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1、第四章 角动量守恒 刚体力学本讲稿第一页，共八十九页441 1角动量定理与角动量守恒角动量定理与角动量守恒1、质点对一参考点的角动量、质点对一参考点的角动量 O定义：动量为定义：动量为的质点，相对某的质点，相对某一参考点一参考点O的的角动量（动量矩）角动量（动量矩）为为大小：大小：方向：满足右手螺旋法则。方向：满足右手螺旋法则。一、质点的一、质点的角动量定理与角动量守恒角动量定理与角动量守恒本讲稿第二页，共八十九页2、力对一参考点的力矩、力对一参考点的力矩 O定义：力定义：力F相对某一参考点相对某一参考点O的的力矩力矩为：为：大小：大小：方向：满足右手螺旋法则。方向：满足右手螺旋法则。若质点同
2、时受多个力作用，则对一参考点的力若质点同时受多个力作用，则对一参考点的力矩矢量和等于合力对该点的力矩：矩矢量和等于合力对该点的力矩：本讲稿第三页，共八十九页3、质点对参考点的角动量定理、角动量守恒定律、质点对参考点的角动量定理、角动量守恒定律质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量对时间的变化率角动量定理。角动量定理。本讲稿第四页，共八十九页角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。力矩角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。力矩M=0的条件：（的条件：（1）力臂）力臂r=0（有心力作用）（有心力作
3、用），（2）力）力F=0，（，（3）r 与与F 相互平行。相互平行。若质点所受的合外力矩若质点所受的合外力矩如如果果对对于于某某一一固固定定点点，质质点点所所受受的的合合外外力力矩矩为为零零，则则质质点点对对该该固固定定点点的的角角动动量量矢矢量量保保持持不不变变角角动动量量守守恒恒定律定律。本讲稿第五页，共八十九页例例1 1、质质点点运运动动时时，位位矢矢r 在在单单位位时时间间内内扫扫过过的的面面积积称称为为掠掠面面速速度度。试试证证明明：作作匀匀速速直直线线运运动动的的质质点点，其其掠面速度为常数。掠面速度为常数。解：质点作匀速直线运动，受合外解：质点作匀速直线运动，受合外力力F0，因而
4、对原点，因而对原点O的力矩的力矩0，对对O点的角动量守恒。角动量大小点的角动量守恒。角动量大小因而因而掠面速度：掠面速度：本讲稿第六页，共八十九页例例2、行星运动的开普勒第二运动定律：、行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳的位行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。矢在相等的时间内扫过相等的面积。解：行星在太阳引力（有心力）解：行星在太阳引力（有心力）作用下沿椭圆轨道运动，因而作用下沿椭圆轨道运动，因而行星在运行过程中，它对太阳行星在运行过程中，它对太阳的角动量守恒不变。的角动量守恒不变。因而因而掠面速度：掠面速度：本讲稿第七页，共八十九页 rm2m1OR例例3、发射一宇宙飞船去考察
5、一质量为、发射一宇宙飞船去考察一质量为m1，半径为，半径为R的的行星。当飞船静止于空间中距行星中心行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时，以初时，以初速速v0发射一质量为发射一质量为m2(m2远小于飞船质量远小于飞船质量)的探测器，要的探测器，要使探测器正好能掠着行星表面着陆，使探测器正好能掠着行星表面着陆，角应多大？角应多大？解：探测器飞行过程中只解：探测器飞行过程中只受到行星的引力，因而对受到行星的引力，因而对O点的角动量守恒：点的角动量守恒：又由机械能守恒：又由机械能守恒：代入代入r=4R，求出，求出本讲稿第八页，共八十九页4、质点对轴的角动量定理、角动量守恒定律、质点对轴的角动量
6、定理、角动量守恒定律 Z动量为动量为的质点对的质点对Z轴的角动量：轴的角动量：为质点动量为质点动量在与在与Z轴相轴相垂直的平面上的分量，垂直的平面上的分量，也在该平面上。也在该平面上。Z同样，力同样，力对对Z轴的力矩：轴的力矩：为力在垂直于为力在垂直于Z轴平面上的分量轴平面上的分量本讲稿第九页，共八十九页质点对轴的角动量定理为：质点对轴的角动量定理为：力对力对Z轴的力矩等于质点对轴的力矩等于质点对Z轴的角动量随时间的变轴的角动量随时间的变化率。也可认为是质点对化率。也可认为是质点对Z轴上任一点轴上任一点O的角动量定的角动量定理在理在Z轴上的投影。轴上的投影。当当MZ=0时，时，LZ=常量常量质
7、点对轴的角动量守恒。质点对轴的角动量守恒。本讲稿第十页，共八十九页解：小球运动过程中受重力和绳中张解：小球运动过程中受重力和绳中张力的作用。张力不作功机械能守恒：力的作用。张力不作功机械能守恒：mg例例4、一小球用摆长为、一小球用摆长为L的轻绳系于的轻绳系于O点，开始时将小点，开始时将小球移开使绳与竖直方向成球移开使绳与竖直方向成 角，并给小球一水平初速角，并给小球一水平初速度度v0使小球绕使小球绕O点旋转，若希望在运动过程中，绳与点旋转，若希望在运动过程中，绳与竖直方向的最大瞬时夹角为竖直方向的最大瞬时夹角为90，问问v0 应多大？应多大？LO重力和张力都在竖直面上，对竖直轴无力矩，因而小重
8、力和张力都在竖直面上，对竖直轴无力矩，因而小球对竖直轴的角动量守恒：球对竖直轴的角动量守恒：求出：求出：本讲稿第十一页，共八十九页二、质点系的角动量定理、角动量守恒二、质点系的角动量定理、角动量守恒1、质点系对一参考点的角动量定理与角动量守恒、质点系对一参考点的角动量定理与角动量守恒设一质点系中各质点相对参考点设一质点系中各质点相对参考点O的位矢用的位矢用(i=1,2,3,)，各质点的运动速度用，各质点的运动速度用(i=1,2,3,)表示，表示，则质点系对则质点系对O点的角动量为：点的角动量为：质点系中各质点所受外力对质点系中各质点所受外力对O点的力矩和为：点的力矩和为：本讲稿第十二页，共八十
9、九页而质点系中内力总是成对出现的，因而对同一参考点而质点系中内力总是成对出现的，因而对同一参考点而言，内力矩之和总为零。因而质点系对一参考点的而言，内力矩之和总为零。因而质点系对一参考点的角动量定理为：角动量定理为：质点系相对参考点质点系相对参考点O的角动量随时间的变化率等于所的角动量随时间的变化率等于所有外力对该点力矩的矢量和。有外力对该点力矩的矢量和。当当时，时，当外力对参考点当外力对参考点O的力矩矢量和为零时，质点系对该的力矩矢量和为零时，质点系对该点的角动量守恒。点的角动量守恒。本讲稿第十三页，共八十九页2、质点系对轴的角动量定理与角动量守恒、质点系对轴的角动量定理与角动量守恒考虑质点
10、系中质点都在垂直于考虑质点系中质点都在垂直于Z轴的平面上运动的情轴的平面上运动的情形，可得出质点系对轴的角动量定理：形，可得出质点系对轴的角动量定理：质点系对质点系对Z轴的角动量随时间的变化率等于质点系所轴的角动量随时间的变化率等于质点系所受一切外力对受一切外力对Z轴的力矩之和。轴的力矩之和。当质点系所受一切外力对当质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和轴的力矩之和=0时，质点时，质点系对系对Z轴的角动量守恒。轴的角动量守恒。本讲稿第十四页，共八十九页3、角动量守恒定律可以解释星系的圆盘形结构。、角动量守恒定律可以解释星系的圆盘形结构。观察表明银河系及许多星系都呈扁平的圆盘形结构。银观察表明银河系
11、及许多星系都呈扁平的圆盘形结构。银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与其它星系河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与其它星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角动量的的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚（坍缩）存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚（坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形结构。这是成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒（因为在凝聚过程中，角动量守恒（r2=常量）要求转速随常量）要求转速随r 的减小而增大，因而使离心力增大，它往往比引力增大的减小而增大，因而使离心力增大，
12、它往往比引力增大得更快，最终引力会和离心力相互平衡，即角动量守恒限得更快，最终引力会和离心力相互平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴方向的进一步坍缩。但角动量守恒制了星系在垂直于转轴方向的进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转轴方向的坍缩，因为对这种坍缩，角动并不妨碍星系沿转轴方向的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求增加转速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿量守恒不要求增加转速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。轴向坍缩过程中减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。本讲稿第十五页，共八十九页三、质点系对质心的角动量定理和守恒定律三、质点系对质心的角
13、动量定理和守恒定律前述角动量定理和角动量守恒定律都是相对某惯前述角动量定理和角动量守恒定律都是相对某惯性系的，若参考系是一非惯性系，则还要考虑各质点性系的，若参考系是一非惯性系，则还要考虑各质点所受的惯性力的力矩。所受的惯性力的力矩。选系统质心选系统质心C为参考系，并设质心具有加速度为参考系，并设质心具有加速度,质点系相对质心质点系相对质心C的角动量为的角动量为 ，用，用 表示作用在表示作用在质点系上各外力对质心质点系上各外力对质心C的力矩矢量和，再考虑各质的力矩矢量和，再考虑各质点所受的惯性力矩，有：点所受的惯性力矩，有：本讲稿第十六页，共八十九页因而在质心系中，有：因而在质心系中，有：即质
14、心系中的角动量定理和惯性系中的角动量定理有即质心系中的角动量定理和惯性系中的角动量定理有完全相同的形式。完全相同的形式。这说明质心系的特殊和重要。这说明质心系的特殊和重要。本讲稿第十七页，共八十九页42对称性、对称性与守恒定律对称性、对称性与守恒定律一、自然界中的对称性一、自然界中的对称性对对称称是是自自然然界界固固有有的的一一种种属属性性。如如球球体体关关于于球球心心对对称称；圆圆柱柱体体关关于于轴轴对对称称；人人和和动动物物“左左、右右”对对称称；花花、草草有有对对称称性性；各各种种建建筑筑物物也也“左左、右右”对对称称，等。人们也习惯了等。人们也习惯了“对称对称”之美。之美。本讲稿第十八
15、页，共八十九页我们要给对称性下一个较严格的定义：若对某一几何形我们要给对称性下一个较严格的定义：若对某一几何形体施行某种操作后会使其状态与初态完全相同，则称它体施行某种操作后会使其状态与初态完全相同，则称它具有对称性。常见的对称性有具有对称性。常见的对称性有:平移对称性：平移对称性：如果一个形体发生一平移后，它和原来一如果一个形体发生一平移后，它和原来一模一样，那么该形体具有模一样，那么该形体具有空间平移对称性空间平移对称性。转动对称性转动对称性:如果一个形体绕某一固定轴转动一个角度，如果一个形体绕某一固定轴转动一个角度，它又和原来一模一样它又和原来一模一样,则称它具有转动对称性。则称它具有转
16、动对称性。左右对称又称镜象对称性左右对称又称镜象对称性:人们人们照镜子时，镜中的像与你实际上照镜子时，镜中的像与你实际上是不同的，你的像将你的左、右是不同的，你的像将你的左、右对换了。所以镜象对称操作也称对换了。所以镜象对称操作也称为为空间反演变换空间反演变换。本讲稿第十九页，共八十九页二、物理定律的对称性二、物理定律的对称性物理学中讨论的对称性要比上述形体上的对称性物理学中讨论的对称性要比上述形体上的对称性有更深的内涵。物理学家认为，若某一事物、某一性质、有更深的内涵。物理学家认为，若某一事物、某一性质、某一规律在某种变换之后仍保持不变，就称其具有对称某一规律在某种变换之后仍保持不变，就称其
17、具有对称性，也称为在这种变换下的不变性。由于事物在变换后性，也称为在这种变换下的不变性。由于事物在变换后完全复原，因而在变换前、后是不能区分的，也无法作完全复原，因而在变换前、后是不能区分的，也无法作出辨别性的测量。故物理学中将出辨别性的测量。故物理学中将对称性、在变换下的不对称性、在变换下的不变性、不可区分性和不可测性变性、不可区分性和不可测性四者给予相同的涵义。四者给予相同的涵义。物理学中也研究几何对称性，但更重要的是物理定律的物理学中也研究几何对称性，但更重要的是物理定律的对称性，即物理定律在某种变换下的不变性。这些变换包括：对称性，即物理定律在某种变换下的不变性。这些变换包括：时间平移
18、、空间平移和转动、空间镜像、惯性系坐标变换等。时间平移、空间平移和转动、空间镜像、惯性系坐标变换等。本讲稿第二十页，共八十九页物理定律的时间平移不变性：物理定律的时间平移不变性：无论是过去、现在还是将来，无论是过去、现在还是将来，物理定律都不会改变。一个实验只要不改变实验条件和物理定律都不会改变。一个实验只要不改变实验条件和使用的仪器，不管是昨天、今天还是明天去做，都应得使用的仪器，不管是昨天、今天还是明天去做，都应得到相同的结果。这一事实表明物理定律具有时间平移的到相同的结果。这一事实表明物理定律具有时间平移的对称性。或者说对称性。或者说对物理定律而言，时间有均匀性。对物理定律而言，时间有均
19、匀性。物理定律的空间平移不变性：物理定律的空间平移不变性：物理定律在空间中任何位物理定律在空间中任何位置上都相同。这一性质称为物理定律的空间平移对称性，置上都相同。这一性质称为物理定律的空间平移对称性，即即对物理定律而言，空间具有均匀性。对物理定律而言，空间具有均匀性。物理定律的空间转动不变性物理定律的空间转动不变性:物理定律在空间所有方向上物理定律在空间所有方向上都相同都相同,不管将实验仪器在空间中如何转向不管将实验仪器在空间中如何转向,只要实验条只要实验条件相同件相同,就应得到相同的实验结果。这一性质称为物理定就应得到相同的实验结果。这一性质称为物理定律的空间转动不变性，或者说律的空间转动
20、不变性，或者说对物理定律而言，空间为各对物理定律而言，空间为各向同性。向同性。本讲稿第二十一页，共八十九页物理定律的镜像不变性：物理定律的镜像不变性：著名的物理学家费因曼讲过一个著名的物理学家费因曼讲过一个例子：若依据一只钟的镜像制作出另一只钟，并将这两只例子：若依据一只钟的镜像制作出另一只钟，并将这两只互为镜像的钟的发条上的一样紧，则这两只钟将以相同的互为镜像的钟的发条上的一样紧，则这两只钟将以相同的速率走动，它们遵从相同的力学定律。类似地，若制造出速率走动，它们遵从相同的力学定律。类似地，若制造出两台互为镜像的电动机，这两台电动机也应遵从相同的电两台互为镜像的电动机，这两台电动机也应遵从相
21、同的电磁学定律。可见，物理定律在镜像变换下具有不变性，或磁学定律。可见，物理定律在镜像变换下具有不变性，或者说者说对物理定律而言，空间是左、右对称的。对物理定律而言，空间是左、右对称的。物理定律的惯性系变换不变性：物理定律的惯性系变换不变性：按相对性原理，当从一按相对性原理，当从一个惯性系变换到另一个惯性系时，物理定律保持不变。这表个惯性系变换到另一个惯性系时，物理定律保持不变。这表明对物理定律而言，所有的惯性系是完全对称的。明对物理定律而言，所有的惯性系是完全对称的。本讲稿第二十二页，共八十九页物理定律的对称性都可用一种否定的形式来表述：物理定律的对称性都可用一种否定的形式来表述：人们无法人
22、们无法通过任何物理实验来确定人们所处的时间绝对值、所在的空通过任何物理实验来确定人们所处的时间绝对值、所在的空间绝对位置、空间绝对方向，也不能确定绝对的左和右。在间绝对位置、空间绝对方向，也不能确定绝对的左和右。在参考系内做任何实验也无法确定参考系在空间的绝对速度。参考系内做任何实验也无法确定参考系在空间的绝对速度。物理定律的对称性归根到底反映了我们所处时空的特性。物理定律的对称性归根到底反映了我们所处时空的特性。三、物理定律的对称性与守恒定律三、物理定律的对称性与守恒定律由于物理定律具有某种对称性，就以相应的方式限制了物理由于物理定律具有某种对称性，就以相应的方式限制了物理定律，继而使遵循物
23、理定律的物质体系的运动受到某种制约，定律，继而使遵循物理定律的物质体系的运动受到某种制约，这种制约就是物质体系在运动中保持某个物理量为恒量。于这种制约就是物质体系在运动中保持某个物理量为恒量。于是是物理定律的一种对称性就导致一条守恒定律，反之有一条物理定律的一种对称性就导致一条守恒定律，反之有一条守恒定律也必定有一种对称性与之相应。守恒定律也必定有一种对称性与之相应。本讲稿第二十三页，共八十九页不可测量性物理定律变换不变性守恒定律时间绝对值时间平移能量空间绝对位置空间平移动量空间绝对方向空间转动角动量空间左和右空间反演宇称惯性系等价伽利略变换 洛伦兹变换时空绝对性 时空四维间隔带电粒子与中性粒
24、子的相对位置电荷规范变换电荷重子与其它粒子的相对位置重子规范变换重子数轻子与其它粒子的相对位置轻子规范变换轻子数粒子与反粒子电荷共轭电荷 宇称本讲稿第二十四页，共八十九页例例1 空间平移对称性与动量守恒定律空间平移对称性与动量守恒定律 设由两个质点组成的封闭系统，二设由两个质点组成的封闭系统，二者间只存在保守内力（如引力）的者间只存在保守内力（如引力）的相互作用，如图所示。将两个质点相互作用，如图所示。将两个质点沿同一方向平移，二者的相互作用沿同一方向平移，二者的相互作用势能改变：势能改变：但因空间具有平移对称性，平移后两质点的相对位置但因空间具有平移对称性，平移后两质点的相对位置不变，因而势
25、能不变，即不变，因而势能不变，即。因此有：。因此有：即即本讲稿第二十五页，共八十九页例例2、空间旋转对称性与角动量守恒、空间旋转对称性与角动量守恒设两质点位于以设两质点位于以O点为圆心，点为圆心，R为半为半径的圆周上，二者对圆心的连线之间径的圆周上，二者对圆心的连线之间的夹角为的夹角为，让两质点在此圆周轨道让两质点在此圆周轨道上沿同一方向转过的角度上沿同一方向转过的角度d，如图所，如图所示。在此过程中系统势能改变量示。在此过程中系统势能改变量O，其中其中分别是力分别是力对对O点的力矩。由于空间具有点的力矩。由于空间具有旋转对称性，旋转后两质点的相对位置不变，因而势旋转对称性，旋转后两质点的相对
26、位置不变，因而势能应不变。能应不变。即即本讲稿第二十六页，共八十九页四、对称性的自发破缺四、对称性的自发破缺一个原先具有较高对称性的体系，在没有受到任何不对一个原先具有较高对称性的体系，在没有受到任何不对称因素的影响下，突然间对称性明显下降的现象称为对称性称因素的影响下，突然间对称性明显下降的现象称为对称性的自发破缺。当系统中存在或受到破坏对称性的微拢时，若的自发破缺。当系统中存在或受到破坏对称性的微拢时，若这种微拢会被不断地放大，最终就会出现明显的不对称，产这种微拢会被不断地放大，最终就会出现明显的不对称，产生对称性的自发破缺。生对称性的自发破缺。设想将一支削得十分均匀的铅笔笔尖朝下竖立在桌
27、面上，放设想将一支削得十分均匀的铅笔笔尖朝下竖立在桌面上，放手后只要有十分微小的一点点拢动，笔就会倒下，笔未倒之手后只要有十分微小的一点点拢动，笔就会倒下，笔未倒之前，对竖直轴线具有轴对称性，倒下后这种对称性就被打破前，对竖直轴线具有轴对称性，倒下后这种对称性就被打破了，出现对称性的自发破缺。了，出现对称性的自发破缺。目前，人们应用对称性原理有三个逻辑步骤：目前，人们应用对称性原理有三个逻辑步骤：假设某个假设某个绝对量不可观测；绝对量不可观测；导出时空的某种对称性即物理定律导出时空的某种对称性即物理定律在某种变换下的不变性；在某种变换下的不变性；推出某条守恒定律推出某条守恒定律本讲稿第二十七页
28、，共八十九页这种对称性的自发破缺何时发生、在何处发生都具有偶然这种对称性的自发破缺何时发生、在何处发生都具有偶然性。性。运动的多样性的一个重要表现，是自然界同时显现出许多运动的多样性的一个重要表现，是自然界同时显现出许多不同类型的对称性。这些对称性互相交织在一起，在演化过程不同类型的对称性。这些对称性互相交织在一起，在演化过程中不断地有对称性发生破缺，同时往往又显现出新的对称性。中不断地有对称性发生破缺，同时往往又显现出新的对称性。对称是美丽的，但若完全对称又会显得单调、平淡而缺乏对称是美丽的，但若完全对称又会显得单调、平淡而缺乏生机，真正的美正是对称与不对称的完美结合，那蜿蜒曲折、生机，真正
29、的美正是对称与不对称的完美结合，那蜿蜒曲折、此起彼伏而又错落有致的层层山峦不正是大自然创造出的美景此起彼伏而又错落有致的层层山峦不正是大自然创造出的美景吗？吗？对称性导致守恒而对称性的自发破缺则产生变化，对称性导致守恒而对称性的自发破缺则产生变化，二者的有机结合才有了大自然的变化莫测和多彩多姿。二者的有机结合才有了大自然的变化莫测和多彩多姿。本讲稿第二十八页，共八十九页43刚体运动的描述刚体运动的描述刚体是一种特殊的质点系统，无论在多大外刚体是一种特殊的质点系统，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。不变。形状、大小都不变的物体称
30、为刚体形状、大小都不变的物体称为刚体。刚体是刚体是可以忽略由于受力而引起物体形状和体可以忽略由于受力而引起物体形状和体积改变的积改变的理想模型。理想模型。本讲稿第二十九页，共八十九页一、刚体的平动：一、刚体的平动：刚体运动时，刚体上任一条直线的刚体运动时，刚体上任一条直线的位置始终保持彼此平行，称为位置始终保持彼此平行，称为平动。平动。此时，刚体中所有质点的位移、速度和加速度都相同，此时，刚体中所有质点的位移、速度和加速度都相同，可任选刚体上一点的运动来代表。即刚体的平动满足可任选刚体上一点的运动来代表。即刚体的平动满足质心运动定理：质心运动定理：本讲稿第三十页，共八十九页二、刚体的定轴转动：
31、二、刚体的定轴转动：刚体绕一固定直线（转轴刚体绕一固定直线（转轴Z Z）的转动。）的转动。z此时此时轴外各质点都在垂直于转轴外各质点都在垂直于转轴的平面上作圆周运动，在同轴的平面上作圆周运动，在同一时间间隔内，走过的弧长虽一时间间隔内，走过的弧长虽不同，但角位移不同，但角位移，因而角速，因而角速度度、角加速度、角加速度 都一样。适合都一样。适合用圆周运动的角量描述：用圆周运动的角量描述：本讲稿第三十一页，共八十九页三、刚体的定点转动：三、刚体的定点转动：刚体绕一固定点刚体绕一固定点O O的转动，称为定点转动。的转动，称为定点转动。实际上，在任一瞬时，刚体上实际上，在任一瞬时，刚体上都存在一条都
32、存在一条轴线（瞬时转轴轴线（瞬时转轴Z Z）各质点都在垂直于瞬时转轴的各质点都在垂直于瞬时转轴的平面上作圆周运动。平面上作圆周运动。zO与定轴转动不同的是，此瞬时转与定轴转动不同的是，此瞬时转轴的方位，在空间中不断变化。轴的方位，在空间中不断变化。若能确定出瞬时转轴的方位（三个方位角若能确定出瞬时转轴的方位（三个方位角，中中的两个），接下来就与定轴转动毫无差别了。的两个），接下来就与定轴转动毫无差别了。本讲稿第三十二页，共八十九页角速度矢量：角速度矢量：定义刚体转动的角速度定义刚体转动的角速度 为为矢量。矢量。方向：方向：沿沿(瞬时瞬时)转轴，与转动方向成右手螺旋关系。转轴，与转动方向成右手螺
33、旋关系。大小：大小：角速度可定义为矢量，是因角速度可定义为矢量，是因为角速度合成时符合平行四为角速度合成时符合平行四边形法则。边形法则。演示实验演示实验角速度矢量合成角速度矢量合成本讲稿第三十三页，共八十九页注意：注意：角速度是矢量，因而无限小的角位移是矢量，角速度是矢量，因而无限小的角位移是矢量，但有限大的角位移合成结果与转动的先后次序有关，但有限大的角位移合成结果与转动的先后次序有关，不服从交换律，因此它一般不是矢量。不服从交换律，因此它一般不是矢量。演示动画：演示动画：转动的次序影响转动结果转动的次序影响转动结果角加速度矢量：角加速度矢量：因角速度是矢量，所以角加速度也因角速度是矢量，所
34、以角加速度也是矢量。是矢量。对定轴转动，对定轴转动，均沿转轴方向。均沿转轴方向。本讲稿第三十四页，共八十九页四、刚体的平面运动：四、刚体的平面运动：刚体在运动过程中，各质点均刚体在运动过程中，各质点均在平面内运动，且这些平面均与一固定的平面平行，在平面内运动，且这些平面均与一固定的平面平行，称为称为平面运动。平面运动。如车轮沿一直线的滚动。可认为：如车轮沿一直线的滚动。可认为：平面运动平面运动=质心平动质心平动+过质心轴的定轴转动过质心轴的定轴转动演示演示:车轮的无滑动滚动车轮的无滑动滚动本讲稿第三十五页，共八十九页五、刚体的一般运动：五、刚体的一般运动：刚体的一般运动刚体的一般运动=平动平动
35、+定点转动。定点转动。演示动画演示动画 手榴弹的运动手榴弹的运动本讲稿第三十六页，共八十九页44刚体定轴转动刚体定轴转动一、刚体定轴转动的角动量一、刚体定轴转动的角动量质点质点 mi 的动量的动量 mi 对对O O点的角动量点的角动量刚体对刚体对O点的角动量：点的角动量：通常角动量与角速度的方通常角动量与角速度的方向并不一致。向并不一致。演示：刚体对点的角动量演示：刚体对点的角动量本讲稿第三十七页，共八十九页刚体对定轴刚体对定轴Z的角动量的角动量LZ定义：刚体对定义：刚体对Z Z轴的转动惯量轴的转动惯量I I有：有：本讲稿第三十八页，共八十九页二、刚体转动惯量的计算二、刚体转动惯量的计算rdm
36、 刚体对某一转轴的转动惯量刚体对某一转轴的转动惯量I，是，是刚体转动时惯性大小的量度。其地刚体转动时惯性大小的量度。其地位和作用都有与质点动力学中的质位和作用都有与质点动力学中的质量量m相当。常用的计算方法有：相当。常用的计算方法有：积分法：积分法：dm为质量元，简称质元。为质量元，简称质元。r为质元到转轴的距离。为质元到转轴的距离。I与质量大小、质量分布、及转轴位置有关。与质量大小、质量分布、及转轴位置有关。演示：演示：影响刚体转动惯量的因素影响刚体转动惯量的因素本讲稿第三十九页，共八十九页常见刚体的转动惯量常见刚体的转动惯量本讲稿第四十页，共八十九页例例1求质量为求质量为m，长为，长为l的
37、均匀细棒对下面转轴的转动的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；转轴通过棒的中心并和棒垂直；(2)转轴转轴通过棒的一端并和棒垂直。通过棒的一端并和棒垂直。解：解：(1)在棒上离轴在棒上离轴x处，取处，取一长度元一长度元dx，设棒的质量线，设棒的质量线密度为密度为，则，则dm=dx，有：，有：（2 2）当转轴通过棒的一端）当转轴通过棒的一端A A并与棒垂直时：并与棒垂直时：本讲稿第四十一页，共八十九页例例2求质量为求质量为m、半径为、半径为R、厚、厚为为h的均质圆盘对通过盘心并与的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。盘面垂直的轴的转动惯量。解：如图所示，
38、将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为半径为r，宽度为，宽度为dr的薄圆环，它的转动惯量为：的薄圆环，它的转动惯量为：积分：积分：注意：注意：I与与h无关一个质量为无关一个质量为m、半径为、半径为R的实心圆柱体对的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。本讲稿第四十二页，共八十九页平行轴定理：平行轴定理：dICCIDIC、ID 分别是刚体对过质心轴，分别是刚体对过质心轴，和与之相平行的另一转轴的转动和与之相平行的另一转轴的转动惯量。两转轴间距为惯量。两转轴间距为d 薄板的正交轴定理：薄板的正交轴定理：yx
39、zoX,Y轴在薄板面上，轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。轴与薄板垂直。本讲稿第四十三页，共八十九页例例3、质量、质量m，长为，长为l 的四根均匀细棒，的四根均匀细棒，组成一正方形框架，绕过其一顶点组成一正方形框架，绕过其一顶点O并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。Om,lC解：由平行轴定理，先求出一根棒对解：由平行轴定理，先求出一根棒对框架质心框架质心C的转动惯量：的转动惯量：因而框架对质心因而框架对质心C的转动惯量的转动惯量再次用平行轴定理，得：再次用平行轴定理，得：本讲稿第四十四页，共八十九页OIR例例4、一质量为、一质量为m，半径为，半径为R的薄圆盘，的薄圆
40、盘，绕与盘边相切的轴转动，求转动惯量绕与盘边相切的轴转动，求转动惯量IZXY解：取图示坐标系，已知解：取图示坐标系，已知由垂直轴定理得由垂直轴定理得又由平行轴定理，有又由平行轴定理，有本讲稿第四十五页，共八十九页三、刚体定轴转动的角动量定理、转动定律三、刚体定轴转动的角动量定理、转动定律把刚体看成是质点组，由质点组角动量定理得出刚把刚体看成是质点组，由质点组角动量定理得出刚体定轴转动的体定轴转动的角动量定理：角动量定理：刚体对轴的外力矩总和刚体对轴的外力矩总和=刚体对轴的角动量变化率。刚体对轴的角动量变化率。或用冲量矩写成：或用冲量矩写成：通常，给定的刚体的通常，给定的刚体的IZ为常量，得出为
41、常量，得出转动定律：转动定律：本讲稿第四十六页，共八十九页例例5一质量为一质量为M，半径为，半径为R的定滑轮（当作圆盘）上的定滑轮（当作圆盘）上面绕有细绳。绳的另一端挂一质量为面绕有细绳。绳的另一端挂一质量为m的物体而下垂的物体而下垂忽略轴处摩擦，求物体忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落由静止下落h高度时的速度高度时的速度和此时滑轮的角速度。和此时滑轮的角速度。对物体对物体m，由牛顿第二定律，由牛顿第二定律滑轮和物体的运动学关系为滑轮和物体的运动学关系为解解：对对定定滑滑轮轮M，由由转转动动定定律律，对于轴对于轴O，有，有本讲稿第四十七页，共八十九页物体下落高度物体下落高度h h时的速度时的速度
42、这时滑轮转动的角速度这时滑轮转动的角速度以上三式联立，可得物体下落的加速度为以上三式联立，可得物体下落的加速度为本讲稿第四十八页，共八十九页例例6待测物体装在转动架上，细线待测物体装在转动架上，细线的一端绕在半径为的一端绕在半径为R的轮轴上，另的轮轴上，另一端通过定滑轮悬挂质量为一端通过定滑轮悬挂质量为m的物的物体。测得体。测得m自静止下落高度自静止下落高度h的时间的时间为为t，求待测刚体对转轴的转动惯量。，求待测刚体对转轴的转动惯量。忽略各轴承的摩擦、滑轮质量，已忽略各轴承的摩擦、滑轮质量，已知转动架的转动惯量为知转动架的转动惯量为I0解：对物体解：对物体m，应用牛顿定律：，应用牛顿定律：对
43、待测物体，应用转动定律：对待测物体，应用转动定律：并有关系式：并有关系式：求出：求出：TT本讲稿第四十九页，共八十九页例例7如图，以水平力如图，以水平力f打击悬挂在打击悬挂在P点的刚体，打击点为点的刚体，打击点为O，若打击点，若打击点选择合适，则打击过程中轴对刚体选择合适，则打击过程中轴对刚体的切向力的切向力Ft=0，该点称为打击中心。，该点称为打击中心。求打击中心到轴的距离求打击中心到轴的距离rO解：刚体在水平外力解：刚体在水平外力f的力矩作用下的力矩作用下定轴转动。由转动定律，有：定轴转动。由转动定律，有：刚体质心的切向加速度为刚体质心的切向加速度为Ct=rC，沿此方向的运动方，沿此方向的
44、运动方程为程为:当当Ft=0时，得时，得对细棒对细棒本讲稿第五十页，共八十九页例例8一质量为一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失端长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后棒，求子弹穿出后棒的角速度的角速度。已知棒长为。已知棒长为l，质量为，质量为M解：以解：以f代表棒对子弹的阻力，对于子代表棒对子弹的阻力，对于子弹有弹有子弹对棒的反作用力子弹对棒的反作用力f 对棒的冲量矩为对棒的冲量矩为因因f=f ，有，有本讲稿第五十一页，共八十九页例例9两个均匀圆柱各自绕自身的轴转动，两轴互相平两个均匀圆柱各自绕自身的轴转动，两轴互相平
45、行。圆柱半径和质量分别为行。圆柱半径和质量分别为R1,R2,M1,M2.开始时两开始时两柱分别以角速度柱分别以角速度1,2同向旋转。然后缓缓移动它们，同向旋转。然后缓缓移动它们，使之互相接触。求两柱在相互之间摩擦力的作用下所使之互相接触。求两柱在相互之间摩擦力的作用下所达到的最终角速度达到的最终角速度1、2.解：最终状态是两柱表面没有相解：最终状态是两柱表面没有相对滑动，即对滑动，即1、2方向相反，方向相反，并满足并满足由于两柱接触时摩擦力由于两柱接触时摩擦力f大小相等大小相等,方向相反，它们的方向相反，它们的冲量矩的大小正比于半径，方向相同：冲量矩的大小正比于半径，方向相同：本讲稿第五十二页
46、，共八十九页消去消去得：得：解出解出其中用到两圆柱体的转动惯量公式：其中用到两圆柱体的转动惯量公式：请考虑，此例中由两柱所构成的系统总角动量守恒吗？请考虑，此例中由两柱所构成的系统总角动量守恒吗？为什么？为什么？本讲稿第五十三页，共八十九页例题一质量为例题一质量为m、半径为、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以盘面的光滑轴正以 o的角速度转动。现将盘置于粗糙的的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为，求圆盘，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？经多少时间、转几圈将停下来？解解摩擦力是分布在整
47、个盘面上的，计算摩擦力的力矩时，摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为、宽为dr的圆环积分。故的圆环积分。故摩擦力矩为摩擦力矩为rdro于是得于是得本讲稿第五十四页，共八十九页rdro由由=o+t=0得得又由又由 2-o2=2，所以停下来前转过的圈数为所以停下来前转过的圈数为本讲稿第五十五页，共八十九页四、刚体定轴转动的角动量守恒定理四、刚体定轴转动的角动量守恒定理由前知由前知当当MZ=0时，时，LZ=常量常量刚体对轴的角动量守恒刚体对轴的角动量守恒。或在前。或在前后任意两个时刻，有：后任意两个时刻，有：此式也适用于刚体的转
48、动此式也适用于刚体的转动惯量有发生变化的情形。惯量有发生变化的情形。例如跳水、冰上芭蕾舞、例如跳水、冰上芭蕾舞、茹可夫斯基凳等。茹可夫斯基凳等。演示：茹可夫斯基凳演示：茹可夫斯基凳本讲稿第五十六页，共八十九页解解系统系统:圆盘圆盘+人。系统什么量人。系统什么量守恒？守恒？(1)外力外力(重力和轴的支撑力重力和轴的支撑力)对转轴的力矩为零，所以系统对转轴的力矩为零，所以系统角动量守恒，于是有角动量守恒，于是有(I盘盘+I人人)O=I盘盘 +m人人v(R/2)上式正确吗？上式正确吗？显然是错误的。显然是错误的。oR/2例题例题:匀质园盘匀质园盘(m、R)与一人与一人(m/10,视为质点视为质点)一
49、起以一起以角速度角速度 o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动,如图所如图所示示。如果此人相对于盘以速率。如果此人相对于盘以速率v、沿半径为、沿半径为R/2的园周的园周运动运动(方向与盘转动方向相反方向与盘转动方向相反),求求:(1)圆盘对地的角圆盘对地的角速度速度;(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？小和方向？本讲稿第五十七页，共八十九页所以在应用角动量所以在应用角动量守恒定律求解问题时，应代入人相对于惯性系守恒定律求解问题时，应代入人相对于惯性系(地面地面)的的角速度。正确的式子是：角速度。正确的式子是：解出：
50、解出：R/2(2)欲使盘静止，可令欲使盘静止，可令得得式中负号表示人的运动方向与盘的式中负号表示人的运动方向与盘的初始转动初始转动(o)方向一致。方向一致。角动量守恒定律只适用于惯性系。角动量守恒定律只适用于惯性系。本讲稿第五十八页，共八十九页五、五、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理1、力矩的功、力矩的功外外力力Fi 使使刚刚体体转转动动一一微微小小角度角度d d 所作的元功：所作的元功：刚体转过有限大角度时力矩的功刚体转过有限大角度时力矩的功有多个力矩作用在刚体上时：有多个力矩作用在刚体上时：本讲稿第五十九页，共八十九页2、定轴转动的动能定理、定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能