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1、,3-3 平面的投影,二、各种位置平面的投影特性,一、平面的表示法,三、平面上的点和直线,四、直线与平面的相对位置,五、平面与平面的相对位置,一、平面的表示法,1.几何元素表示法,2.迹线表示法,一个平面的空间位置可以由下列任一组几何元素来确定:,不在同一直线上的三个点； 一直线和直线外的一个点； 相交两直线； 平行两直线； 任意平面图形。,1.几何元素表示法,平面的投影可以由其中一组几何元素的投影来表示。,用各组几何元素所表示的同一平面的投影图。,2.迹线表示法,正面迹线PV 水平迹线PH 侧面迹线PW,(1)平面的迹线: 即平面与投影面的交线。,PV,PH,PW,(2) 迹线的投影性质,X
2、,Z,O,PZ,YH,PYH,PYW,YW,PX,(a),(b), 迹线是投影面上的直线。 因此, 迹线的一个投影与其本身重合, 另外两个投影与相应的投影轴重合（一般不画出）。,迹线是平面上的直线。因此，平面可用它的两条迹线表示。,ABCP面 投影积聚为一直线 abc,ABCP面 投影反映实形 abcABC,ABC倾斜于P面 投影为小于原平面的类似形 abcABC,平面对一个投影面的投影特性,铅垂面-仅H面的平面 正垂面-仅V面的平面 侧垂面-仅W面的平面,1. 投影面垂直面,垂直于一个投影面而对另外两个投影面倾斜的平面。,二、各种位置平面的投影特性,铅垂面-仅H面的平面,水平投影p积聚为一倾
3、斜线段，并反映、角。 正面投影p和侧面投影p”都是小于原平面的类似形。,铅垂面-仅H面的平面,铅垂面的迹线表示法,PH有积聚性，它与X轴的夹角即；PvX轴。,铅垂面P可只用它的水平迹线PH表示。,正垂面-仅V面的平面,正面投影p积聚为一倾斜线段，并反映、角。 水平投影p和侧面投影p”都是小于原平面的类似形。,q,Q,q,q,正垂面的迹线表示法,正垂面P可只用它的正面迹线Qv表示。,QV有积聚性，它与X轴的夹角即；QHX轴。,侧垂面-仅W面的平面,A.侧面投影r 积聚为一倾斜线段，并反映、 角。 B.水平投影r 和正面投影r 都是小于原平面的类似形。,r,R,r,r,X,W,V,H,Y,O,RV
4、,RZ,RW,RY,RH,R,z,o,yw,x,YH,RV,RZ,RW,RYW,RH,RYH,侧垂面的迹线表示法,侧垂面R可只用它的侧面迹线RW表示。,投影面垂直面的投影特性： （1）在所垂直的投影面上的投影积聚为直线，它与投影轴的夹角反映平面对另外两个投影面的倾角。 （2）在另外两个投影面上的投影是小于原平面的类似形。,X,a,b,b,a,分析：铅垂面的水平投影为斜交于X轴的直线，有积聚性。 本题铅垂面用三角形表示。,例1 含直线AB (ab, ab) 作铅垂面 (用平面图形表示)。,2. 投影面平行面,平行于某一投影面的平面。,/ H面的平面-水平面 / V面的平面-正平面 / W面的平面
5、 侧平面,水平面-/ H面的平面,水平投影p反映平面P的实形； 正面投影p和侧面投影p”都积聚为直线，分别OX轴和OYW轴。,水平面的迹线表示法,水平面P可只用它的正面迹线Pv表示。,正平面-/ V面的平面,正面投影q反映平面P的实形； 水平投影q和侧面投影q”都积聚为直线，分别OX轴和OZ轴。,q,Q,q,q,正平面的迹线表示法,正平面Q可只用它的水平迹线QH表示。,侧平面-/ W面的平面,R,r,r,H,V,W,Z,r,r,r”,X,YH,O,YW,侧面投影r反映平面R的实形； 水平面投影r和正面投影r 都积聚为直线，分别OYH轴和OZ轴。,r,侧平面的迹线表示法,x,Rv,(b),V,H
6、,X,R,Rv,(a),侧平面R可只用它的正面迹线Rv或RH表示。,RH,投影面平行面的投影特性： （1）在所平行的投影面上的投影反映实形。 （2）在另外两个投影面上的投影都积聚为直线，平行于相应的投影轴。,a,X,a,例3 含点A作ABC/ V面。,分 析: 正平面的水平投影积聚为直线并OX轴，正面投影反映实形。 作法：作abc / OX轴。 作abcABC。,与三个投影面都处于倾斜位置的平面。,3.一般位置平面,三个投影都是小于原平面的类似形。,Yw,一般位置平面,直角三角形法求平面的实形,X,a,b,c,c,b,a,实形对应的夹角是否是平面和投影面的夹角呢？,（1）当圆投影面时，圆在该投
7、影面上的投影反映实形-圆,另外两投影积聚为直线,长度等于圆的直径。,4. 圆的投影特性,（2）当圆投影面时，它在该面的投影积聚为倾斜于投影轴的直线，长度等于圆的直径。另外两个投影为椭圆。,O,O,X,圆平面为正垂面,（3）当圆倾斜于投影面时，它的投影为圆的类似形- 椭圆。,圆的投影的作图方法,1）当圆投影面时,O,O,X,圆平面为正平面,反映圆的实形,长度=圆的直径,投影椭圆的长、短轴是圆内一对 相互垂直的直径的投影。,（1）正垂圆的投影,椭圆 长轴: 正垂直径AB的投影 ab=AB 短轴: 正平直径DE的投影de=DEcos,2）当圆投影面时,长轴和短轴,正垂直径AB,正平直径DE,正垂圆的
8、投影作图,O,X,a(b),长轴: 正垂直径AB的投影 ab=a”b”=AB,短轴: 正平直径DE的投影 de=DEcos d”e”=DEcos ,铅垂面上圆的投影,(b),(a),长轴：铅垂直径CD的投影 cd=D 短轴：水平直径AB的投影ab=Dcos,（2）铅垂圆的投影,铅垂直径CD,水平直径AB,短轴：水平直径AB的投影ab=Dcosa”b”=Dcos,长轴：铅垂直径CD的投影 cd=c”d”=D,O,X,c(d),铅垂圆的投影作图,垂直面上圆的投影特性： （1）在与圆平面垂直的投影面上，圆的投影是直线段，长度等于圆的直径。 （2）在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆，长轴是圆平面上平
9、行于这个投影面的直径的投影，短轴是圆平面上与上述直径相垂直的直径的投影。,三、平面上的点和直线,1.平面上取直线,2.平面上取点,3.平面上的特殊直线,4. 换面法,直线在平面上的几何条件：,(1) 通过平面上的两已知点。,直线MN在平面上,1.平面上取直线,结论 - 要在平面上取直线，应先在平面上的已知直线上取点，再过点作直线。,直线MN在平面P上,(2) 通过平面上的一点并平行于平面上的另一直线。,b,a,c,b,X,c,a,作法1: 在平面内的两已知边上各取一点连成直线。,例5 在ABC给定的平面上作一任意直线。,直线即为所求。,作法2: 在平面内的一已知边上取一点，再过点作平面内另一直
10、线的平行线。,点在平面上的几何条件: 点在该平面的一已知直线上。,在平面上取点的一般方法：含该点在平面上作辅助直线，然后在所作直线上取点。,2.平面上取点,直线L在P面上， M点在平面P上。,a,b,c,c,a,b,例6 已知点D在ABC所决定的平面上，求作 其正面投影d。,作法1,D点一定在该平面的一条直线上。,a,b,c,c,a,b,例7 已知点D在ABC所决定的平面内，求作其正面投影d。,作法2,b,b,X,c,a,a,d,d,例8 试完成平面四边形ABCD的水平投影。,分析: 平面ABCD的对角线一定相交。,C点一定在该平面的一条直线上。,b,c”,z,yw,yH,X,O,c,a”(b”),a,例9 完成侧垂面ABC的水平投影。,可按已知点的两个投影求第三投影的方法作出abc。,例10 已知一平面ABCD。(1)判别点K是否在平面上；(2)已知平面上点E的正面投影，求作其水平投影。,e,X,a,b,c,d,a,b,d,c,k,k,f,f,g,g, K点不在直线FC上， K点不在平面上。,