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1、平面的投影及平面上的点第1页，共48页，编辑于2022年，星期日例题 过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF。ffc第2页，共48页，编辑于2022年，星期日b 例题 作三角形ABC，ABC为直角，使BC在MN上，且BCAB=23。bcABab|yA-yB|bc=BCc第3页，共48页，编辑于2022年，星期日 平面的投影平面的投影二、各种位置平面的投影特性二、各种位置平面的投影特性一、平面的表示法一、平面的表示法 三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线 四、直线与平面的相对位置四、直线与平面的相对位置五、平面与平面的相对位置五、平面与平面的相对位置第4页，共48页，编辑于2022年，星期日
2、一、平面的表示法一、平面的表示法1.1.几何元素表示法几何元素表示法2.2.迹线表示法迹线表示法第5页，共48页，编辑于2022年，星期日 一个平面的空间位置可以由下列任一组几一个平面的空间位置可以由下列任一组几何元素来确定何元素来确定:(1)不在同一直线上的三个点；不在同一直线上的三个点；(2)一直线和直线外的一个点；一直线和直线外的一个点；(3)相交两直线；相交两直线；(4)平行两直线；平行两直线；(5)任意平面图形。任意平面图形。1.1.几何元素表示法几何元素表示法 平面的投影可以由其中一组几何元素的投影来表平面的投影可以由其中一组几何元素的投影来表示。示。第6页，共48页，编辑于202
3、2年，星期日 aabbccx一一直直线线和和直直线线外外的的一一个个点点x aabbcc相相交交两两直直线线 aabbccx平平行行两两直直线线c aabbcx任任意意平平面面图图形形 用各组几何元用各组几何元素所表示的同一素所表示的同一平面的投影图。平面的投影图。x aabbcc不不在在同同一一直直线线上上的的三三点点第7页，共48页，编辑于2022年，星期日 ABC ABCP P面面投影积聚为一直线投影积聚为一直线 abc abc ABC ABCP P面面投影反映实形投影反映实形 abcABCabcABC ABC ABC倾斜于倾斜于P P面面投影为小于原平面的类投影为小于原平面的类似形似形
4、 abcabcABCABC平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性第8页，共48页，编辑于2022年，星期日d(a)c(b)平面的投影(a)(b)(c)badcEFMemfbcad第9页，共48页，编辑于2022年，星期日abccabbaABC一般位置面第10页，共48页，编辑于2022年，星期日 与三个投影面都处于倾斜位置的平面。与三个投影面都处于倾斜位置的平面。一般位置平面一般位置平面三个投影都是小于原平面的类似形。三个投影都是小于原平面的类似形。abb”XZYHOass”a”bsYw第11页，共48页，编辑于2022年，星期日一一般般位位置置平平面面 第12页，共48页，编辑
5、于2022年，星期日铅垂面铅垂面-仅仅HH面的平面面的平面正垂面正垂面-仅仅VV面的平面面的平面侧垂面侧垂面-仅仅WW面的平面面的平面1.1.投影面垂直面投影面垂直面 垂直于垂直于一个投影面而对另外两个投影面一个投影面而对另外两个投影面倾倾斜斜的平面。的平面。各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性第13页，共48页，编辑于2022年，星期日铅垂面铅垂面-仅仅HH面的平面面的平面A.A.水平投影水平投影p p积聚为一倾斜线段，并反映积聚为一倾斜线段，并反映、角。角。B.B.正面投影正面投影p p和侧面投影和侧面投影p p”都是小于原平面的类似形。都是小于原平面的类似形。ppp”XZYWYH
6、O第14页，共48页，编辑于2022年，星期日铅垂面铅垂面-仅仅HH面的平面面的平面第15页，共48页，编辑于2022年，星期日正垂面正垂面-仅仅VV面的平面面的平面A.A.正面投影正面投影p p积聚为一倾斜线段，并反映积聚为一倾斜线段，并反映、角。角。B.B.水平投影水平投影p p和侧面投影和侧面投影p p”都是小于原平面的类似形。都是小于原平面的类似形。pqp”XZYWYHOqq”qQqq第16页，共48页，编辑于2022年，星期日侧垂面侧垂面-仅仅WW面的平面面的平面A.A.侧面投影侧面投影r r 积聚为一倾斜线段，并反映积聚为一倾斜线段，并反映、角。角。B.B.水平投影水平投影r r
7、和正面投影和正面投影r r 都是小于原平面的类似形。都是小于原平面的类似形。pr”XZYWYHOrr rRrr第17页，共48页，编辑于2022年，星期日YHYWYHYWH投影面垂直面的投影特性第18页，共48页，编辑于2022年，星期日 投影面垂直面的投影特性：投影面垂直面的投影特性：（1 1）在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，它与投影）在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，它与投影轴的夹角反映平面对另外两个投影面的倾角。轴的夹角反映平面对另外两个投影面的倾角。（2 2）在另外两个投影面上的投影是小于原平面的类）在另外两个投影面上的投影是小于原平面的类似形。似形。第19页，共48页，编辑于2
8、022年，星期日Xabcba分析：分析：铅垂面的水平投影为斜铅垂面的水平投影为斜交于交于X X轴的直线，有积聚性。轴的直线，有积聚性。本题铅垂面用三角形表示。本题铅垂面用三角形表示。c例例1 1 含直线含直线AB(ab,aAB(ab,ab b)作铅垂面作铅垂面 (用平面图形表示用平面图形表示)。第20页，共48页，编辑于2022年，星期日2.2.投影面平行面投影面平行面 平行于某一投影面的平面。平行于某一投影面的平面。/H/H面的平面面的平面-水平面水平面/V/V面的平面面的平面-正平面正平面/W/W面的平面面的平面 侧平面侧平面第21页，共48页，编辑于2022年，星期日水平面水平面-/H/
9、H面的平面面的平面Zppp”XYHOYWA.A.水平投影水平投影p p反映平面反映平面P P的实形；的实形；B.B.正面投影正面投影p p和侧面投影和侧面投影p p”都积聚为直线，分都积聚为直线，分别别OXOX轴和轴和OYOYWW轴。轴。第22页，共48页，编辑于2022年，星期日正平面正平面-/V-/V面的平面面的平面YWqqq”XZYHOA.A.正面投影正面投影q q反映平面反映平面P P的实形；的实形；B.B.水平投影水平投影q q和侧面投影和侧面投影q q”都积聚为直线，分都积聚为直线，分别别OXOX轴和轴和OZOZ轴。轴。qQqq第23页，共48页，编辑于2022年，星期日侧平面侧平
10、面-/W/W面的平面面的平面RrrHVWZrrr”XYHOYWA.A.侧面投影侧面投影r r反映平面反映平面R R的实形；的实形；B.B.水平面投影水平面投影r r和正面投影和正面投影r r 都积聚为直线，都积聚为直线，分别分别OYOYHH轴和轴和OZOZ轴。轴。r第24页，共48页，编辑于2022年，星期日投影面平行面的投影特性第25页，共48页，编辑于2022年，星期日 投影面平行面的投影特性：投影面平行面的投影特性：（1 1）在所平行的投影面上的投影反映实形。）在所平行的投影面上的投影反映实形。（2 2）在另外两个投影面上的投影都积聚为直线，平）在另外两个投影面上的投影都积聚为直线，平行
11、于相应的投影轴。行于相应的投影轴。第26页，共48页，编辑于2022年，星期日aXabccb例例3 3 含点含点A A作作ABC/VABC/V面。面。分分 析析:正平面的水平投影积正平面的水平投影积聚为直线并聚为直线并OXOX轴，正面投影轴，正面投影反映实形。反映实形。作法：作法：作作abc/OXabc/OX轴。轴。作作aab bc cABCABC。第27页，共48页，编辑于2022年，星期日OOOOX X圆平面为水平面圆平面为水平面（1 1）当圆）当圆投影面时，圆在该投投影面时，圆在该投影面上的投影反映实形影面上的投影反映实形-圆圆,另外两另外两投影积聚为投影积聚为直线直线,长度等于圆的直径
12、。长度等于圆的直径。4.4.圆的投影特性圆的投影特性第28页，共48页，编辑于2022年，星期日（2 2）当圆当圆投影面时，它在该面投影面时，它在该面的投影积聚为的投影积聚为倾斜于倾斜于投影轴的投影轴的直线直线，长度等于圆的直径。另外两个投影为长度等于圆的直径。另外两个投影为椭圆椭圆。O OOOX X圆平面为正垂面圆平面为正垂面第29页，共48页，编辑于2022年，星期日（3 3）当圆）当圆倾斜于倾斜于投影面时，它的投影为圆的类似形投影面时，它的投影为圆的类似形-椭圆椭圆。第30页，共48页，编辑于2022年，星期日圆的投影的作图方法圆的投影的作图方法1 1）当圆）当圆投影面时投影面时OOOO
13、X X圆平面为正平面圆平面为正平面反映圆的实形反映圆的实形长度长度=圆的直径圆的直径第31页，共48页，编辑于2022年，星期日 投影椭圆的长、短轴是圆内一对投影椭圆的长、短轴是圆内一对 相互垂直的直径相互垂直的直径的投影。的投影。（1 1）正垂圆的投影）正垂圆的投影椭圆椭圆 长轴长轴:正垂直径正垂直径ABAB的投影的投影 ab=ABab=AB 短轴短轴:正平直径正平直径DEDE的投影的投影de=DEcosde=DEcos 2 2）当圆）当圆投影面时投影面时长轴和短轴长轴和短轴正垂直径正垂直径ABAB正平直径正平直径DEDE第32页，共48页，编辑于2022年，星期日O OOO”正垂圆的投影作
14、图正垂圆的投影作图OOX Xa a(b(b)d de ee ed d a a”b b”DDd d”e e”b ba aD D长轴长轴:正垂直径正垂直径ABAB的投影的投影 ab=aab=a”b b”=AB=AB短轴短轴:正平直径正平直径DEDE的投影的投影 de=DEcos dde=DEcos d”e e”=DEcos=DEcos D D第33页，共48页，编辑于2022年，星期日铅垂面上圆的投影铅垂面上圆的投影(b)(b)(a)(a)长轴：长轴：铅垂直径铅垂直径CDCD的投影的投影 c cd d=D=D 短轴：短轴：水平直径水平直径ABAB的投影的投影a ab b=Dcos=Dcos（2 2
15、）铅垂圆的投影）铅垂圆的投影铅垂直径铅垂直径CDCD水平直径水平直径ABAB第34页，共48页，编辑于2022年，星期日短轴：水平直径短轴：水平直径ABAB的投影的投影a ab b=Dcosa=Dcosa”b b”=Dcos=Dcos长轴：铅垂直径长轴：铅垂直径CDCD的投影的投影 c cd d=c=c”d d”=D=DOOX XOOc c(d(d)b ba aa ab bc cd dD DD D铅垂圆的投影作图铅垂圆的投影作图O O”c c”d d”D D b b”a a”第35页，共48页，编辑于2022年，星期日 垂直面上圆的投影特性：垂直面上圆的投影特性：（1 1）在与圆平面垂直的投影
16、面上，圆的投影是直线段，）在与圆平面垂直的投影面上，圆的投影是直线段，长度等于圆的直径。长度等于圆的直径。（2 2）在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆，长轴是圆）在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆，长轴是圆平面上平行于这个投影面的直径的投影，短轴是圆平面上平面上平行于这个投影面的直径的投影，短轴是圆平面上与上述直径相垂直的直径的投影。与上述直径相垂直的直径的投影。第36页，共48页，编辑于2022年，星期日4-7 4-7 平面上的点和直线平面上的点和直线1.1.平面上取直线平面上取直线2.2.平面上取点平面上取点3.3.投影面垂直面上的点和直线投影面垂直面上的点和直线第37页，共48页，编
17、辑于2022年，星期日一、平面上的直线1.平面上的直线2.在平面上作正平线和水平线第38页，共48页，编辑于2022年，星期日直线在平面上的几何条件：直线在平面上的几何条件：(1)(1)通过平面上的两已知点。通过平面上的两已知点。BACPMN直线直线MNMN在平面上在平面上1.1.平面上取直线平面上取直线第39页，共48页，编辑于2022年，星期日EFDPNM 结论结论-要在平面上取直线，应先在平面上的已知直线上取要在平面上取直线，应先在平面上的已知直线上取点，再过点作直线。点，再过点作直线。直线直线MNMN在平面在平面P P上上(2)(2)通过平面上的一点并平行于平面上的另一通过平面上的一点
18、并平行于平面上的另一直线。直线。第40页，共48页，编辑于2022年，星期日bacbXca1122 作法作法1:1:在平面内的两已在平面内的两已知边上各取一点连成直线。知边上各取一点连成直线。例例5 5 在在ABCABC给定的平面上作一任意直线。给定的平面上作一任意直线。直线直线即为所求。即为所求。作法作法2:2:在平面内的一已知在平面内的一已知边上取一点，再过点作平面边上取一点，再过点作平面内另一直线的平行线。内另一直线的平行线。第41页，共48页，编辑于2022年，星期日在平面上作正平线和水平线ddee第42页，共48页，编辑于2022年，星期日BACPL L点在平面上的几何条件点在平面上
19、的几何条件:点在该平面的一已知直线上。点在该平面的一已知直线上。M 在平面上取点的一般方法：在平面上取点的一般方法：含该点在平面上作辅助直含该点在平面上作辅助直线，然后在所作直线上取点。线，然后在所作直线上取点。2.2.平面上取点平面上取点直线直线L L在在P P面上，面上，MM点在平面点在平面P P上。上。第43页，共48页，编辑于2022年，星期日abccab11dd例例6 6 已知点已知点DD在在ABCABC所决定的平面上，求作所决定的平面上，求作 其正面投影其正面投影d d。作法作法1CABD空间分析空间分析D D点一定在该平面的一条直线上。点一定在该平面的一条直线上。第44页，共48
20、页，编辑于2022年，星期日abccab22dd例例7 7 已知点已知点D D在在ABCABC所决定的平面内，求作其正所决定的平面内，求作其正面投影面投影d d。作法作法2CABD空间分析空间分析第45页，共48页，编辑于2022年，星期日bbXcaaddc例例8 8 试完成平面四边形试完成平面四边形ABCDABCD的水平投影。的水平投影。分析分析:平面平面ABCDABCD的对的对角线一定相交。角线一定相交。kkC C点一定在该平面的一条直线上。点一定在该平面的一条直线上。第46页，共48页，编辑于2022年，星期日bc”zywyHXOca”(b”)abc121”(2”)12333”a例例9 9 完成侧垂面完成侧垂面ABCABC的水平投影。的水平投影。可按已知点的两个投影求第三投影的方法作出可按已知点的两个投影求第三投影的方法作出abcabc。第47页，共48页，编辑于2022年，星期日例例10 10 已知一已知一平面平面ABCDABCD。(1)(1)判别点判别点K K是否在平面上；是否在平面上；(2)(2)已已知平面上点知平面上点E E的正面投影，求作其水平投影。的正面投影，求作其水平投影。eXabcdabdckkef ff fg gg g K K点不在直线点不在直线FCFC上，上，K K点不在平面上。点不在平面上。第48页，共48页，编辑于2022年，星期日