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1、安师大附中2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 3 分, 共 24 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 复数 5i12i 的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 在 ABC 中, A=3,AB=3,AC=4, 则 BC 边上的高为 A. 2 B. 63913 C. 23 D. 339133. 向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示. 若 a=b+c,R,则 =A. 13 B. 12 C. 3 D. 24. 一个正四棱锥的侧棱长为 10, 底
2、面边长为 62, 该四棱锥截去一个小四棱雉后得到一个正四棱台,正四棱台的侧棱长为 5, 则正四棱台的高为 ( )A. 5 B. 4 C. 3 D. 25. 已知 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 ABC 的面积为 3a2b2c24, 则角 A=A. 6 B. 3 C. 23 D. 566. 已知正四面体 SABC 的外接球表面积为 6, 则正四面体 SABC 的体积为 ( )A. 233 B. 223 C. 23 D. 3247. 已知 O 为 ABC 的外心, AB=16,AC=102, 若 AO=xAB+yAC, 且 32x+25y=16,则 OA=A. 8 B.
3、 10 C. 12 D. 148. 如图所示, 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中, AA1=1,AB=BC=3,cosABC=13,P 是 A1B 上的一动点, 则 AP+PC1 的最小值为 ( )A. 7 B. A. 5 C. 1+3 D. 3二、多选题: 每题 4 分, 共 16 分, 在每小题给出的四个选项中, 有多个选项符合题目要求,部分对得 2 分.9. 已知复数 z=34i (其中 i 是虚数单位), 则下列命题中正确的为 A. z=5 B. z 的虚部是 4 C. z3 是纯虚数 D. z 在复平面上对应点在第四象限10. 下列命题中, 正确的有（）A. 若 AB 与 CD 是
4、共线向量, 则 A、B、C、D 四点共线 B. 对非零向量 a, 若 1, 则 aa C. 若 MN+NP+PM=0, 则 M,N,P 三点共线 D. 平面内任意一个向量都可以用另外两个不共线向量表示11. 如图, ABC 是水平放置的 ABC 的直观图, AB=2,AC=BC=5,则在原平面图形 ABC 中, 有 ( )A. AC=BC B. AB=2 C. SABC=42 D. AC=2512. 如图, ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a=b, 且 3acosC+ccosA=2bsinB,D 是 ABC 外一点, DC=1,DA=3, 则下列说法正确的是（ ）
5、A. ABC 是等边三角形 B. 若 AC=23, 则 A,B,C,D 四点共圆 C. 四边形 ABCD 面积最小值为 5323 D. 四边形 ABCD 面积最大值为 532+3二、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分. 把答案填在答题卡的相应位置.13. 复数 z=3ii+i2022 ( i 为虚数单位), 则 z= .14. 已知向量 a=1,b=1,3R, 若 a 与 b 的夹角为锐角, 则 的取值范围为 .15. 在棱长为4的正方体 ABCDA1B1C1D1 中, 点 E、F 分别是棱 BC,CC1 的中点, P 是侧面四边形 BCC1B1 内 (不含边界)
6、一点, 若 A1P/ 平面 AEF, 则线段 A1P 长度的最小值是 .16. 已知 ABC 中角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,AB=2,AC=1, 点 D 在 .BC 上, BAD+BAC=, 记 ABD 的面积为 S1,ABC 的面积为 S2,S1S2=13, 则 BC= .四、解答题: 本大题共 5 小题，共 44 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17. (本大题满分 8 分) 已知向量 a,b,c 是同一平面内的三个向量, 其中 a=1,2.(1)若 ac=10, 且 ca, 求向量 c 的坐标;(2) 若 b 是单位向量, 且 aa
7、3b, 求 a 与 b 的夹角 的余弦值.18. (本大题满分 8 分) 如图, 圆雉的底面半径为 2, 母线长 SA=6(1) 求该圆锥的侧面积和体积;(2) 若用细绳从底面圆上 A 点绕圆雉一周后回到 A 处, 则此时细绳的最短长度为多少?19. (本大题满分 9 分) 锐角 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 bc=acosCccosA.(1)求角 A;(2) 若 a=3, 求周长的取值范围.20. (本大题满分 9 分) 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中, P、Q 分别为对角线 BD、CD1 上的点,且 CQQD1=BPPD=23.(1) 求证: PQ
8、/ 平面 A1D1DA;(2) 若 R 是 AB 上的点, ARAB的值为多少时, 能使平面 PQR/ 平面 A1D1DA ? 请给出证明.21. (本大题满分 10 分) 某公园为了吸引更多的游客, 准备进一步美化环境. 如图, 准备在道路 AB的一侧进行绿化, 线段 AB 长为 2 百米, C,D 都设计在以 AB 为直径的半圆上. 设 COB=.(1) 现要在四边形 ABCD 内种满郁金香, 若 COD=4, 则当 满足什么条件时, 郁金香种植面积最大;(2) 为了方便游客散步, 现要铺设一条栈道, 栈道由线段 BC,CD 和 DA 组成, 若 BC=CD, 则当 为何值时, 栈道的总长 l 最长, 并求 l 的最大值 (单位: 百米).