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1、( (专科）第四章专科）第四章 傅里叶变换和系统的频傅里叶变换和系统的频域分析教学域分析教学pptppt课件课件4.0 引言引言第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析 时域分析时域分析，以，以冲激函数冲激函数为基本信号，任意输入为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和；而信号可分解为一系列冲激函数之和；而 yzs(t) = h(t)*f(t)。 本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，为基本信号，任意输入信号可分解为一系列任意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号的正弦信号或虚指数信号之和。或虚指数信号之和。 用
2、于系统分析的独立变量是用于系统分析的独立变量是频率频率， 故称为故称为频域频域分析分析 。频域分析从本章开始由从本章开始由时域时域转入转入变换域变换域分析，首先讨论傅里分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。数或复指数函数的组合。频域分析将频域分析将时间变量时间变量变换成变换成频率变量频率变量，揭示了信号，揭示了信
3、号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。制等重要概念。 发展历史1822年年，法国数学家傅里叶，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理在研究热传导理论时发表了论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等
4、人等人把这一成果应用到电学中去，得把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。到广泛应用。进入进入20世纪以后世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。前景。在在通信与控制系统通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 4.1 信号分解为正交函数信号
5、分解为正交函数 矢量正交与正交分解矢量正交与正交分解 信号正交与正交函数集信号正交与正交函数集 信号的正交分解信号的正交分解第四章第四章 傅里叶变换和系统的频域分析傅里叶变换和系统的频域分析一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解 矢量正交的定义：矢量正交的定义： 指矢量指矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)与与Vy = ( vy1, vy2, vy3)的内积为的内积为0。即即031iyixiTyxvvVV 正交矢量集：指正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）
6、、）、vz=（0，0，2)所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。且完备。且完备.矢量矢量A =(2，5，8)表示为表示为 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空间矢量空间正交分解的概念可推广到正交分解的概念可推广到信号空间信号空间。二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1. 信号正交：信号正交： 定义在定义在(t1，t2)区间的区间的 1(t)和和 2(t)满足满足 210d)()(*21ttttt(两函数的内积为两函数的内积为0)则称则称 1(t)和和 2(t) 在区间在区间(t1，t2)内内正交正交。 2. 正交函数集：正交函数集： 若若n个函数个
7、函数 1(t)， 2(t)， n(t)构成一个函数集，构成一个函数集，这些函数在区间这些函数在区间(t1，t2)内满足内满足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间(t1，t2)的的正交函数集正交函数集。 3. 完备正交函数集：完备正交函数集：如果在正交函数集如果在正交函数集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函数不存在函数(t)(0）满足）满足 则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。例如例如：三角函数集三角函数集 1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=
8、0，1，2，是两组是两组典型典型的在区间的在区间(t0，t0+T)(T=2/)上的上的完备正交函完备正交函数集。数集。210d)()(*ttittt( i =1，2，n)三、信号的正交分解三、信号的正交分解设有设有n个函数个函数 1(t)， 2(t)， n(t)在区间在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这用这n个正交个正交函数的线性组合来近似，可表示为函数的线性组合来近似，可表示为 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f(t)与近似函数之间误差在与近似函数之间误差在区间区间(t1，t2)内为最小
9、。内为最小。通常使误差的方均值通常使误差的方均值(称为称为均方误差均方误差)最小。均方误差为最小。均方误差为 ttCtfttttnjjjd )()(12121122为使上式最小为使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不展开上式中的被积函数，并求导。上式中只有两项不为为0，写为，写为 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系数所以系数212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC代入，得最小均方误差（
10、推导过程见教材）代入，得最小均方误差（推导过程见教材）0d)(112212221njjjttKCttftt在用正交函数去近似在用正交函数去近似f(t)时，所取得项数越多，即时，所取得项数越多，即n越越大，则均方误差越小。当大，则均方误差越小。当n时（为完备正交函数时（为完备正交函数集），均方误差为集），均方误差为零零。此时有。此时有 12221d)(jjjttKCttf上式称为上式称为(Parseval)巴塞瓦尔公式巴塞瓦尔公式，表明：在区间，表明：在区间(t1,t2) f(t)所含能量所含能量恒等于恒等于f(t)在完备正交函数集中分解的各在完备正交函数集中分解的各正交分量能量正交分量能量的的
11、之和之和。 1)()(jjjtCtf函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和小结21d)()(1ttiiitttfKC21d)(2ttiittK1)()(iiitCtf函数函数f(t)可分解为无穷多项正交函数之和可分解为无穷多项正交函数之和12221d)(iiittKCttf巴塞瓦尔能量公式巴塞瓦尔能量公式4.2 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式 波形的对称性与谐波特性波形的对称性与谐波特性 傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式 周期信号的功率周期信号的功率ParsevalParseval等式等式一、傅里叶级数的三角形式一、傅里
12、叶级数的三角形式1.1.三角函数集三角函数集 在一个周期内在一个周期内是一个完备的正交函数集。是一个完备的正交函数集。0sincos22dttmtnTTnmnmTdttmtnTT, 0,2coscos22nmnmTdttmtnTT, 0,2sinsin22由积分可知由积分可知1,cos(nt)，sin(nt)，n=1,2,2级数形式设周期信号设周期信号f(t)，其周期为，其周期为T，角频率，角频率 =2 /T，当满足，当满足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件条件时，它可分解为如下三角级时，它可分解为如下三角级数数 称为称为f(t)的的傅里叶级数傅里叶级数 110)sin()cos(2)
13、(nnnntnbtnaatf系数系数an , bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可见，可见， an 是是n的偶函数，的偶函数， bn是是n的奇函数。的奇函数。狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)条件条件条件条件3:3:在一周期内，信号绝对可积。在一周期内，信号绝对可积。条件条件2 2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。限个。条件条件1 1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。数目应是有限个。例例2 2例
14、例1 1例例3 3例1不满足条件不满足条件1 1的例子如下图所示，这个信号的周期为的例子如下图所示，这个信号的周期为8 8，它，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8 8，但不连续，但不连续点的数目是无穷多个。点的数目是无穷多个。 tfO18 t821例2不满足条件不满足条件2 2的一个函数是的一个函数是 10,2sin tttf tfO11 t1对此函数，其周期为对此函数，其周期为1 1，有，有 1d10 ttf例3周期信号周期信号 ，周期为，周期为1
15、 1，不满足此条件。，不满足此条件。 10,1 tttf tfO121 2 t1其他形式其他形式10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 A0/2为为直流分量直流分量 A1cos( t+ 1)称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，其角频率与原周，其角频率与原周期信号相同期信号相同 A2cos(2 t+ 2)称为称为二次谐波二次谐波，其频率是基波的，其频率是基波的2倍倍一般而言，一般而言，Ancos(n t+ n)称为称为n次谐波次谐波。 可见
16、可见：An是是n的偶函数，的偶函数， n是是n的奇函数的奇函数。 an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性)()(tftf1 . .f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展开为，展开为余弦级数余弦级数。2 . .f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an =0，展开为，展开为正弦级数正弦级数。)()(tftf例例求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级求周期锯齿波
17、的三角函数形式的傅里叶级数展开式。数展开式。2200d1TTttTATa220dcos2TTnttntTATa22dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 ) 1(1nnAn周期锯齿波的傅里叶级数展开式为周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 tAtAtf2sin2sin022 )(TtTtTAtf直流直流基波基波二次谐二次谐波波t tfA/2/22T2TT2解：解：3 .f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t) = f(tT/2)f(t)t0TT/2此时此时 其傅里叶级数中其傅里叶级数中只含奇次只含奇次谐波分量，谐波分量，而而不含偶次不含偶次谐波分量谐波分量即即 a0=a2=b2=b4=0
18、4 f(t)为偶谐函数为偶谐函数f(t) = f(tT/2)(tfOtTT2T2T此时此时 其傅里叶级数中其傅里叶级数中只含偶次只含偶次谐波分量，谐波分量，而而不含奇次不含奇次谐波分量谐波分量即即 a1=a3=b1=b3=0 三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式 e)(jtnnnFtf三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。的傅里叶级数。 de )(122jTTtnnttfTF系数系数Fn 称为称为复傅里叶系数复傅里叶系数 利用利用 cosx=(ejx + ejx)
19、/2可从三角形式推出：可从三角形式推出：推导推导虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，指数形式付氏级数推导指数形式付氏级数推导1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，A n=An， n= n，则上式写为则上式写为 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 ntnnnAtfjjee21)(所以所以令复数令复数nnnFFAnnjjee21)j(21)sinjcos(2121jnn
20、nnnnnnbaAAeAFn22j2222de)(1d)sin()(1jd)cos()(1TTtnTTTTttfTttntfTttntfTntnnFtfje)( n = 0, 1, 2， 22jde)(1TTtnnttfTF表明：任意周期信号表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。数信号之和。 F0 = A0/2为直流分量。为直流分量。傅里叶系数之间关系nnnnAbaF212122 nnnabarctan)j(21e21ejnnnnnbaAFFnnn的偶函数：的偶函数：an ， An ， |Fn | n的奇函数的奇函数: bn ， n nnnA
21、acosnnnAbsin四、周期信号的功率四、周期信号的功率Parseval等式等式nnnnTFAAdttfT2122002|21)2()(1直流和直流和n次谐波分量在次谐波分量在1 电阻上消耗的平均功率之和。电阻上消耗的平均功率之和。 n0时，时， |Fn| = An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为这是这是ParsevalParseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。定理在傅里叶级数情况下的具体体现。证明证明周期信号功率式证明周期信号功率式证明对于三角函数形式的傅里叶级数对于三角函数形式的傅里叶级数10sincos2)(nnntnbtnaat
22、f平均功率平均功率 ttnbtnaaTttfTPTnnnTdsincos21d)(120100212220212nnnbaa1221220212212nnnnAaAa对于指数形式的傅里叶级数对于指数形式的傅里叶级数nnF2TttfTP02d)(1200aF 总平均功率总平均功率= =直流、各次谐波的平均功率之和直流、各次谐波的平均功率之和 信号频谱的概念信号频谱的概念 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点 频带宽度频带宽度4.3 4.3 周期信号的频谱周期信号的频谱一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变随信号频率变化的关系，称
23、为化的关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信，所画出的图形称为信号的号的频谱图频谱图。 周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即 将将An和和 n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平为横轴的平面上得到的两个图，分别称为面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频相位频谱图谱图。因为。因为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。 也可画也可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。若。若Fn为实数，也可直接画为实数，也可直接画Fn 。图示图示频谱图
24、示（单边）频谱图示（单边） 3nA20A1A3AO3 n O幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线曲线或nnFA曲线曲线 n频谱概念演示频谱概念演示)(tfOtTT11 2/T频谱概念演示频谱概念演示既是奇函数又是奇谐函数既是奇函数又是奇谐函数只含奇次谐波只含奇次谐波, ,且为正弦波且为正弦波. .例例1 1例例2 2 对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率？物理意义。为什么引入负频率？ f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnt和和e-jnt，才能保证才能保证f
25、(t)的实函数的性质不变。的实函数的性质不变。 单边频谱图例单边频谱图例1例：例：周期信号周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图，并求出它的单边频谱图，并求f(t) 的平均功率的平均功率P。63sin41324cos211tt解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即263cos41324cos211)(tttf显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 2
26、4，基波角频率，基波角频率=2/T = /1234cos21t是是f(t)的的(/4)/(/12 )=3次谐波分量；次谐波分量； 323cos41t是是f(t)的的(/3)/(/12 )=4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1323741212121122P323cos4134cos211)(tttf例例2请画出其幅度谱和相位谱。请画出其幅度谱和相位谱。120A00 236. 251A 15. 01 12A 25. 02 解：解：化为余弦形式化为余弦形式单边频谱图
27、单边频谱图，已知已知 42coscos2sin1)(111ttttf 42cos)15. 0cos(51)(11tttf 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 1 1A20A2A12 O24. 211nA12 25. 015. 0 O1 n 双边频谱图4j24j2jjjj111111ee21ee22eej211)(tnttttttftttttf11112j4j2j4jjjee21ee21ej211ej2111)(tnnnF1j22e10F15. 0 j1e12. 1j211F15. 0 j112. 1j211eF4j2e21F4j2e21F整理整理12 5 . 0O
28、1 1 12. 112 12. 15 . 01nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n 二、周期信号频谱的特点二、周期信号频谱的特点举例：举例：有一幅度为有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 的周期矩形脉冲，其周的周期矩形脉冲，其周期为期为T，如图所示。求频谱。，如图所示。求频谱。 f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）取样函数） nnTjnTtjn)2sin(2e122)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， nF O(1)(1)包络线形
29、状：包络线形状：抽样函数抽样函数(3)(3)离散谱（谐波性）离散谱（谐波性） 时取值时取值当当n 。T n处，为处，为 其最大值在其最大值在0(2)数），幅度/相位数），幅度/相位函函是复函数（此处为实是复函数（此处为实nF）（5 2)4 第一个零点坐标：第一个零点坐标：（2T 222令nn。相位为相位为，相位为，相位为, 000 nnFF 5 T图中图中周期信号频谱的周期信号频谱的特点特点谱线的结构与波形参数的关系谱线的结构与波形参数的关系T一定一定， 变小变小，此时，此时 （谱线间隔）不变。两零点之（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：间的谱线数目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=
30、T/ 增多。增多。 一定一定，T增大增大，间隔，间隔 减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。 如果如果周期周期T无限增长（这时就成为无限增长（这时就成为非周期信号非周期信号），），那么，那么，谱线间隔将趋近于零谱线间隔将趋近于零，周期信号的，周期信号的离散频谱离散频谱就过就过渡到非周期信号的渡到非周期信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。于无穷小。 (1)周期信号的频谱具有周期信号的频谱具有谐波谐波(离散离散)性性。谱线位置是基频。谱线位置是基频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有一般具有收敛性收敛性。总趋势减小。总趋势减小。三频带宽度1.
31、问题提出nF O2T 2第一个零点集中了信号第一个零点集中了信号绝大部分能量绝大部分能量（平均功率）（平均功率）由频谱的由频谱的收敛性收敛性可知，信号的功率集中在低频段。可知，信号的功率集中在低频段。 周期矩形脉冲信号的功率而总功率而总功率二者比值二者比值181. 02423222124232221205FFFFFFFFFPnnnTFttfTP202d)(12 . 0d)(102TttfTP%5 .905 PPn次谐波次谐波为例，取前为例，取前以以 ss,T5412012频带宽度在满足在满足一定失真条件一定失真条件下，信号可以用某段频率范围下，信号可以用某段频率范围的的信号来表示，此频率范围称
32、为信号来表示，此频率范围称为频带宽度频带宽度。对于一般周期信号，将幅度下降为对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max 的频率的频率区间定义为频带宽度。区间定义为频带宽度。一般把一般把第一个零点第一个零点作为信号的频带宽度。记为：作为信号的频带宽度。记为： ，带宽与脉宽成反比。，带宽与脉宽成反比。或或 12 fBB语音信号语音信号 频率大约为频率大约为 3003400Hz，音乐信号音乐信号 5015,000Hz，扩音器与扬声器扩音器与扬声器 有效带宽约为有效带宽约为 1520,000Hz。3系统的通频带信号的带宽，才能不失真4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 傅里叶变换傅
33、里叶变换 常用函数的傅里叶变换常用函数的傅里叶变换一傅里叶变换)(tf：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号22jde )(1TTtnnttfTF频谱频谱连续谱，幅度无限小；连续谱，幅度无限小；离散谱离散谱. 引出T0再用再用Fn表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数频谱密度函数。令。令T2 谱线间隔谱线间隔0TFTFFnTnTlim/1lim)(j(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱） 称为称为频谱密度函数频谱密度函数。22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考虑
34、到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而2d21T同时，同时， 于是，于是，ttfTFFtnTde)(lim)(jjde)(j21)(jtFtf傅里叶变换式傅里叶变换式“- -”傅里叶反变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。由傅里叶级数由傅里叶级数也可简记为也可简记为 f(t) F(j)F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j) = | F(j)|e j () = R()
35、+ jX() 说明说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数函数f(t)傅里叶变换存在的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:ttfd)(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分dttfF)()0(d)(21)0(jFf或或F(j) = F F f(t) f(t) = F F 1F(j)二、常用函数的傅里叶变换二、常用函数的傅里叶变换1.1.矩形脉冲 (门函数）记为记为g g(t)(t)10tg(t)22jeede)(j2j2j2/2/jtFt)2Sa()2sin(2频谱图 12 fBB或或幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频
36、谱频宽：频宽： jF 2O 4 2 20 4 2 jF 2O 4 2 2单边指数函数 tfOt1f(t) = e t(t)， 0j1ej1dee)(j0)j(0jttttF频谱图221jF0j,1j, 0FF arctan 2,2,0, 0 幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： jFO1 O 2 23双边指数函数 tfOt1220j0j2j1j1deedee)(jttFttttf(t) = e | |t| | ， 0 jFO24冲激函数冲激函数 (t)、 (t)1de)()(ttttjjeddde)( )( 0jjttttttt5直流信号1有一些函数有一些函数不满足绝对可积不满足绝对可积这
37、一充分条件，如这一充分条件，如1， (t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列可构造一函数序列f(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而f(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且f(t)的傅里叶变换所的傅里叶变换所形成的序列形成的序列F(j )是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的傅的傅里叶变换里叶变换F (j )为为)(lim)(tftf)(lim)(jFjF这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 讨论：讨论：推导 1?构造构造 f (t)=e- -
38、t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212 ( ( ) )求F 1另一种方法将将 (t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有)(de21jtt将将 -t-t，tt ，有，有)(de21jtt再根据傅里叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得)(2)(2de1jtt6. 符号函数符号函数0, 10, 1)sgn(ttttetet11 )sgn(tO不满足绝对不满足绝对可积条件可积条件00,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(
39、0tft222jj1j1)(j)( Ftfj22jlim)(jlim)sgn(2200Ft频谱图 2je22jj2sgn t是偶函数是偶函数jF 是奇函数是奇函数 O 22 2 )(jFO22j2F 0,20 ,202arctan 7. 阶跃函数阶跃函数10t(t)jtt1)()sgn(2121)(归纳记忆：1. F F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F F 变换对：变换对：t域域域域ttfFtde)()(jjtFtftde)(j21)(j(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅
40、里叶变换的性质 线性线性 奇偶性奇偶性 对称性对称性 尺度变换尺度变换 时移特性时移特性 频移特性频移特性 卷积定理卷积定理 时域微分和积分时域微分和积分 频域微分和积分频域微分和积分 相关定理相关定理一线性性质(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thena f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) Proof: F F a f1(t) + b f2(t)ttbftaftjde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(a11= a F1(j) + b F2(j) Example线性性质例线性性质例For ex
41、ample F(j) = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa()=0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -二奇偶虚实性(Parity)If f (t) is real function, and f (t) F(j)=|F(j)|ej () = R()+jX()then R()= R()， X()= X()， |F(j)|= |F(j)|， ()= ()， f (t) F(j) = F*(j) If f (t)= f (t) then X()=0， F
42、(j) = R() If f (t)= f (t) then R()=0， F(j) = jX()Proof)()(| )(|22XRjF)()(arctan)(RX奇偶虚实性证明奇偶虚实性证明设设f(t)是实函数是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）（为虚函数或复函数情况相似，略） ttfFtde )()(jj tttftttfdsinjdcos 显然显然 tttfXtttfRdsindcos RR 的偶函数的偶函数关于关于jj FF所以所以jFtf已知已知jFtf XX的奇函数的奇函数关于关于 三、对称性三、对称性(Symmetrical Property)?sin)(1tttfIf f
43、 (t) F(j) thenProof:de)(j21)(jtFtf（1）in (1) t ，t thenttFftde)(j21)(j （2）in (2) - - thenttFftde)(j21)(j F(j t) 2f () endF( jt ) 2f ()Example?1)(2tttf练练习习对称性举例对称性举例For example F(j) = ?211)(ttfAns:22| |2etif =1,2| |12et|2e212t|2e11t?sin)(1tttf?1)(2tttf练练习习四、尺度变换性质四、尺度变换性质(Scaling Transform Property)If
44、f (t) F(j) then where “a” is a nonzero real constant.aFaatfj|1)(Proof尺度变换证明尺度变换证明Proof:F f (a t ) =teatftjd)(For a 0 ,F f (a t ) d1e)(afajatajFa1for a 0 ,F f (a t ) de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1That is ,f (a t ) ajFa|1Also,letting a = - -1,f (- t ) F( - -j) Example-1尺度变换例尺度变换例1For example 1f(t) = F(j) =
45、 ?11jtAns:11)(ejtt)(e211jt)(e211 jtUsing symmetry,so that,意义意义尺度变换意义尺度变换意义(1) 0a1 时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。 (3) a=- -1 时域反转，频域也反转。时域反转，频域也反转。 ot4 4 tf 2Eo 2 E 4 221 F 4持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降带展宽，各分量的幅度下降a倍。倍。五、时移特性五、时移特性(Timeshifting Property)If f (t) F(j) thenwhere
46、“t0” is real constant.)(e)(00jFttftjProof: F F f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtjExample 1Example 2Example 3时移特性举例时移特性举例For example F(j) = ?Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468时移
47、尺度举例时移尺度举例For example 2Given that f (t)F( j), find f (at b) ?Ans: f (t b) e - -jb F( j)f (at b) ajFabaje|1orf (at) ajFa|1f (at b) =)(abtafajFeabaj|1时移举例时移举例3求图求图(a)所示三脉冲信号的所示三脉冲信号的频谱。频谱。 tft2 2 TT E(a)三脉冲信号的波形(a)三脉冲信号的波形O解：解： ,j00Ftf信号，其频谱函数信号，其频谱函数表示矩形单脉冲表示矩形单脉冲令令2Saj0EF 2j0F EO(b)(b) 2j0F EO因为因为 T
48、tfTtftftf 000 : :为为的频谱函数的频谱函数数数由时移性质知三脉冲函由时移性质知三脉冲函FtfjTEFFTTcos212ee1jjjj0Sa jFOT2 E3( c)( c) 三脉冲信号的频谱T4 2脉冲个数增多，频谱脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。包络不变，带宽不变。 六、频移性质六、频移性质(Frequency Shifting Property)If f (t) F(j) thenProof:where “0” is real constant.F F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(- -0) end)(e)j(0j
49、0tfFtFor example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)Example 2频移（调制）特性例频移（调制）特性例已知矩形调幅信号已知矩形调幅信号 ,cos0ttEgtf 。试求其频谱函数试求其频谱函数, ,为矩形脉冲，脉宽为为矩形脉冲，脉宽为其中其中tg 为为的频谱的频谱已知矩形脉冲已知矩形脉冲Gtgj2jSaG解：解：因为因为 tttEgtf00jjee21 为为频谱频谱根据频移性质，根据频移性质，jFtf)j(21)j(21j00EGEGF t tfo2 2 E(a)矩形调幅信号的波形(a)矩形调幅信号的波形2Sa22Sa
50、2 00EE0 二，向左、右各平移二，向左、右各平移将包络线的频谱一分为将包络线的频谱一分为 20 0 O0 2 EjF( b)( b) 矩形调幅信号的频谱)j(21)j(21j00EGEGF七、卷积性质七、卷积性质(Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)21