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1、第四章微分方程模型第1页，此课件共27页哦动态动态模型模型 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程 分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数微分微分方程方程建模建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程第2页，此课件共27页哦4.1 人口预测和控制人口预测和控制 年龄分布对于人口预测的重要性年龄分
2、布对于人口预测的重要性 只考虑自然出生与死亡，不计迁移只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口人口发展发展方程方程第3页，此课件共27页哦人口发展方程人口发展方程一阶偏微分方程一阶偏微分方程第4页，此课件共27页哦人口发展方程人口发展方程已知函数（人口调查）已知函数（人口调查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr第5页，此课件共27页哦生育率的分解生育率的分解 总和生育率总和生育率h生育模式生育模式0第6页，此课件共27页哦人口发展方程和生育率人口发展方程和生育率总和生育率总和生育率控制生育的多少控制生育的多少生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密 正反馈系统正反馈系
3、统 滞后作用很大滞后作用很大第7页，此课件共27页哦人口指数人口指数1）人口总数）人口总数2）平均年龄）平均年龄3）平均寿命）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按时刻出生的人，死亡率按 (r,t)计算的平均存活时间计算的平均存活时间4）老龄化指数）老龄化指数控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不过大不过大控制控制 (t)不过高不过高第8页，此课件共27页哦4.3 正规战与游击战正规战与游击战战争分类：正规战争，游击战争，混合战争战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加兵力因战斗及非战斗减员而减少，
4、因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型提出预测战役结局的模型第9页，此课件共27页哦一般模型一般模型 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 每方非战斗减员率与本方兵力成正比每方非战斗减员率与本方兵力成正比 甲乙双方的增援率为甲乙双方的增援率为u(t),v(t)f,g 取决于战争类型取决于战争类型x(t)甲方兵力，甲方兵力，y(
5、t)乙方兵力乙方兵力模型模型假设假设模型模型第10页，此课件共27页哦正规战争模型正规战争模型 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战双方均以正规部队作战 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援f(x,y)=ay,a 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率a=ry py,ry 射击率，射击率，py 命中率命中率第11页，此课件共27页哦0正规战争模型正规战争模型为判断战争的结局，不求为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在而在相平面上讨论相平面上讨论 x 与与 y 的关系的关系平方律平方律 模型模型乙方胜乙方胜
6、第12页，此课件共27页哦游击战争模型游击战争模型双方都用游击部队作战双方都用游击部队作战 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 忽略非战斗减员忽略非战斗减员 假设没有增援假设没有增援f(x,y)=cxy,c 乙方每个士兵的杀伤率乙方每个士兵的杀伤率c=ry pyry射击率射击率py 命中率命中率py=sry/sxsx 甲方活动面积甲方活动面积sry 乙方射击有效面积乙方射击有效面积第13页，此课件共27页哦0游击战争模型游击战争模型线性律线性律 模型模型第14页，此课件共27页哦0混合战争模型混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队甲方为游击部队
7、，乙方为正规部队乙方必须乙方必须10倍于甲方的兵力倍于甲方的兵力设设 x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)第15页，此课件共27页哦传染病模型传染病模型问题问题 描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 按照传播过程的一般规律，用按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型机理分析方法建立模型第16页，此课件共27页哦 已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足
8、以使人致病足以使人致病)人数为人数为 模型模型1 1假设假设若有效接触的是病人，则若有效接触的是病人，则不能使病人数增加不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?第17页，此课件共27页哦模型模型2 2区分已感染者区分已感染者(病人病人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)假设假设1）总人数）总人数N不变，病人和健康不变，病人和健康 人的人的 比例分别为比例分别为 2）每个病人每天有效接触人数为）每个病人每天有效接触人数为,且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病建模建模 日日接触率接触率SI 模型模型第18页，此课件共27页哦模
9、型模型21/2tmii010ttm传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻 (日接触率日接触率)tm Logistic 模型病人可以治愈！病人可以治愈！?t=tm,di/dt 最大最大第19页，此课件共27页哦模型模型3传染病无免疫性传染病无免疫性病人治愈成为病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染健康人，健康人可再次被感染增加假设增加假设SIS 模型模型3）病人每天治愈的比例为）病人每天治愈的比例为 日日治愈率治愈率建模建模 日接触率日接触率1/感染期感染期 一个感染期内一个感染期内每个病人的有效每个病人的有效接触人数，称为接触人数，称为接触数接触数。第20页，此课件共27页哦模型模型3i0i0接
10、触数接触数 =1 阈值阈值感染期内感染期内有效接触感染的健有效接触感染的健康者人数不超过病人数康者人数不超过病人数1-1/i0模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/i(t)先升后降至先升后降至0P2:s01/i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2S0第25页，此课件共27页哦模型模型4SIR模型模型预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段 (日接触率日接触率)卫生水平卫生水平 (日日治愈率治愈率)医疗水平医疗水平 传染病不蔓延的条件传染病不蔓延的条件s01/的估计的估计 降低降低 s0提高提高 r0 提高阈值提高阈值 1/降低降低 (=/),群体免疫群体免疫第26页，此课件共27页哦模型模型4SIR模型模型被传染人数的估计被传染人数的估计记被传染人数比例记被传染人数比例xs0i0P1i0 0,s0 1 小小,s0 1提高阈值提高阈值1/降低降低被传被传染人数比例染人数比例 xs0-1/=第27页，此课件共27页哦