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1、第11章达朗贝尔原理第1页，共45页，编辑于2022年，星期日由牛顿第二定律有 将上式移项后写为 -称为质点的惯性力惯性力，其大小等于质点的质量与其加速度的乘积，方向与加速度的方向相反，作用于质点周围的施力物体上。质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理:在质点运动的任一时刻，在质点运动的任一时刻，作用于质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在作用于质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。形式上组成平衡力系。令 则有 11.1 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理第2页，共45页，编辑于2022年，星期日例11-1 质量为m的小球M系于长为l的软绳下端，软绳与铅垂线夹角为 ，并以匀
2、角速度 绕铅垂轴回转，如图11-2a所示。求绳的拉力和小球的速度。11.1 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理第3页，共45页，编辑于2022年，星期日11.1 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理解解 以小球作为研究对象。小球受到重力mg(主动力)与绳的拉力FT(约束力)的共同作用。惯性力的大小为 由质点的达朗贝尔原理 取上式在自然坐标轴上的投影式，有 解得 第4页，共45页，编辑于2022年，星期日 设质点系由n个质点组成。设质量为mi的第i个质点Mi，由质点的达朗贝尔原理，有 在质点系运动的任一时刻，每一质点的惯性力与主动力、在质点系运动的任一时刻，每一质点的惯性力与主动力、约束力在形
3、式上组成平衡力系，约束力在形式上组成平衡力系，这就是这就是质点系的达朗贝质点系的达朗贝尔原理尔原理。11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 若将作用于第i个质点上的力分为外力 和内力 ，则上式可改写为 这表明，作用于质点系中每一质点上的外力、内力和它的惯性力组成形式上的平衡力系。第5页，共45页，编辑于2022年，星期日 对于整个质点系，作用于质点系的内力系、外力系和虚拟的惯性力系在形式上组成平衡力系。此力系向任意点O简化得到的主矢和主矩分别等于零，即 由于质点系的内力总是成对存在，则11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理 在运动的任意时刻，虚加于质点系各质点的惯性力与
4、在运动的任意时刻，虚加于质点系各质点的惯性力与作用于该质点系上的外力在形式上组成平衡力系，作用于该质点系上的外力在形式上组成平衡力系，这是质这是质点系达朗贝尔原理的又一种描述。点系达朗贝尔原理的又一种描述。第6页，共45页，编辑于2022年，星期日例例11-2 长为2l的杆CD两端各固连一重物，且其质量m1=m2=m，杆CD的中点与铅垂轴AB固连在一起，如图11-3a所示。不计杆与轴的自重，求轴AB以匀角速度 转动时，轴承A、B处的约束力。11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理第7页，共45页，编辑于2022年，星期日11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理解解 以整体为
5、研究对象。系统所受到的真实力有重力m 1g、m 2g，及约束力FAx、FAy、FB。惯性力有 、，其大小为 由质点系的达朗贝尔原理，有 解得 第8页，共45页，编辑于2022年，星期日例11-3 均质飞轮的质量为m，平均半径为R，以匀角速度 绕其中心轴转动，如图11-4a所示。设轮缘较薄，轮辐的质量可忽略不计。不考虑重力的影响，求轮缘横截面上的内力。11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理第9页，共45页，编辑于2022年，星期日解解 在轮缘上虚加惯性力R2（=m/2R为单位长度的质量）。截取半个飞轮，两截面上的内力相同，即 F1=F2=F。设微段ds的惯性力为dFI,则 11.2
6、质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理 即 解得 第10页，共45页，编辑于2022年，星期日用达朗贝尔原理求解质点系动力学问题的步骤:11.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理(1)确定研究对象；(2)进行受力分析，画出系统所受到的真实主动力和约束力；(3)进行运动分析，确定各质点加速度的大小和方向，并沿其相反方向虚加惯性力；(4)运用达朗贝尔原理列出形式上的平衡方程，并进行求解。第11页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 用达朗贝尔原理求解刚体或刚体系统的动力学问题，理论上需要对刚体内每个质点虚加惯性力。对于不同运动
7、形式的刚体，各点加速度的大小、方向都不同，因而各质点惯性力的大小、方向也不一样。若利用力系简化理论，用惯性力系的主矢和主矩代替各个质点的惯性力，将给问题的分析带来很大方便。设刚体质量为m，质心为C，其惯性力系向任一点O简化的主矢和主矩以 和 表示。下面讨论刚体在平移、定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。第12页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3.1 刚体平移刚体平移 在第i个质点上虚加惯性力各质点的惯性力组成一平行力系。将此力系向任意一点O简化，其主矢和主矩分别为 结论：平移刚体结论：平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度
8、的乘积，方的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。向与加速度方向相反。若选质心C为简化中心，有 11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化第13页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3.2 刚体定轴转动刚体定轴转动 11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 现仅讨论刚体具有质量对称面，且转轴z垂直于此平面的情形。将惯性力系向对称平面与转轴z的交点O简化。主矢和主矩为 式中JO为刚体对过点O，且垂直于质量对称面的z轴的转动惯量转动惯量。第14页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化结论：结论：具有质量对称面的刚
9、体绕垂直于该对称面的轴作具有质量对称面的刚体绕垂直于该对称面的轴作定定轴转动轴转动时，惯性力系向转轴简化为该对称面内的一个力和时，惯性力系向转轴简化为该对称面内的一个力和一个力偶。这个力的一个力偶。这个力的作用线作用线通过转轴，通过转轴，大小大小等于刚体质量等于刚体质量与质心加速度的乘积，与质心加速度的乘积，方向方向与质心加速度方向相反；这与质心加速度方向相反；这个个力偶的矩力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，积，转向转向与角加速度转向相反。与角加速度转向相反。将惯性力系向对称平面与转轴 z的交点O简化。主矢和主矩为第15页，共45页，编辑于
10、2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化由简化结果可知：由简化结果可知：(1)若刚体匀速转动，即，则惯性力系的主矩为零，惯若刚体匀速转动，即，则惯性力系的主矩为零，惯性力系简化为作用线通过转轴的一个力。性力系简化为作用线通过转轴的一个力。(2)若转轴通过质心若转轴通过质心C，则，则aC=0,于是主矢为零，惯性力系于是主矢为零，惯性力系简化为一个力偶。简化为一个力偶。(3)若刚体匀速转动，且转轴通过质心若刚体匀速转动，且转轴通过质心C，则惯性力系的，则惯性力系的主矢、主矩均为零，此时的惯性力系为一平衡力系。主矢、主矩均为零，此时的惯性力系为一平衡力系。将惯性力系向对称平面
11、与转轴 z的交点O简化，简化结果为第16页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3.3 刚体平面运动刚体平面运动 11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 现仅讨论刚体具有质量对称面，且在平行于此对称面的平面内运动的情形。将惯性力系向质心C简化。主矢和主矩为 式中，JC为刚体绕过质心C且垂直于质量对称面的z轴的转动惯量。对于具有质量对称面且在平行于此平面作对于具有质量对称面且在平行于此平面作平面运动平面运动的刚体，其惯的刚体，其惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，
12、其方向与质心加速度其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度转向相反。轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度转向相反。第17页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 式中 、分别为外力和惯性力系的主矢在x和y轴上的投影，为外力对质心C的主矩，MIC为惯性力系向点C简化的主矩。根据达朗贝尔原理，惯性力系的主矢和主矩与系统所受到的主动力、约束力在形式上构成平衡力系。对于具有质
13、量对称面作平面运动刚体，可以列出如下三个动平衡方程 第18页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化例11-4 图11-8a所示均质杆OA绕过点O且与纸面垂直的水平轴转动。杆的质量为m，长为l，转动的角速度为 ，角加速度为 。试比较惯性力系分别向点O和质心C简化的结果。第19页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化解 均质杆OA作定轴转动，其质心C的切向加速度和法向加速度的大小分别为，(1)将惯性力系向转轴O简化，其主矢在水平方向和铅垂方向的分量以及主矩分别为 它们的方向如图11-8b所示。第20页，共45页
14、，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化均质杆OA作定轴转动，其质心C的切向加速度和法向加速度的大小分别为，(2)将惯性力系向质心点C简化，其主矢在切向和法向的分量以及主矩分别为 方向如图11-8c所示。第21页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化例11-5 图11-9a所示均质杆AB长为l，质量为m，可在铅垂平面内运动。初始时杆件静止，初始角为 。不计各处摩擦，试用达朗贝尔原理求解杆刚开始滑动时的角加速度和约束力。第22页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化解 建立坐标
15、系Oxy，如图11-9b所示。质心C的坐标为 质心C的加速度 当杆刚开始滑动时，角速度 ，角加速度 ，此时质心加速度为 第23页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 惯性力系的主矢在x和y方向上的投影为 其方向如图11-9b所示。惯性力系向质心C简化的主矩为 根据达朗贝尔原理 第24页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化根据达朗贝尔原理 联立求解可得杆AB刚开始滑动时的角加速度为 由平衡方程 得到此时刻的约束力为 第25页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化
16、例11-6 图11-10a所示圆轮的质量m=4 kg，半径r=200 mm，质心C到圆心O的距离e=50 mm，圆轮对质心C的回转半径 ，圆轮作纯滚动。在图示C、O位于同一高度时，轮的角速度为 ，求此时刻圆轮的角加速度以及地面的约束力和摩擦力。第26页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化解 设圆轮角加速度为，转向如图，则圆心O的加速度aO=r。以O为基点，则质心C的加速度可表示为 其加速度矢量图如图。将上式向x和y坐标轴投影，得 则惯性力系向质心C简化的主矢和主矩分别为 方向如图。第27页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的
17、简化刚体惯性力系的简化 根据达朗贝尔原理，考虑对速度瞬心P的力矩平衡，有 解得 负号表示实际方向与图示方向相反。第28页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化例11-7 图11-11a所示均质圆盘，质量为m1，半径为R。均质细长杆AB长l=2R，质量为m2。杆端A与轮心光滑铰接。若在A处加一水平拉力F，使轮沿水平面作纯滚动。求：力F多大时能使杆端B刚好离开地面？为保证纯滚动，轮与地面间的静滑动摩擦系数应为多大？第29页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化解 (1)先研究杆AB。杆AB作平移，设其加速度为a
18、。当其刚好离开地面时所受的真实力及惯性力如左图，其中 ，根据达朗贝尔原理列平衡方程 解得 第30页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化(2)再以整体为研究对象，所受的真实力及惯性力如右图，图中惯性力系的主矢和主矩分别为 第31页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化平衡方程为 解得；第32页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化解得；欲保证圆盘作纯滚动，须有 ，所以 第33页，共45页，编辑于2022年，星期日11.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 用达
19、朗贝尔原理求解刚体或刚体系统动力学问题的步骤：(1)明确研究对象。明确研究对象。(2)受力分析，正确画出主动力和约束力。受力分析，正确画出主动力和约束力。(3)运动分析，虚加惯性力。根据研究对象的运动形式，对运动分析，虚加惯性力。根据研究对象的运动形式，对系统中各刚体进行加速度分析，并画出其质心加速度和角系统中各刚体进行加速度分析，并画出其质心加速度和角加速度，确定惯性力系的简化中心加速度，确定惯性力系的简化中心(转轴或质心转轴或质心)，正确计，正确计算惯性力系主矢和主矩的数值，并在图中标出它们的方算惯性力系主矢和主矩的数值，并在图中标出它们的方向，注意主矢一定要通过简化中心。向，注意主矢一定
20、要通过简化中心。(4)根据达朗贝尔原理，系统受到的主动力系、约束力系以及根据达朗贝尔原理，系统受到的主动力系、约束力系以及惯性力系的主矢和主矩构成形式上的平衡力系，正确列出平惯性力系的主矢和主矩构成形式上的平衡力系，正确列出平衡方程并求解。衡方程并求解。第34页，共45页，编辑于2022年，星期日11.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 图示质量为m的刚体绕轴AB转动。设刚体上所有主动力向A点简化的主矢和主矩在坐标轴上的投影分别为FRx、FRy、FRz和MAx、MAy、MAz（图中未标出），轴承A、B处的约束力分别为FAx，FAy，FAz，FBx，FBy。第35页，共
21、45页，编辑于2022年，星期日 在图示时刻，设刚体的角速度为 ，角加速度为 。刚体内任一质点Mi的质量为mi，其位置坐标分别为 11.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力第36页，共45页，编辑于2022年，星期日11.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力质点Mi的速度和加速度在x、y、z轴的投影分别为 其惯性力在x、y、z轴的投影分别为 在图示时刻，设刚体的角速度为 ，角加速度为 。刚体内任一质点Mi的质量为mi，其位置坐标分别为 第37页，共45页，编辑于2022年，星期日11.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力惯
22、性力系的主矢和对点A的主矩之投影分别为 第38页，共45页，编辑于2022年，星期日11.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力式中，是刚体对于转轴z的转动惯量；，是表征刚体的质量对于坐标系分布的几何性质的物理量，与转动惯量具有相同的单位，分别称为刚体对于y、z轴和z、x轴的惯性积，又称为离心转动惯量。与转动惯量不同的是惯性积可以是正值，也可以是负值，由刚体的质量对于坐标系的分布情形而定。如果刚体对于通过某点z轴的惯性积Jyz和Jzx等于零，则称此轴为过该点的惯性主轴，通过质心的惯性主轴则称为中心惯性主轴。第39页，共45页，编辑于2022年，星期日11.4 绕定轴转动刚
23、体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 为求出轴承A、B处的约束力，根据质点系的达朗贝尔原理，列动平衡方程 由此方程组的第六式可得到刚体定轴转动微分方程，当主动力及转动的初始条件已知时，可由此式求出角加速度、角速度和转动规律。第40页，共45页，编辑于2022年，星期日11.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力由前五个方程可得轴承A、B处的约束力为 由上式可以看出，轴承的约束力由两部分组成：一部分是主动力系引起的静约束力，另一部分是由于惯性力系所引起的附加动约束力。第41页，共45页，编辑于2022年，星期日11.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴
24、承动约束力欲使附加动约束力等于零，则须 由此可见，刚体绕定轴转动时，不产生轴承附加动约束力的刚体绕定轴转动时，不产生轴承附加动约束力的条件是：刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。条件是：刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴。及 对于任意的 和 ，上式成立的条件为 当刚体的转轴通过质心，且除重力外，并不受其他主动力作用时，刚体可以在任意位置静止不动，这称为静平衡。当刚体的转轴为中心惯性主轴时，刚体转动时轴承不出现附加动约束力，这称为动平衡。第42页，共45页，编辑于2022年，星期日11.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力例11-9 图11-13a所示转子的偏心距e=0.1
25、mm，质量为m，转轴垂直于转子的对称面。设转子的转速n=10000 r/min，不计摩擦，求当转子的重心位于最低位置时轴承A、B处的动约束力。第43页，共45页，编辑于2022年，星期日11.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力解 以整体为研究对象。主动力为转子的重力mg，约束力为FA和FB。惯性力 受力图如图所示。应用达朗贝尔原理，其平衡方程为 由此可解得轴承的动约束力为 第44页，共45页，编辑于2022年，星期日11.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力由此可解得轴承的动约束力为 由上式可以看出，轴承的静约束力为 由于转子的匀速转动，引起的轴承附加动约束力为 由此可见，附加动约束力为静约束力的11.2倍。另外，附加动约束力与偏心距的一次方及角速度的平方成正比。当角速度增加时，上述倍数会急剧增加，这很容易造成机件的损坏，应尽量避免。第45页，共45页，编辑于2022年，星期日