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1、关于不定积分的性质及应用第1页，讲稿共31张，创作于星期一重点重点原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念基本积分公式基本积分公式换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法有理函数积分有理函数积分难点难点换元积分换元积分分部积分分部积分有理函数积分有理函数积分第2页，讲稿共31张，创作于星期一基本要求基本要求正确理解原函数和不定积分概念正确理解原函数和不定积分概念熟记基本积分公式熟记基本积分公式熟练地运用换元积分法和分部积分法熟练地运用换元积分法和分部积分法会用待定系数法求有理函数积分会用待定系数法求有理函数积分会用万能代换和三角代换求三角有理式积分会用万能代换和三角代换求三角有理式积分会求
2、简单无理函数的积分会求简单无理函数的积分第3页，讲稿共31张，创作于星期一例例定义：定义：一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念第4页，讲稿共31张，创作于星期一对原函数的研究须讨论解决以下两个对原函数的研究须讨论解决以下两个问题问题(1)是否任何一个函数都存在原函数？是否任何一个函数都存在原函数？考察如下的例子考察如下的例子若存在可导函数若存在可导函数则由则由的定义的定义关于原函数的说明：关于原函数的说明：第5页，讲稿共31张，创作于星期一（左、右极限存在且相等）（左、右极限存在且相等）而已知而已知矛盾矛盾这说明这说明没有原函数没有原函数 既然不是每一个函数都有原函数，那么我们
3、自然既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们给出如下的结论：给出如下的结论：原函数存在定理：原函数存在定理：第6页，讲稿共31张，创作于星期一简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数.（证明待下章给出）（证明待下章给出）（2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有 什么联系？什么联系？若若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，若若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，则则（为任意常数）为任意常数）证证（为任意常数）为任意常数）第7页，讲稿共31张，创作于
4、星期一任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量 为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可上积分常数即可第8页，讲稿共31张，创作于星期一例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求第9页，讲稿共31张，创作于星期一例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点（由曲线通过点（1，
5、2）所求曲线方程为所求曲线方程为第10页，讲稿共31张，创作于星期一显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.第11页，讲稿共31张，创作于星期一实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式以根据求导公式得出积分公式.二、二、基本积分表基本积分表第12页，讲稿共31张，创作于星期一基本积分表是常数是
6、常数);说明：说明：简写为简写为第13页，讲稿共31张，创作于星期一第14页，讲稿共31张，创作于星期一以上以上1515个公式是求不定积分的基础，称个公式是求不定积分的基础，称为基本积分表，必须熟练掌握。为基本积分表，必须熟练掌握。第15页，讲稿共31张，创作于星期一例例4 4 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）第16页，讲稿共31张，创作于星期一证证等式成立等式成立.此性质可推广到有限多个函数之和的情况此性质可推广到有限多个函数之和的情况三、三、不定积分的性质不定积分的性质第17页，讲稿共31张，创作于星期一证明只须验证右端的导数等于左端的被积函数证明只须验证右端的导数等于左端
7、的被积函数（1）+（2）即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合这说明不定积分具有线性运算性质这说明不定积分具有线性运算性质 注意到上式中有注意到上式中有n个积分号，形式上含有个积分号，形式上含有n个任意常数个任意常数,但由于任意常数的线性组合仍是任意常数，故实际上只但由于任意常数的线性组合仍是任意常数，故实际上只含有含有一个任意常数一个任意常数分项积分法分项积分法第18页，讲稿共31张，创作于星期一例例5 5 求积分求积分解解注意注意检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数其导数是否等于
8、被积函数第19页，讲稿共31张，创作于星期一例例6 6 求积分求积分解解例例7 7 求积分求积分解解第20页，讲稿共31张，创作于星期一例例8 8 求积分求积分解解第21页，讲稿共31张，创作于星期一例例9解解例例10解解第22页，讲稿共31张，创作于星期一例例11解解说明：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表形，才能使用基本积分表.第23页，讲稿共31张，创作于星期一解解所求曲线方程为所求曲线方程为第24页，讲稿共31张，创作于星期一例例13 求求解解故故第25页，讲稿共31张，创作于星期一因被积函数连续，故原函数可导，进而原函
9、数连续因被积函数连续，故原函数可导，进而原函数连续于是有于是有第26页，讲稿共31张，创作于星期一说明说明求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一个函数的原函数有无穷多个，即要求的是全体原个函数的原函数有无穷多个，即要求的是全体原函函 数，若不加积分常数则表示只求出了一个原函数，若不加积分常数则表示只求出了一个原函数数写成分项积分后，积分常数可以只写一个写成分项积分后，积分常数可以只写一个积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上只相差一个常数只相差一个常数第27页，讲稿共31张，创作于星期一基本积分表基本积分表(1
10、)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：不定积分的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系求微分与求积分的互逆关系四、四、小结小结第28页，讲稿共31张，创作于星期一思考题思考题符号函数符号函数在在 内是否存在原函数？为什么？内是否存在原函数？为什么？第29页，讲稿共31张，创作于星期一思考题解答思考题解答不存在不存在.假设有原函数假设有原函数故假设错误故假设错误所以所以 在在 内不存在原函数内不存在原函数.结论结论每一个含有每一个含有第一类间断点第一类间断点的函数都没有的函数都没有原函数原函数.第30页，讲稿共31张，创作于星期一感谢大家观看第31页，讲稿共31张，创作于星期一