再根据性质再根据性质3,可将可将 D 表示成表示成 n 个行列个行列式之和式之和:现在学习的是第33页，共51页引理引理现在学习的是第34页，共51页证毕证毕.同理同理,若按列证明若按列证明,可得可得 推论推论.行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即证明证明:不妨设不妨设 i j,考虑辅助行列式考虑辅助行列式现在学习的是第35页，共51页第第 i 行行第第 j 行行其中第其中第i行与第行与第 j行对应元素相同行对应元素相同,又将又将 按第按第
10、 j行展开行展开,有有于是得于是得现在学习的是第36页，共51页上述证法按列进行上述证法按列进行,同理可得同理可得证毕证毕.小结小结:关于代数余子式的性质有关于代数余子式的性质有:(1).(2).或简写成或简写成:现在学习的是第37页，共51页例例1.利用定理一计算前面的例利用定理一计算前面的例1 1解解:D现在学习的是第38页，共51页现在学习的是第39页，共51页例例2 2.计算计算0000解解:按第一行展开按第一行展开,有有现在学习的是第40页，共51页现在学习的是第41页，共51页递推公式递推公式现在学习的是第42页，共51页例例3.证明范德蒙证明范德蒙(Vandermonde)行列式
11、行列式说明说明:现在学习的是第43页，共51页下面我们来证明下面我们来证明范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式行列式.证明证明:用数学归纳法用数学归纳法.因为因为现在学习的是第44页，共51页现在学习的是第45页，共51页按归纳法假设按归纳法假设,有有故故现在学习的是第46页，共51页常见的行列式计算法常见的行列式计算法1.用定义用定义2.化为三角行列式化为三角行列式3.每行每行(列列)元素之和为同一常数元素之和为同一常数4.奇数阶的反对称行列式为零奇数阶的反对称行列式为零(n为奇数）为奇数）现在学习的是第47页，共51页所以所以现在学习的是第48页，共51页型型现在学习的是第49页，共51页现在学习的是第50页，共51页镶边法镶边法归纳法归纳法递推法递推法利用范德蒙行列式利用范德蒙行列式现在学习的是第51页，共51页