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1、多面体欧拉定理第1页，本讲稿共18页1、多面体的概念：、多面体的概念：一、复习一、复习由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线对角线 2、凸多面体：凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体面的同一侧，这
2、样的多面体叫凸多面体 3、凸多面体的分类：凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等体、六面体等 第2页，本讲稿共18页欧拉生平事迹简说：欧拉生平事迹简说：欧拉欧拉(Euler)(Euler)，瑞士数学家及自然科学家，瑞士数学家及自然科学家17071707年年4 4月月1515日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，育，1313岁入读巴塞尔大学岁入读巴塞尔大学1515岁大学毕业，岁大学毕业，1616岁获硕士学岁获硕士学位，位，欧拉是欧拉是18世纪数学
3、界最杰出的人物之一，他不但为数世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域此外，学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域此外，他他 是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，无穷小分析引论学、几何学、变分法的课本，无穷小分析引论（1748），微分学原理（），微分学原理（1755），以及积分学原），以及积分学原理（理（1768-1770）都成为数学中的经典著作。都成为数学中的经典著作。1771年，年，一场重病使他的左眼亦完全失明但他以其惊人的一场重病使他的左眼亦完全失明但他以其惊
4、人的 记忆力记忆力和心算技巧继续从事科学创作他通过与助手们的讨论以和心算技巧继续从事科学创作他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的 最后一刻。最后一刻。17831783年年9 9月月1818日于俄国彼得堡去逝日于俄国彼得堡去逝。第3页，本讲稿共18页 考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面破裂）变形，最后可变为一个球面如图：
5、象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体简单多面体 二、讲解新课：二、讲解新课：1 1、简单多面体：、简单多面体：第4页，本讲稿共18页 第5页，本讲稿共18页棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是体都是 简单多面体简单多面体 推广：推广：简单多面体是否就是凸多面体？简单多面体是否就是凸多面体？第6页，本讲稿共18页第7页，本讲稿共18页正多面体正多面体顶点数顶点数面数面数棱数棱数正四面体正四面体446正六面体正六面体8612正八面体正八面体6812正十二面体正十二面体201230正二十面体正二十面体1220
6、302 2五种正多面体的顶点数、面数及棱数：五种正多面体的顶点数、面数及棱数：发现：发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：V+F-V+F-E=2E=2(V)(F)(E)第8页，本讲稿共18页欧拉定理：欧拉定理：简简单单多多面面体体的的顶顶点点数数、面面数数及及棱棱数数有关系式：有关系式：V+F-E=2V+F-E=2第9页，本讲稿共18页证证明明：以以四四面面体体为为例例来来说说明明：将将它它的的一一个个面面去去掉掉，并并使使其其变变为为平平面面图图形形，四四面面体体的的顶顶点点数数、棱棱数数与与剩剩下下的的面面数数变变形形后后都都没没有有变变因因
7、此此，要要研研究究、和和的的关关系系，只只要要去去掉掉一一个个面面，将将它它变变形形为为平面图形即可平面图形即可 第10页，本讲稿共18页BCDABCDABCDABCDA第11页，本讲稿共18页BCDABAV+F1-E=1V+F-E=2注：对任意的简单多面体，运用这样的方法，注：对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。都是正确的。第12页，本讲稿共18页练习：1、一个、一个n面体共有面体共有8条棱，条棱，5个顶点，则个顶点，则n=_.2、一个正、一个正n面体共有面体共有8个顶点，每个顶点个顶点，每个顶点处共
8、有三条棱处共有三条棱，则，则n=_.56第13页，本讲稿共18页在欧拉公式中令在欧拉公式中令f(p)=Vf(p)=VF FE E 叫欧拉示性数叫欧拉示性数 欧拉示性数：欧拉示性数：说明：简单多面体的欧拉示性数说明：简单多面体的欧拉示性数f(p)=2f(p)=2 第14页，本讲稿共18页第15页，本讲稿共18页请查出下面各多面体的顶点数请查出下面各多面体的顶点数V V、面数、面数F F、和棱数、和棱数E E，并计算欧拉示性数，并计算欧拉示性数f(p)=Vf(p)=VF FE E？第16页，本讲稿共18页例例1 由欧拉定理证明：正多面体只由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面有正四
9、面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这体、正十二面体、正二十面体这五种五种。应用：应用：第17页，本讲稿共18页例例2 2欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：19961996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家是由位科学家是由6060个原子构成的分子，它是形如个原子构成的分子，它是形如足球的多面体这个多面体有足球的多面体这个多面体有6060个顶点，以每一个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目数目。第18页，本讲稿共18页